第五章_多目标问题的最优化方法

1、第五章 多目标问题的最优化方法 5.1 5.1 引言引言 5.2 5.2 协调函数法协调函数法 5.3 5.3 统一目标函数法统一目标函数法 5.4 5.4 功效系数法功效系数法5.15.1 引言引言一一. . 多目标问题的数学模型：多目标问题的数学模型： 设设 X =x1, x2 , ,xnT min. F (x) XRn s.t. gu(x) 0 u = 1,2,m hv(x) = 0 v = 1,2, p 。个评价指标达到最优值表示希望或写为：其中：qxfxfxfxfxfxfxFqTq,.min,2121二二. . 最优解与选好解、劣解与非劣解：最优解与选好解、劣解与非劣解：0f2f1

2、1 3 2 4 6 5 对于对于f1(x)，1最好，其次为最好，其次为3，2，4，5，6； 对于对于f2(x)，2最好，其次为最好，其次为3，1，5，4，6。 综合考虑，综合考虑，1，2，3为为非劣解非劣解，4，5，6为为劣解劣解。5.15.1 引言引言非劣解非劣解 x* 的定义的定义： 多目标优化中，多目标优化中，x*是其中一个解，对是其中一个解，对于于 xD D ，若下式成立，为，若下式成立，为 x* 非劣解。非劣解。多目标优化的多目标优化的 K-T 非劣解：非劣解： x*D D ，若不存在搜索方向，若不存在搜索方向S，能同时满足：，能同时满足： muxgtsqjxfxfujj, 2 ,

3、10*. ., 2 , 1min*例：图中的例：图中的 T、P点。点。0*0*SxgSxfTT则则 x*为为K-T非劣解。例，图中的非劣解。例，图中的 Q、S点。点。 nqnqqqnxfxfxfxfxfxfxf2112111 nrnrrrnxgxgxgxgxgxgxg2112111其中：5.15.1 引言引言劣解劣解： 除去非劣解的其它解，即为劣解。除去非劣解的其它解，即为劣解。选好解选好解：非劣解中，满足工程实用目的的最好解。：非劣解中，满足工程实用目的的最好解。最优解最优解：使各个分目标函数同时达到最优值的解。：使各个分目标函数同时达到最优值的解。多目标函数问题的优化设计过程多目标函数问题

4、的优化设计过程： 1、先求非劣解；、先求非劣解； 2、从非劣解中选出选好解。、从非劣解中选出选好解。常用的求选好解的方法常用的求选好解的方法： 1、协调曲线法：协调曲线法： 2、统一目标函数法：目标规划法、线性加权因子法、统一目标函数法：目标规划法、线性加权因子法 3、功效系数法：、功效系数法： 另外，还有分层序列法、词典编辑法、边界目标函数法等另外，还有分层序列法、词典编辑法、边界目标函数法等5.25.2 协调函数法协调函数法一一. . 基本思想：基本思想： 在多目标优化设计中，当各分目标函数的在多目标优化设计中，当各分目标函数的最优值出现矛盾时，先求出一组非劣解，以最优值出现矛盾时，先求出

5、一组非劣解，以其集合得出其集合得出协调曲线协调曲线，再根据恰当的匹配关，再根据恰当的匹配关系得到系得到满意曲线满意曲线，沿着满意程度的增加的方，沿着满意程度的增加的方向，各分目标值下降，直至获得选好解。向，各分目标值下降，直至获得选好解。二二. . 协调曲线与满意曲线协调曲线与满意曲线： 协调曲线协调曲线： 双目标函数的协调曲线双目标函数的协调曲线 。时，得到的最优点集合当加权因子从021021muxgtsxWfxfxfu,.min5.25.2 协调函数法协调函数法 满意曲线满意曲线：是一个指标，根据各分目标函数之间互相作出让步后，得是一个指标，根据各分目标函数之间互相作出让步后，得出恰当的匹

6、配关系。出恰当的匹配关系。 多目标函数的协调超曲面：多目标函数的协调超曲面： 的让步。为理想的合理值，是其中*,.,.minxffxffjvqvfxfxhmuxgtsqjxfvjvvvvvuj00121021021用以上数学模型依次求得各分目标函数的变化范围。用以上数学模型依次求得各分目标函数的变化范围。选好解选好解：包括：包括 x* 和和 f1(x*)，f2(x*)，fq(x*)。5.25.2 协调函数法协调函数法例例：径向动压轴承的优化设计。：径向动压轴承的优化设计。角速度径向载荷小功率损失油压足够油流量油膜温升油粘度油膜厚度长径比轴承间隙FMPaPQtsPammhDLDDcfo26. 9

