面积——等面积法

1、精选优质文档-倾情为你奉上面积法在中学数学解题中的巧用利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值，或证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明线段间的数量关系。利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数”的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。用面积法解题就是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。运用面积法,巧设未知元,可获“柳暗花明”的效果。有关面积的公式（1）矩形的面积公式：S=长´宽 （2）三角形的面积公式：（3）平行四边形面积公式: S=底´高（4）梯形面积

2、公式: S=´(上底+下底)´高（5）对角线互相垂直的四边形：S=对角线乘积的一半（如正方形、菱形等）有关面积的公理和定理1、面积公理（1）全等形的面积相等；（2）一个图形的面积等它各部分面积之和；2、相关定理（1）等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个共底的三角形面积相等；如下图；反之，如果，则可知直线平行于（2）等底等高的平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；（3）等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高的三角形、平行四边形面积之比等于其底之比；（4）相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（5）在两个三角形中，若两边对应相等，其

3、夹角互补，则这两个三角形面积相等；（6）等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米。问：长方形的面积是_平方厘米。等面积法的应用一：利用平行线间两个共底的三角形面积相等解题。如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，点E为AB边上的任意一点，四边形EFGB也是矩形，且EF=2BE，则 9 如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿ABCD的路径匀速前进到D为止。在这个过程中，APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（ ）DCBPA 等面积法的应用二：利用同一图形的面积相等，可

4、以列方程计算线段的值。已知直角三角形两直角边长分别为5和12，斜边上的高为_AH是菱形ABCD的高，且AC=6，BD=8，则AD=_把矩形OABC放置在直角坐标系中, OA6,OC8 ，若将矩形折叠，使点B与O重合得到折痕EF,求OB、折痕EF的长。（提示：BFOE是菱形，利用菱形的面积等于又等于EB*OA，列方程求出折痕EF的长.）如图，由图中已知的小三角形的面积的数据，求三角形ABC的面积？210 平行四边形ABCD中AC与BD交于点O，AB=10，AD=8，O到AB的距离为2，则O到BC的距离为_在平行四边形ABCD中，BAD=300，AB=5cm，AD=3cm，E为CD上的一个点，且B

5、E=2cm，则点A到直线BE的距离为_。正方形ABCD内接于圆O，E是CD的中点，圆的半径为2，则点O到BE的距离为_如图，矩形ABCD中ABa，BCb，M是BC的中点，E是垂足求证：等面积法的应用三：利用同一图形的面积相等，可以列方程证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明。三边长分别为6、8、10的三角形的三条高的比分别为_看图，写代数恒等式:_ 如图，边长为a的正内有一边长为b的内接正，则的内切圆半径为 如图，已知P为等边三角形ABC内一点，过P作三垂直，三角形ABC的高为h.试说明已知P为边长是3的等边三角形ABC内一点，则P点到三边的距

6、离之和为_求证：等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高（运用面积法可以证明），等腰三角形底边延长线上任一点点到两腰距离的差等于腰上的高。请应用上述结论完成下题：已知直线和直线，在直线上有一点P，且点P到直线的距离是2，求P点的坐标 已知:如图，C是线段AB上的一点，ACD、BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。求证：AOC=BOC（提示：过点C作CPAE，CQBD） 已知：如图，AD是的角平分线。求证： 已知：如图，AD是ABC的中线，CFAD于F，BEAD交AD的延长线于E。求证：CF=BE已知：如图，在中，BD、CE分别为AC、AB边上的高。求证：等面积法的应用四：面积等分线

7、等积定理：等底等高的两个三角形面积相等；两条平行直线之间的距离处处相等一、平分三角形面积 （1）过一顶点作等积分割线：找中线；（2）过边上一点作等积分割线 二、平分平行四边形面积：找过对称中心的直线；三、平分梯形面积：找两底中点所在直线；等积变形成三角形；等积变形成平行四边形 方案一：连结梯形上、下底的中点E、F方案二：分别量出梯形上、下底a、b的长，在下底BC上截取BE(ab)，连接AE。如果用尺规作图，就是把上底平移到下底一旁作出两底之和，再取两底之和的中点方案三：取一腰中点，等积变形成三角形或平行四边形四、平分一般四边形：变形成等积的三角形。（1）过一顶点作等积分割线；（2）过边上一点作

8、等积分割线五、平分五边形的面积练习题1、如图，在ABC中，BD：DC=1：2，E为AD中点，若ABC面积为120，则阴影部分面积为2、 有一块方角形钢板如图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分。3、如果花园形状是任意四边形ABCD，四边形内部有一条折线小路AEC刚好平分四边形面积，现在小区的物业公司想把折线小路修成直线小路，由于各种条件限制，小路要通过点A，并且只能修在AC和点E之间，同时还要平分四边形面积，请你帮助设计工人师傅想对如图1的直角铁皮，用一条直线m将其分成面积相等的两部分图2是甲、乙、丙、丁四位同学给出的做法，其中做法正确的学生数是（）现有如图所示的方角铁皮，工人师傅想用

9、一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案(要求：分割的两部分两图不能完全相同，否则视作一种；须有必要的数据说明或标记)请你画一条直线，把下图分成面积相等的两部分 如图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分，这样的直线可以画几条？（ ） A 1 B 2 C 3 D无数条如图，一个圆和一个平行四边形请你画出一条直线l，同时把这两个图形分成面积相等的两部分如图，张大爷家有一块四边形的菜地，在A处有一口井，张大爷欲想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分请你为张大爷设计一种引水渠的方案，画出图形并说明理由7-27-17-37-3

10、如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（1，0），对角线的交点P（2.5 ，1）（1）写出B、C、D三点的坐标；（2）若在线段AB上有一点E（3，0），过E点的直线将矩形ABCD的面积分为相等的两部分，求直线的解析式图所示，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（12，5），直线y0.25x+b恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分那么b=等面积法在数学中应用广泛，除此等积变换模型之外，涉及面积的知识还有以下模型：蝴蝶模型：在任意四边形中有 在梯形中有=OD：OB= 相似模型：（金字塔模型、沙漏模型）金字塔模型 沙漏模型；。燕尾定理模型SABGSAGCSBGESEGCBEECSB

11、GASBGCSAGFSFGCAFFCSAGCSBCGSADGSDGBADDB练习题：如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DFDC，且AD2DE 。则两块地ACF和CFB的面积比是_如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是_6.5（提示：连接AE，ACE与BCE面积之比为5:8） 如图，将三角形ABC的AB边延长1倍到D，BC边延长2倍到E，CA边延长3倍到F。如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是_如图，四边形EFGH的面积是65平方米，EAAB，CBBF，DCCG，HDDA，求四边形ABCD的面积。13矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数图象上，若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为（） 如图，正比例函数y=-x与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，分别过