现代光学三维测量原理

1、 现代光学三维测量原理第1章 光学三维测量基础知识光学三维测量就是指用光学原理来采集物体表面三维空间信息的方法和技术，与传统的接触式测量相比，它非接触式的。近二十年来，随着光学技术、数字摄像技术及计算机技术的迅速发展，光学三维测量技术也获得了极大的发展，新的理论与方法不断被发现和开发，逐步解决了许多过去阻碍实际应用的问题。在1994年的国际光学学会的以信息光学的年会上，首次将光学三维测量列为信息光学前沿七个主要领域和方向之一。1.1 光学测量的基本概念1) 光学测量就是利用光学图像进行的测量，通过图像处理分析对目标的位置、尺寸、形状和目标间的相互关系等参数进行测量。2) 摄影测量通常不包括利用

2、特殊的光学手段、如全息干涉、栅格线法等进行的光学测量。用航空或卫星照片进行的大地测量则习惯上称为摄影测量。近景摄影测量通常指对几十厘米到几十米距离物体的摄影测量，通常也属三维测量的范畴。3) 光学三维测量利用光学手段和图像处理分析方法并运用计算机图形学的理论来数字化再现物体的三维形态，在此基础上，从而可获取物体各部分间任意的相互尺寸关系。 1.2 三维光学测量常用的方法光学三维测量的基本方法可以分为两大类：被动三维测量和主动三维测量。被动三维测量采用非结构光照明方式，它根据被测空间点在不同位置所拍摄的像面上的相互匹配关系，来解算空间点的三维坐标。采用双摄像机的系统与人眼双目立体视觉的原理相似，

3、因此，该方法常用于对三维目标的识别、理解，以及位置、形态的分析，即在机器视觉（计算机视觉）领域中广泛应用。主动三维测量采用结构光照射方式，由于三维面形对结构光场的调制，可以从携带有三维面形信息的观察光场中解调得到三维面形数据。这种方法具有较高的测量精度，因此大多数以三维面形测量为目的的三维测量系统都采用主动三维测量方式。结构光通常采用调制过的扇面激光光源和以白光为光源的投影光栅方式，又分别称为激光法三维测量和投影光栅法三维测量。激光光源具有亮度高、方向性强和单色性好，易于实现调制等优点，所以在三维测量领域得到广泛应用；白光光源的结构光照明方式具有成本低、结构简单的优点，特别在面结构光照明的三维

4、测量中得到越来越多的应用。1. 图像分析法（Image Analysis Methods）一个物体在两个不同位置上拍摄图像，通过确定物体同一点在不同像面上的相互匹配关系，来获得物体空间点的三维坐标。由于匹配精度的影响，图像分析法对形状的描述主要是用形状上的特征点、边界线与特征描述物体的形状，故较难精确地描述复杂曲面的三维形状。2. 激光三角测量法（Laser Triangulation Methods）使用激光光源（点扫描或线状）向被测物体表面投射一扇形光面，并与物体变化的表面相交于形成一条变化起伏的光带，通过与光源成相对位置关系的摄像系统成像，根据物体、光源与成像系统的三角几何关系并通过像面

5、上像点的相对位置来解析物体空间点的坐标关系。该方法受环境光影响小、使用灵活、采集数据快等特点在三维测量中广泛应用，缺点是价格较贵。3. 投影光栅法（Structured Light Methods）使用光学投射器将一定模式的结构光（光栅等）投射到物体表面，在物体表面形成由被测物体表面所调制变形的结构光图像，通过与投射光源成相对位置关系的摄像系统拍摄，并通过图像的处理与解析来得到物体的表面三维形态数据。该方法算法复杂，操作也较复杂，精度较激光法稍低。4. 工业计算机断层扫描成像法（Industrial Computer Tomograph）工业计算机断层扫描成像（简称ICT）是对产品实物经过IC

6、T层析扫描后，获得一系列断面图像切片和数据，这些切片和数据提供了物体截面轮廓及其内部结构的完整信息。ICT最大的特点是它能测量物体内部截面信息，因而适用任意的形状结构，但测量精度低。1.3 数字图像的基本知识1. 数字图像的数学表示图像是指能为视觉系统所感受的一种信息形式，该信息是客观世界反射或透射的某种辐射能量在空间分布的记录，这些辐射能量可能是X射线、红外线、可见光和超声波等。图像所记录的内容与辐射源的照度、波长以及物体的反射或投射能力有关。一般图像的主要度量特征是光强度和色彩，对于一幅反射的光强图像（又称灰度图像或黑白图像），可由二维光强函数I (x, y) 来表示： （）其中, x和y

7、是图像的空间坐标，i(x,y)是依赖于光源的入射光照能量分量的入射函数，r(x,y)是反映物体表面反射特性的反射函数，且0<i(x,y)<, 0<r(x,y)<1。由于计算机的离散特性，需要将自然界的连续光强图像离散化为数字图像。一幅亮度图像可离散为像素阵列的方式表示，其行和列表示图像中对应的像素点（picture element, 简称pixel），如像素(xi, yj) (i=0,1,M-1; j=0,1,N-1),M和N是图像分别在x 和y两个方向的像素个数，M*N的数值越大，图像被分割成越多的像素，则称图像的空间分辨率（space resolution）越高；而

