包含与排除(含答案)

1、包含与排除（一）丿意、包含与排除问题也叫容斥原理。“容”是容纳、包含的意思，“斥”是排斥、排除的思，从题目名称上看，比较抽象，下面我们结合具体实例来说明这种问题的思考方法。【典型例题】例1:如下图，桌面上放着两个正方形，求盖住桌面的面积。（单位：厘米）分析与解：这是一个组合图形，是由两个正方形组成的，中间重合部分是一个长方形，要想求岀 住桌面的面积，可以有三种不同方法：方法一：72 +52 -2 x5 = 64 （平方厘米）方法二：72 -2 x5 + 52 =64 （平方厘米）方法三：52 - 2 x 5 + 7 2 = 64 （平方厘米）答：盖住桌面的面积是 64平方厘米。例2:四（1）班

2、同学中有 37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓 又爱打羽毛球。问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？分析与解：根据题意可画图如下此类问题画集合图比画线段图更直观，更形象一些方法一：37 + 26 21 =42 （人）方法二：37 21 + 26 = 42（人）方法三：37 +（ 26 21）=42 （人）以上三种方法是紧密联系的，都是要从中减去重叠部分，可以从其中一部分中减去，再与另一部分合并，也可以从两部分之和中减去重叠部分。三种方法比较，你喜欢哪一种解法呢？我们根据以上两个例题可以得出这样的数量关系：第一部分+第二部分一重叠部分=两部分之和例3:四年级一班在期末考试

3、中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。两科都得“优”的有几人？分析与解：根据“第一部分+第二部分一重叠部分=两部分之和”可以求岀两科都得“优” 的人数。15 + 17 24 = 8 （人）另外，从下图中我们还能得岀两种不同方法24人方法二：17 （ 24 15） =8 （人）15（ 24 17）=8 （人）答：两科都得优的有 8 Ao例4 :图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中人两个小组都参加，还有 5人什么组都没参加。这个班共有学生多少人？分析与解：这个题与例2相比，多了一个已知条件，那就是“有5个

4、人什么组都没参加”。如果前面的画图方式，这 5人无法在图上表示，根据题意，我们可以这样画图。全班要求全班有多少人，除了知道有全班？5人什么组都没参加外，还要求岀参加课外小组的有少人。24+18 11 =31（人）31 + 5 = 36（人）答：这个班共有学生 36 A-11人，参加美术组的有 8人，参加英语组的有 12人， 既参加音乐组又参加英语组的有3人，既参加美术组又参加英语组的有 4人，三，个组都参加的只有1人，问：至少参加一个组的有多少人？分析与解：例5 :某班学生参加音乐组的有参加音乐组又参加美术组的有5人,如果我们把三个集合圈看成三张纸片，参加两个组的部分是2层，参加三个组的部分

5、是3层，要求至少参加一个组的人数，就是求三张纸片盖住桌面的大小，因此要从三组人数之和中减去重叠部分的人数11 + 8 + 12 5 34 + 1 = 20 (人)答：至少参加一个组的有 20人。【模拟试题】(答题时间：30分钟)1. 四年级三班订阅少年文摘的有19人，订阅学与玩的有 24人，两种都订的有 13人。问订阅少年文摘或学与玩的有多少人？2. 幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？3. 1至100的自然数中：(1) 是2的倍数又是3的倍数的数有多少个？(2) 是2的倍数或是3的倍数的数有多少个？(3) 是2的倍数但不是3的倍数的

6、数有多少个？4. 某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人，数学得100分 的有10人，两门功课都得 100分的有3人，两门功课都未得 100分的有26人。这个班共 有学 生多少人？5. 全班50人，会骑车的有 32人，会滑旱冰的有 21人，两样都会的有 8人，求两样都 不 会的有多少人？6. 一个班有学生42人，参加体育队的有 30人，参加文艺队的有 25人，并且每人至少 参 加一个队。这个班两队都参加的有多少人？【试题答案】1. 四年级三班订阅少年文摘的有 19 人，订阅学与玩的有 24 人，两种都订的有 13 人。问订阅少年文摘或学与玩的有多少人？19 + 2413

7、 = 30 （人） 答：订阅少年文摘或学与玩的有 30 人。2. 幼儿园有 58 人学钢琴， 43 人学画画， 37 人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？只学钢琴人数： 58-37 = 21 （A ） 只学画画人数： 4337 = 6 （人）3. 1至 100 的自然数中：（ 1）是 2 的倍数又是 3 的倍数的数有多少个？既是 3 的倍数又是 2 的倍数，一定是 6 的倍数1004-6 = 16 4所以，既是 2的倍数又是 3 的倍数有 16个（ 2）是 2 的倍数或是 3 的倍数的数有多少个？1004-2 = 50, 1004-3 = 33 150 + 3316 = 6

8、7 （个）所以，是 2的倍数或是 3 的倍数的数有 67个。（ 3）是 2 的倍数但不是 3 的倍数的数有多少个？5016 = 34 （个）答：是 2 的倍数但不是 3 的倍数的数有 34 个。4. 某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得 100分的有 12 人，数学得 100分 的 有 10人，两门功课都得 100 分的有 3人，两门功课都未得 100 分的有 26人。这个班共 有学 生多少人？12 + 103 + 26 = 45 （人）答：这个班共有学生45 人。不会5. 全班50 A,会骑车的有32人，会滑旱冰的有21人，两样都会的有 8人，求两样都的有多少人？50 （30 + 21 8）