8、相应阵列中像素的值一般称做灰度值(gray level),若将图像的亮度范围均匀分成G个等间隔，则G为灰度的分割级数或量化级数，G的数值越大，则图像的亮度分辨率（brightness resolustion）越高。灰度级数通常用二进制的位数k(比特数)表示，即G=2k，k根据A/D转换的位数常有8，16位等，分别对应256、65536个灰度级数。经离散后的数字图像从数学形式上看，就是一个 M*N的数学矩阵。这幅数字图像的基本特征就可以用 M*N*2k个状态来描述，也就是M,N,k决定了数字图像占用的存储空间的大小。图像的空间分辨率和亮度分辨率越高，则图像所占用的存储空间也越大，计算机所要对图像

9、进行处理的时间也越长。2. 数字图像的特征通过数字图像设备可将一幅自然界的光学图像转换为一幅数字图像。那么一幅数字图像与原自然界景象有什么区别和联系？为了更好地掌握图像的本质和特征，进而通过图像来进行精密测量。这里总结出如下与光学测量有关的数字图像特点：1) 数字图像是通过成像设备将自然界景象的光强分布函数在空间上离散成像素点，在光强上离散为灰度等级而形成的。其中景象的几何位置与图像成中心投影关系；灰度级与对应光强成正比关系。因此数字图像在几何位置和光强分布上与自然界存在一定的相似性。2) 数字图像的数学表示为一数学矩阵，因此对数学矩阵所能做的所有的数学运算都能用于数字图像。这些运算包括加、减

10、、乘、除、卷积和数学变换，以及各种局域运算、分析等。不同的运算代表着不同的物理意义，根据处理所要达到的目的就可以设计出相应的算法。3) 数字图像采样具有重建特性。一幅数字图像是由有限的离散像素点组成的，其采样间隔x、y满足什么样的条件才可以完全重建空间的连续图像？或图像所能反映的空间特性的最小细节或最高频率是多少？这个问题可简单地由著名的奈奎斯特（Nyquist）采样定律来解决，许多图像和信号处理书籍都有该定理的详细阐述，这里只给出结论。光强度函数f(x, y)中信号的最高频率是由空间物体包含的最高频率和成像系统调制传递函数(MTF)的截止频率来决定的。设uc、vc为两个方向上空间物体包含的最

11、高频率和成像系统MTF截止频率两者的最小值，则只要采样间隔x和y满足下式的关系，就可能由f(x, y)的采样图像精确重建f (x, y)。 ， 满足奈奎斯特采样定律仅是获得较精确信息的最低要求，换言之，采样图像所能表现的空间物体细节的最高频率为uc, vc。由于数字图像采集过程中会不可避免地在多个环节中出现各种噪音，而噪音在理论和实践上是不可能完全滤除的，即理想采样不可能实现，所采集的数字图像不可能完全精确重建现实空间连续图像。4) 图像光强量化具有非线性效应。即将自然景象的光强变成对应的灰度值。总体说数字化设备的灰度与光强的转化是线性正比关系的，但由于成像材料的特殊性能，实际的光强灰度曲线通

12、常不是表现为严格的线性关系，而是表现为如下的指数关系： 其中，G是灰度值，I是光强值，是非线性指数，K是一常数。灰度与光强曝光曲线如图所示, 在光强的中间区域BC段,灰度与光强有较好的线性关系。在光强的暗区AB段和极亮区CD段，灰度与光强的关系是非线性的。在AB段，光强低于或接近光敏门限值，处于曝光不足状态。CD段的光强处于过饱和状态，将难展现高光区的层次。在实际采图工作中，应尽量使图像系统工作在灰度光强曲线的线性区BC段。当工作在非线性区时，可用数字图像处理的方法对图像进行灰度标定和修正。5) 光学成像系统的几何畸变现象。在实际光学成像系统中，数字图像与自然景象在几何上很难满足严格的中心投影

13、关系，通常存在一定的几何畸变现象。综上所述，一幅数字图像是自然景物的光学特性、环境光场、成像系统等各环节的特性的综合表现形式。通过数字图像来提取、恢复自然界景物的特性是数学物理中的一个反问题。由于数字图像生成过程中引入了许多不确定的因素，从而使得该反问题是个不适定的问题，即无法得到严格真实的解。目前还没有一种通用的、一般可解的具体算法，因此对不同的应用对象往往需要研究不同的具体算法。1.4 数字图像器件及指标1. 数字成像器件1) CCD（charge coupled device）电荷藕荷器件阵列CCD成像器件由许多感光单元（photosite）组成，每个感光单元在接收输入光后，会产生一定的

14、电荷转移，因此形成了和输入光强成正比的输出电压。按芯片几何组织形式不同，CCD成像器件可分为线阵和面阵两种。线阵CCD中的感光单元排列成一条直线，只能在一个维度方向上接受感光信息，要获得二维图像信息，必须靠场景和成像系统之间的相对运动来实现。各类扫描仪就是利用线阵CCD和步进电机的移动来实现图像的扫描，在激光测量中也常用到线阵CCD。面阵CCD由排列成方型或矩形阵列的感光单元组成，一次曝光可直接得到二维图像，如各种数字成像系统。面阵CCD相应的后续信号处理系统要比线阵CCD复杂的多，因而成本价格也响应地较高。CCD成像器件具有灵敏度高、光谱响应宽、线性度好、动态范围大等优点，具体讲就是成像效果

15、好，色彩鲜艳自然、灵敏度高，对于光线要求低等，但CCD的生产成本高，耗电高是其缺点。目前在中高端成像领域得到广泛应用。2) CMOS（complementary metal oxide semiconductor）成像器件CMOS图像传感器是近年来发展起来的一种新型光敏器件技术。与CCD相比，它具有反应快、耗电少、价格低等优点，然而在成像品质方面与CCD还有一定的差距，随着技术的不断发展，这种差距正在缩小。CMOS在监控等领域广泛应用，中低端数码相机也有采用。2. 数字成像器件的技术指标1) CCD(CMOS)的成像面积和尺寸(sensing area)CCD成像面积定义为成像区的宽度与高度的

16、乘积，如6.4mm x 4.8mm。但习惯上沿用过去摄像管靶面的对角线长度来衡量，如摄像机为2/3，1/2，1/3，1/4英寸等，数码相机为4/3，1/1.8, 1/2.7英寸等。按惯例1/2 和1/3英寸的CCD的实际成像面积分别为6.4mm x 4.8mm和4.8mm x 3.6mm。2) CCD（CMOS）的像素数CCD的像素数，即图像的最大空间分辨率，由列像素数M 和行像素数N的乘积决定。3) 感光单元尺寸（pixel size）感光单元面积是指CCD（CMOS）感光器件上单个感光单元的宽度和高度之积，其宽度和高度尺寸多为4m16m，常用尺寸如6.7m x 6.7m，9.0m x 9.

17、0m等，也有宽度和高度不一样的。一般讲，感光单元面积越大，感光的动态范围也越大。4) 5动态范围(dynamic range)CCD的动态范围指所能感受到的光强变化范围，一般由CCD单元所能存储的最大电荷量和自身噪声的最小电荷量之比决定。最大电荷量与有效成像单元的面积和电路结构有关；而噪音与CCD的电路结构和制造质量有关。一般情况下，成像单元面积越大，CCD的动态范围越大，所能表现的亮度层次也越丰富。5) A/D转换器件的位数A/D转换即将成像单元中感光产生的电压值进行模拟量到数字量的转换，A/D转换的位数越高，图像的亮度层次越丰富。通常A/D转换位数k有8，10，14，16，24，32等,

18、分别对应2k个灰度级。在一定空间分辨率的条件下，通常CCD（CMOS）的动态范围越大， A/D转换位数越高，图像的层次越丰富，视觉效果越好。6) 光学分辨率(optical resolution)和解析（插值）分辨率(interpolated resolution)数字成像系统的光学分辨率一般指CCD的空间分辨率，即单位长度或面积上的像素数。而解析分辨率实质对图像进行插值放大处理后的得到的图像分辨率。这两种分辨率的单位都为dpi (dots per inch)。解析分辨率图像并不能提供更多的原始图像信息，而仅仅改善了视觉效果。1.5 摄像镜头及指标摄像机镜头是成像系统的关键部件之一。由于衍射现

19、象和镜头相差的存在，实际镜头并不是理想的，它的质量直接影响到图像的质量。衡量镜头质量的关键指标是镜头的分辨率，即对空间光学图像细节的分辨能力，使用MTF传递函数可准确描述镜头的成像品质，一般可用单位长度内分辨的黑白线对数来简单判别。从系统上讲，镜头实际上相当于一个低通滤波器，高于镜头MTF截止频率的信号将被滤除，这样就使得空间光学图像中如边缘、小目标等含有高频信号的特征被平滑或丢失。因此为了保证数字图像的质量，必须要合理地选用成像镜头。对于测量用镜头，镜头的几何畸变像差是影响测量精度的最主要的像差。畸变像差是指成像系统不能使图像与实际景物在全场严格满足针孔成像模型（或中心投影关系），使中心投影

20、射线发生弯曲。畸变像差可分为正畸变和负畸变，即分别对应所说的枕型畸变和桶型畸变。它是由于一对共扼物像面上的放大率不为常数，使得物体和图像之间失去了相似性而形成的误差。一般摄像机镜头在边缘处会有较大的畸变像差，尤其是短焦距的广角镜头，畸变像差会更大。1.6 齐次坐标表示法与图形变换 图形的几何变换是计算机图形学的重要内容。图形变换是指对图形的几何信息经过变换后产生新的图形，通常为比例、平移、旋转、对称、错切以及透视投影等。图形变换即可以看作是坐标系不动而图形变动，变动后的图形在坐标系中的坐标值发生变化；也可看作图形不动而坐标系变动，图形在新的坐标系下具有新的坐标值。计算机中的图形变换一般不采用传

21、统的坐标系，而采用齐次坐标系。齐次坐标技术是从几何学中发展起来的, 它在点、线、面的表示和形体的处理等方面是很有效的工具。采用齐次坐标技术，图形的变换则可以转化为表示图形的点集矩阵与某个变换矩阵进行矩阵相乘这一单一形式，方便计算机的运算，并能很快得到变换后的图形，因而在计算机图形学中得到了广泛的应用。1. 齐次坐标表示法所谓齐次坐标就是用n + 1维向量来表示一个n维向量。我们把在n维空间的坐标称为正常坐标，在(n + 1)维空间的坐标称为齐次坐标。若二维点x, y在齐次空间点的坐标可看X, Y, h，其中h是任意非零标量，称比例因子, X = h·x, Y = h·y。从

22、齐次坐标X, Y, h映射到二维空间坐标x, y时，只要用h来除：x = X/h, y =Y/h。三维类推。由于比例因子h可取任意非零常数，一个空间点的坐标可有无限多个齐次坐标值，即从n维空间映射到(n + 1)维空间是“一对多”的变换。例如，二维点正常坐标是5, 3，它对应的齐次坐标可以是15, 9, 3, -30, -18, -6和5, 3, 1等。从(n + 1)维空间映射到n维空间则是“多对一”的变换。为了方便起见，通常我们采用h =1时的规格化齐次坐标。如x, y的规格化齐次坐标为x, y, 1。2. 齐次坐标和齐次变换阵的优点(n + 1)维的齐次坐标表示，其变换矩阵也相应地增加了

23、行数和列数，因而齐次变换阵可以比非齐次变换阵表示更丰富的变换规则，解决了许多非齐次变换阵所不能解决的问题。具体如下：1) 解决了平移变换矩阵积的问题。可将平移、旋转、缩放三种变换用统一的方式，即用矩阵乘积的方式表达。即：P1 = T·P, P1为变换后的齐次坐标，P为变换前的齐次坐标，T为齐次变换阵。A. 二维齐次变换矩阵：。从变换功能上可把T2D分为四个子矩阵，其中是对图形进行比例、旋转、对称、错切等变换；是对图形进行透视变换；对图形作平移变换；是对整体图形做伸缩变换。B. 三维齐次变换矩阵：。其中，子矩阵产生比例、旋转、对称、错切等变换；产生透视变换；产生平移变换；产生整体比例变

24、换。 2) 可以容易地表示无穷远点。在h = 0时的齐次坐标即表示了一个n维的无穷远点，此时，其余n个分量可取任意值。相比之下，用传统坐标表示无穷远点时，n个坐标分量中要至少有一个分量为无穷大，而计算机中的字长总是有限的，所能表示的数的范围是有限的，要表示无穷大是困难的。3) 可以表示透视变换。将一组平行线变为交于一点的直线束的变换，称为透视变换。三维图形常用到透视变换。而传统坐标系却很难表示透视变换。第2章 光学测量基本理论三维空间中的物体到像平面的投影关系即为成像模型。在数字视觉系统中，就是建立摄像机CCD（CMOS）像面坐标系与参考坐标系之间的关系。根据模型的参数选择，建模方法主要有以下

25、两种：对映函数法和小孔成像变换法。1. 对映函数法（coodinate mapping）：完全利用投影变换理论，通过无任何物理意义的中间参数，将图像坐标系与测量参考坐标系联系起来。对该类数学模型的局部标定就是计算中间参数的过程，且对这些参数无任何约束，只要它们结合在一起能完成正确的三维测量就行。2. 小孔成像变换法：通过具有明确物理意义的几何结构参数，如光心、焦距、位置以及方向等，建立图像坐标系与测量参考坐标系的关系。这类方法的模型参数分为摄像机内部参数和摄像机外部参数。摄像机内部参数指摄像机内部的几何和光学特性，而其外部参数是摄像机相对于测量参考坐标系的方位参数。这种模型直观，可根据使用场合

26、以及要求达到的精度不同，建立不同复杂程度的数学模型。对映函数法我们将在后面章节与摄像系统标定一起讨论，这里我们重点讲第二种建摸方法。2.1小孔成像模型理想的投影成像模型是光学中的中心投影，也称为针孔成像模型。针孔模型假设物体表面的反射光都经过一个“针孔”而投影在像平面上，即满足光的直线传播的条件。针孔模型主要由光心（也称投影中心）、成像面和光轴组成，针孔模型的焦距fp等于光心到像面的距离，物距u等于光心到物面的距离。如图2- 所示。由于针孔成像透光量太小，很难在实际中应用。而摄影镜头光通量大，并能清晰聚焦成像，因此实际应用的摄影系统通常是由镜头构成。如图2-2所示，理想的透镜成像满足高斯定律：

27、 2-1其中，fL为镜头的焦距，u为物距，v为像距。在针孔成像中，焦距等于像距，而在透镜成像中，焦距只有在拍摄无限远的情况下才等于像距，所以，透镜焦距与针孔成像所指的焦距不是同一个概念。但是，理想透镜与针孔在成像关系上是一致的，即像点是物点和光心的连线与图像平面上的交点，因此， 可用针孔模型作为摄像机成像模型。通过针孔模型具有明确物理意义的几何结构参数，可建立图像坐标系与测量参考坐标系的关系。2.2光学测量常用坐标系图2- 表示三个不同层次的坐标系统：物空间坐标系、摄像机坐标系和图像坐标系。摄影测量常用坐标系一般采用右手准则来定义，当伸出右手拇指、食指和中指成相互垂直状，拇指指向x轴，食指指向

28、y轴，中指则指向为z轴。在右手坐标系中，以右手大拇指指向旋转轴的正向，其余四指所指的方向为逆时针方向。当物体在坐标系中旋转一角度，逆时针为正，顺时针为负；但物体不动，坐标系旋转时，则相反，以顺时针为正，逆时针为负。1. 物空间坐标系（Ow-xwywzw）它是由用户任意定义的三维空间坐标系，也称世界坐标系或全局坐标系。通常是将被测物体和摄像机作为一个整体来考虑的坐标系。图2- 中（Oc-xwywzw）是以摄像机光心Oc为原点，通过平移物空间坐标系而得到的辅助坐标系。2. 摄像机坐标系（Oc-xcyczc）摄像机坐标系的原点Oc为摄像机光心，zc轴与摄像机的光轴重合，且取摄影方向为正向。xc、yc

29、轴通常与图像物理坐标系X, Y轴平行，如图2- 所示。其中平面S和S定义为图像的负像和正像位置，分别位于摄像机坐标系的zc = - f平面和zc = f平面内，f为摄象机中心到图像面的垂直距离，成为像片S的主距。但此主距不同于摄象机镜头的焦距fL。在我国，习惯上用第一转角系统来定义摄像机光轴及图像方位的变化，在该转角系统中， 3个角元素，有严格的定义，如图2- 中所示。，来描述摄象机光轴在物空间坐标系中的方位，描述图像以摄象机光轴的旋转方位。为摄像机光轴zc在平面xw zw上的投影zc同zw之间的夹角；为为摄像机光轴zc同它在平面xw zw上的投影zc之间的夹角；是图像旋角，定义为yw轴在图像

30、平面XY内投影yw”和Y轴的夹角。3个角度的正向按右手法则规定为：，以逆时针为正，以顺时针为正。在不同的应用领域中，这三个角度的定义可能不同。3. 图像坐标系在摄影测量学中，为了便于像点和对应点空间位置的相互换算，图像坐标系一般建立在正像平面S中，如图2- 所示。图像坐标系又分为图像像素坐标系(u, v)和图像物理坐标系(X, Y)两种，其定义分别为：1) 图像像素坐标(u, v) 图像像素坐标系是以图像左上角为原点，以像素为坐标单位的直角坐标系。u, v分别表示该像素在数字图像中的列数和行数。2) 图像物理坐标系（X, Y）图像物理坐标系是以光轴与像平面的交点为原点，以毫米为单位的直角坐标系

31、。其X、Y轴分别与图像像素坐标系的u, v轴平行。2.3 坐标系的变换关系与共线方程在光学三维测量过程中，需要就各坐标系间建立相互转换关系。1. 物空间坐标系与摄像机坐标系的坐标变换物空间坐标系中的点的坐标P(xw, yw, zw)到摄像机坐标系的坐标P(xc, yc, zw)的转换包含平移和旋转两种转换，用矩阵形式表示为： 2- 式中：为旋转变换阵，其中：，, ；为平移变换矩阵。用齐次坐标表示式2- 为： 2-式中，ME为物空间坐标系与摄像机坐标系之间齐次变换阵，它由三个转角，和三个平移变量tx, ty, tz共6个参数决定。这6个参数为摄像机外部参数， 也称外方元素， 他们决定摄像机在物空

32、间坐标系中的方位。2. 图像像素坐标系摄像机坐标系的变换关系在理想情况下，根据针孔成像的几何结构，将摄像机坐标系下的三维坐标（xc，yc，zc）转换为图像物理坐标系O-XY下的二维坐标，几个关系如下，如图2- 所示： 将上式用齐次坐标表示为： 2-将图像物理坐标系进一步转化为图像像素坐标系，则图像像素坐标系（u, v）与图像物理坐标系（X, Y）变换式为： 2-用齐次坐标表示为： 2- 其中，u0, v0为图像中心（光轴与图像平面的交点）的坐标， dx和dy分别为一个像素在X和Y方向上的物理尺寸。3. 物空间坐标系与图像坐标系的转换（共线方程）将式2- 与式2- 代入式2- ，11可得到物空间

33、的三维坐标（xw, yw, zw）和计算机图像的二维坐标（u, v）的理想模型（即共线方程）为： 2-用齐次方程表示为：其中，MI完全由参数f, dx, dy, u0, v0决定，这些参数是摄像机的内部参数，称为内元素，它们决定摄像中心与成像面相对位置关系。ME如前述完全由摄像机外部参数所决定。根据共线方程，在摄像机内部参数确定的条件下，利用若干个已知物点和相应的像点坐标，就可根据式2- 求解出摄像机的6个外部参数，即摄像机的光心和光轴方位的信息。将共线方程写为下列形式：其中，为3 * 4不可逆矩阵，称为投影矩阵。与前面相比，采用投影映射矩阵使共线方程在表达形式上更加简洁，而且由于矩阵M确定了

34、空间点坐标与它的图像坐标点的关系，因此可以不再分解求出摄像机内外参数。也就是说矩阵M本身也代表了摄像机参数，但这些参数不像焦距、光心一样具有具体的物理意义，而是摄像机参数的一种综合表示。故有些文献中称为隐参数。共线方程是光学（摄影）测量学中最基本、最重要的方程。几乎所有摄影测量的理论方法都是以此为基础的。掌握共线方程的基本原理和方法对光测学习与研究者是十分重要的。2.4 实际摄像机成像模型在实际上，摄像机镜头是非理想光学系统，即便是最严格的设计，它还是存在各种误差因素，如透镜像差及加工装配误差等（统称畸变误差）。这样像点、光心和物点在同一直线的小孔模型关系便不存在，这表明实际成像模型并不满足线

35、性关系，而是一种非线性关系。相比之下，中焦距镜头或中长焦镜头的一般可做到较小的畸变误差，而短焦（广角）镜头会有较大的畸变误差。因此使测量系统有较高的精度，需要用非线性模型对理想模型进行修正。描述图像点的非线性畸变可用下面的公式： 2-其中，（X, Y）为针孔模型成像条件下的图像点理想坐标，（Xd, Yd）为图像点实际的坐标。x与y分别为x和y方向上的畸变值，它和图像点的位置有关，一般镜头中心成像区的畸变较小，而成像边沿区域较大。将上式用齐次坐标表示： 2-所以，在考虑镜头畸变误差的情况下，实际摄像机成像模型为： 3-在实际摄像机成像模型中，摄像机内部参数多出了误差项。误差项和摄像机内部参数往往

36、要通过摄像机标定来确定。第三章 三维光学测量原理基于针孔模型的摄像机成像关系，是像点、光心和物点三点共线。对于单个摄像机而言，如果光心和像点位置已知，就可确定物点必然在像点和光心相连的射线上，但是物点在射线上的具体位置无法确定。也就是说，在没有其他附加信息的条件下，仅用单个摄像机是无法确定目标点的三维空间位置的。3.1 被动三维测量被动三维测量采用非结构光照明方式，从二个或多个摄像系统获取的不同视觉方向的二维图像中，通过相关或匹配来解算物体的三维面形数据，重建物体的三维形态。采用双摄像机的系统与人眼双目立体视觉的原理相似，因此，该方法也称为双相机视差法。该方法常用于对三维目标的识别、理解，以及

37、位置、形态的分析，即在机器视觉（计算机视觉）领域中广泛应用。在使用两台或多台摄像机的条件下，利用各个摄像机的光心和像点组成的射线都通过空间物点，即各射线应在物点相交的原理就可以对空间物点进行交会定位，简称线线交会。这就是近景摄影测量学中的三角测量法的基本原理。图3- 为多台摄像机对空间物点P成像的示意图。由此可见物点P为摄像机光心Oi和相应的像点pi组成的射线的交点。设空间点P(xw, yw, zw)由第i个摄像机拍摄的图像点为pi(ui, vi)，则共线方程可写为方程组： 3-1在上式中分别消去zci，可的关于xw, yw, zw的两个线性方程： 3-2对于单个摄像机，由于式3-2表示的方程

38、组为不定方程组，方程只有两个，但未知数却有三个，因此没有唯一解。当两台或两台以上摄像机交会时，方程的个数变为2i（i2），多于未知数的个数，于是该方程组变为超定方程组，因此可用最小二乘法求解确定空间点的坐标。由于实际摄影系统客观存在各种误差，特别是镜头畸变误差、目标图像提取误差、摄影系统参数求解舍入误差等，使得物点、光心和像点很难严格满足共线条件。因此，这些射线不是严格意义上的相交于一点，而是近似相交于一点。对于非微观的摄影测量测量系统，镜头的物距远大于像距。在确定由光心和像点组成的射线过程中产生的微小误差，会对空间交会结果带来很大的误差。因此精确地确定摄影系统的系统参数和精确地提取目标对应像

39、点的位置是保证测量精度的关键。在传统摄影测量学中，将空间被测目标点看作空间三维物体的基元。基元点在理论上可以是物体表面上的任意点，但是一般只能取物体表面的特征点（如多面体顶点等），这些特殊点一般有较明显的图像特征或通过贴标志的方法与周围产生明显的反差，这样就比较容易从在不同角度摄像机拍摄的图像中找出相同点的对应关系。若物体需要定位的点很多，则在图像中较难使每个点都能找到一一对应的关系，通常需要借助如遗传算法等算法的帮助。3.2 主动三维测量主动三维测量采用结构光投射方式，投影器向被测物体表面投射结构照明光，接收器接收由被测三维表面返回的光信号，由于三维面形对结构光产生空间或时间调制，因此从接收

40、到的光信号中就可以得到物体的三维面形数据。相比于被动三维测量方法，主动三维测量方法通常具有较高的数据密度和测量精度，因此大多数以三维面形测量为目的的三维测量系统都采用这种方式。结构光光源一般采用激光光源和普通白光光源。由于激光光源具有亮度高、方向性强和单色性好，易于实现调制等优点，所以在三维测量领域得到广泛应用；白光光源的结构光照明方式具有成本低、结构简单的优点，特别在面结构光照明的三维测量中得到越来越多的应用。根据三维面形对结构照明光场调制方式的不同，人们将主动三维测量方法分为时间调制和空间调制两大类。时间调制法是基于三维面形对结构照明光束产生的时间调制，光源通常为激光，又称激光测距，如图3

41、- 所示。根据测距原理不同又分为脉冲激光测距和激光相位测距。脉冲激光测距是发射器将一个激光脉冲信号发出，经物体表面反射后，沿几乎相同的路径反向传递回到接收器，检测光脉冲从出发到接收之间的时间延迟，就可以计算出光发射点到光在物体表面反射点的距离。这种方法很原理简单，但是要得到较高的距离测量精度，对信号处理系统的时间分辨率有极高的要求。激光相位测距则采用单一频率调制的激光束，然后比较发射光束和接收光束之间的相位，计算出距离，但所测距离一般不能超过其波长的一半。空间调制法是一种更常用的方法，它是基于三维面形对结构光产生的空间调制。使用结构光的空间调制从原理上也可理解为被动式双像机交会三角测量中的某一

42、个像机用事先约定好的结构投射光来代替，并利用投影系统和成像系统的几何关系来完成三维面形测量的，如图3- 所示。由于三维面形对结构光束产生了空间调制，根据变化图形在接收器CCD位置上的变化，即可计算出三维面形数据。事实上，大多数三维测量仪器都以此为原理，如图3- 所示采用单光束点结构光是最简单的情况。采用片状光束的线结构光是三角测量法的一种扩展。至于采用投影光栅等面结构光的相位测量三维面形解算法（Phase Measuring Profilometry，简称PMP）和傅立叶变换三维面形解算法（Fourier Transform Profilometry, 简称FTP）在光路几何关系方面也属于三角

43、测量法，只不过使用不同的技术方式从观察光场中提取三角计算所需要的几何参数。下面我们主要就第二类空间调制法展开讨论。 三种基本的结构光照明形式第一种是点结构光，投射器向被测物体表面投射一直线光束并形成一个光点，如图3- 所示。激光具有高亮度和良好的方向性，是理想的点结构光源。点结构光源将光能集中在一个光点上，具有高的信躁比，可以测量较暗的和距离较远的物体。但由于每次只有一个点被测量，为了完成整个面形测量，必须附加二维机械扫描系统来协助完成。 第二种是线结构光，投射器向被测物体表面投射一个片状光束并与物体表面形成亮交线，如图3- 所示。使用线结构光，通常只需附加一维机械扫描系统即可完成完整的三维面

44、形数据的测量。 第三种是面结构光，投射器投射一个二维图形到被测物体表面，并在物体表面上形成调制图形。使用多个片状光束可构成最简单的多线结构光投影。但最常用的面结构光都是几何光栅投影，主要类型有：条纹光栅、正交光栅、点阵、圆形光条、交叉线、空间编码模板等。根据不同的应用对象，可设计不同的结构光形式。条纹光栅如图3- 所示。 采用激光片光的三维测量1. 激光片光的形成在采用线结构光照射的三维测量系统中，投射器投射片状光束，这种光束又称片光或光刀。光刀与被测物体表面相交形成一条剖面轮廓线，接收器CCD所接收的是这条受到三维面形调制的轮廓线的影像信息，解调影像信息就可以得到该剖面线上各点的三维数据。

45、产生片光的方法常用的有柱面镜法和球面镜组合的方法， 如图3-所示。2. 激光片光三角测量原理3. 在片光平面上以一点ow为原点，建立测量参考坐标系ow-xwywzw, 其中光片面位于ow-xwyw平面。光平面在测量参考系的方程为： 将此式代入共线方程（摄像机变换模型），式2- ，和2- ，可得线结构光测量的数学模型： 3- 式3- 表明片光平面ow-xwyw与图像平面坐标o-uv成点对点的一一透视对应关系。只要已知摄像机坐标系oc-xcyczc相对于ow-xwyw的方位（旋转与平移）参数，就可由坐标值（u, v）求出（xw, yw）值，从而得到被测点的空间坐标值（xw, yw, 0）。由此看出

46、，线结构光测量完成光平面内的二维测量。测量坐标系原点ow为人为设定，因而可方便地求出摄像机的结构参数。如前所述，采用线结构光的测量系统还需要一维机械扫描的配合才能完成对整个物体面形三维坐标的连续测量。 投影光栅相位测量法投影光栅相位测量法(Phase Measuring Profilometry, 简称PMP)是一种三维测量方法。这种方法采用正弦光栅投影和相位测量技术相结合，来获取物体的三维面形数据。.1 相位测量法的基本原理 相位测量法也遵循三角测量的基本原理，即投影系统和成像系统的光轴成一定角度关系， 成像系统可以观察和记录被物体调制的变形投影光栅，并根据变形光栅的相位信息，来解算出物体表

47、面各点相对于参考平面的数据信息。当一个正弦光栅图形被投影到三维漫反射物体表面时，从成像系统获取的变形光栅像可表示为： 或： 式中，I(x, y)是图像坐标系中像点(x, y)的光强（灰度）值，A(x, y)是背景光强，B(x, y)是条纹图的振幅，(x, y）条纹图的相位场，C(x, y)是加性随机噪音，(x, y)是调制光强系数（条纹光强对比度），(x, y)随机噪音与背景光强比值。相位函数(x, y)包含条纹的变形信息，并且与物体的面形高度值h(x, y)有关。相位和三维形状之间的关系取决于系统结构参数。由于变形光栅图与传统光学中干涉条纹图相似，因此变形光栅图有时也被称为“干涉图”。在干涉

48、计量中，光波波长是度量微观起伏的尺度，而PMP方法中与投影条纹间距有关的“等效波长”可看作为度量三维宏观面形的尺度。1. 相移法相位计算从式3- 可知，一幅条纹图的光强灰度信息中包含有多个未知变量，若无附加信息，通常是不可能直接解出(x, y）。相移算法可提供一种精确测定相位(x, y)的技术手段。它通过将投影光栅横向移动一个固定的相位值，如移动其条纹周期的1/N时，条纹图的相位被移动2/N，则在原位置(x, y)产生一个新的光强函数In(x, y)，通过若干次相移，从联立方程中就可解出相位函数(x, y)。这种通过对条纹图相位场进行移相来增加若个常量相位而得到多幅条纹图以求解相位场的方法，称

49、为相移法(Phase shifting Methods)。/2四步相移（four-bucket technique）是最常用的相移法。主要是因为90o相移实现较方便，精度也较高。设四步相移为：(x, y)，(x, y)+/2，(x, y)+，(x, y)+3/2，所产生的四个四个条纹光强图为: 解联立方程组可解得相位函数： 上述公式中分子与分母分别为正弦和余弦函数与背景值的乘积，根据三角函数公式，对应的调制强度系数可解得： 通过不同的相位移动，可得到不同的相移条纹图，由此可导出各种不同的相移法公式，但基本都是通过对多幅图的运算，然后用反正切函数得到相位场的主值图，即值在-/2，/2的相位场，也

50、称锯齿形相位图。至于采用二步、三步乃至N步的相移算法可参考相关文献，这里不再赘述。相移法是在条纹图处理研究领域中最重要的发展和成果之一，目前已经得到广泛应用。与对条纹图的直接几何测量相比较，相移技术有明显的优点：（1）精度高，相位测量精度可达几十分到几百分之一个条纹周期；（2）对背景、对比度和躁音不敏感；（3）测点与CCD成像阵列一一对应，所得到的相位值是一个均匀分布的正交网格上点的测值，可与三维面形测量直接发生联系。与其他的相位解算技术相比，它没有相位符号二义性问题，这也是相移法得到广泛应用的重要条件。2. 相位展开（phase unwrapping） 由式3- 计算出的相位分布(x, y)

51、，被截断在反正切函数的主值范围-，内，是不连续的。为了从相位函数计算被测物体的高度分布，必须将由于反三角运算引起的截断相位恢复成原来的相位分布，这一过程称为相位展开，也称解包络。相位展开式如下： 3-式中，(j)为展开后的相位，(j)为反正切解出的一维截断相位函数，0iN-1, i是抽样点序号，N是抽样点总数。由上式展开的相位场即恢复了原来的以2为周期的正弦相位场分布。相位展开的原理很简单，但实际操作中有很多困难，至今仍是一个没有完全解决的问题。相位展开方法可以分为空域解包和时域解包两大类。空域相位解包法是利用一幅截断相位图来恢复连续相位分布的方法；时域相位解包法则是借助于多幅不同灵敏度的相位

52、图在时间轴上展开相位。普通的空域相位展开法是沿着一个展开方向比较截断处相邻两个点的相位值，如果差值小于-，则在后一点的相位值应该加上2；如果差值大于，则后一点的相位应该减去2。此方法可表示为： 3- 3-在实际中由于得到的相位数据是一个二维的抽样点阵列，所以相位展开应针对二维进行。可首先沿二维数据阵列中的第一列（或行）进行展开，然后以该列（行）展开后的相位为基准，沿每一行（列）进行相位展开，得到连续分布的二维相位函数。 然而，该方法是一个逐点扫描的积分累加过程，这样会使一点的误差向后继点传播，形成解包过程中常见的“拉线”现象。在是实测得到折叠相位图中，存在有噪音、阴影以及间断点，这些无效点都会

53、使普通的解包方法失败或使误差传播，即使只存在很少的无效点也会影响到整个相位图的解包。为了控制误差的传播效应，很多新的技术被采用，其中以模板技术为主，这种方法将无效点定位，然后再通过特殊的方法在解包过程中绕过这些点。因为无效点的确定和定位以及绕开这些无效点的算法本身是一个很复杂的问题，这些方法虽然取得了一定的效果，但离最终解决问题还有比较大的差距。为了避免频域相位解包过程中的出现的问题，H.O.Saldner和J.M.Huntly等 提出了时域解包方法。这种方法通过投射一系列不同频率的光栅条纹图像到物体表面，连续拍摄得到的物体表面的光栅投影图像可以认为是一个时间轴上的序列，然后将每点的相位在这个

54、序列上独立进行解包。这样解包过程是在时间轴上按像素点独立进行，与相邻点不发生关系，误差或错误被限制在各个单独的像素点，不会向其它点传播。3. 面形空间点坐标计算 在解算出展开后变形条纹场的连续相位分布后, 与参考平面x, y坐标点条纹相位(x, y)相对应的物体面形的三维坐标的计算取决于光学系统的结构参数。投影光栅有远心投射方式和发散投射方式，即光栅为平行光投射，适于精密小物体的测量。对于测量较大面形物体，一般采用白光发散投射方式。1) 远心光束投射方式在参考平面上看到的投影正弦光栅是等周期分布的，其周期为P0。在参考平面上的相位分布(x, y)是x方向的线性函数，记为： 光栅未调制前，物体轮

55、廓D点所对应的参考平面C点的相位为： 光栅被物体轮廓调制后，D点的相位与参考平面A点的相位一致：于是：设D点z坐标，即离开参考平面的高度DB, 可得：式中，和分别表示光栅投射方向角和观察方向角； 为等效波长，是一个系统参数，一个等效波长恰好等于引起2相位变化量的高度变化。相应的D点x坐标为： 2) 发散光束投射方式如图3- 所示，由于投影的光束是发散的，在基准平面上的相位分布已不是等周期的线性分布关系，不能按照式3-来表示，需要建立相位映射算法来处理相位和z坐标的关系。虽然(x,y)是x的非线性函数，但在参考平面上每一点相对于参考点O的相位值是唯一和单调变化的。根据系统结构参数，可以计算在参考平面上光场的相位分布，建立参考平面坐标（x, y）与相位分布(x,y)之间的映射关系，并以数据表的形式存储在计算机中备用。映射表的建立也可以通过对一基准平面的实测确定。在光栅图像未被物体面形轮廓调制前，CCD像机感应到经过D点的光线的相位就是光线在参考平面C点的光栅相位C。当光栅图像被面形轮廓调制后，D点反射光线的相位与光栅未被调制前A点的相位A是一致的。由于与x坐标成映射关系，通过查表以及插值的方法可获得A点和C点的x轴坐标值，AC=OC - OA段的距离可求得。由三角关系可计算出