7、150006859. 000127. 0125. 0min1设计要求设计要求选好解选好解0.04820.3满足0.0068597.518cm3/sec5.25.2 协调函数法协调函数法协调曲线协调曲线：Q - t 曲线曲线 包括了所有满足包括了所有满足 K-T 条件的非劣解。条件的非劣解。分析分析： 设计变量为：设计变量为：L/D、c、； 分目标函数为：供油量分目标函数为：供油量Q、温升、温升t； 约束条件：见前页。约束条件：见前页。性能曲线性能曲线： 是t 与其它参数之间的关系曲线，可看出各项指标之间的匹配关系。选好解选好解： 从协调曲线和性能曲线中可得出结论：从协调曲线和性能曲线中可得出结

8、论： S 点为较好方案。点为较好方案。5.35.3 统一目标函数法统一目标函数法（评价函数法评价函数法）一一. . 基本思想：基本思想： 按事先约定的某种关系，建立一个新的目标函数，将多目标问按事先约定的某种关系，建立一个新的目标函数，将多目标问题转化为单目标问题求解。按构筑新目标函数的方法不同，有以题转化为单目标问题求解。按构筑新目标函数的方法不同，有以下不同方法。下不同方法。二二. . 目标规划法目标规划法：（理想点法）：（理想点法） 先给每个分目标函数设定一个理想的最合理值，再设法使各分先给每个分目标函数设定一个理想的最合理值，再设法使各分目标尽可能达到最合理值。目标尽可能达到最合理值。

9、步。为分目标函数作出的让，为分目标函数的最优值其中，理想最合理值jjjjojfxfqjfxff*, 2 , 1*5.35.3 统一目标函数法统一目标函数法1 1、平方加权和法（全局准则法）：、平方加权和法（全局准则法）： 以各分目标函数值对各自的理想最合理值相对偏差的平方加权和以各分目标函数值对各自的理想最合理值相对偏差的平方加权和趋于最小作为全局准则。趋于最小作为全局准则。 muxgtsqjffxfWxFuPojojjqjj,.,.min210211 其中：其中：wj 为加权因子，为加权因子，0 wj 1，取决于各分目标函数的数量，取决于各分目标函数的数量级和重要程度。一般级和重要程度。一般

10、 P 取取 2。5.35.3 统一目标函数法统一目标函数法2 2、标度因子法：、标度因子法： ojjjjjjojjojjjjjjojjjjqjjjojjjjujjqjjfxffxffxffxffxfddfxfwwfxfdodmuoxgtsqjdwxF0750750111212111.*,.,.min则的程度。表示最终解达到理想解称为校正权。，标函数的量级，标度因子，调整各分目称为本征权。，的重要程度映各分目标函数离差值加权因子，只反称为目标函数的离差；其中：5.35.3 统一目标函数法统一目标函数法3 3、偏差法：、偏差法： 使各目标函数值偏离所定的目标函数理想值的偏差量最小。使各目标函数值偏

11、离所定的目标函数理想值的偏差量最小。 的下偏差。为各目标函数相对于的上偏差；为各目标函数相对于其中ojjojjjjojjjjuqjpjjfdfdoddfddxfmuxgtsqjpdd0210211211,.,.min5.35.3 统一目标函数法统一目标函数法 111jqsjjjsjjjwoxfwxfwxF.min三三. . 乘除法乘除法: : 目标函数中有一些属于费用类，即目标函数值越小越好，有一些目标函数中有一些属于费用类，即目标函数值越小越好，有一些属于效果类，即目标函数值越大越好。总目标函数表达式中为了能属于效果类，即目标函数值越大越好。总目标函数表达式中为了能统一表达，采用了乘除法、线

12、性加权组合法等方法。统一表达，采用了乘除法、线性加权组合法等方法。 设设q个分目标函数中有个分目标函数中有s个属于费用类，个属于费用类，q - s 个属于效果类，总目个属于效果类，总目标函数表达式如下：标函数表达式如下：四四. . 线性加权组合法：线性加权组合法： qsjjjjSjjxfwxfwxF11)()(.min5.35.3 统一目标函数法统一目标函数法五五. . 目标函数规格化法：目标函数规格化法： 当各分目标函数值在数量级上有很大差别时，可先做一次规格化。当各分目标函数值在数量级上有很大差别时，可先做一次规格化。以三角函数、指数、线性或二次函数等作为转换函数，使目标函数以三角函数、指

13、数、线性或二次函数等作为转换函数，使目标函数值规范在值规范在 0,1 0,1 之间。之间。 xfwxFxftttxfxfqjjjjjjjjjjjjjj122.minsin：总目标函数其中取规格化函数若能估计出上、下界，例：5.35.3 统一目标函数法统一目标函数法六六. . 线性加权法：线性加权法：1、容限值法：、容限值法： 目标函数是平方误差值时使用，可起平衡各目标函数数量级的作用。目标函数是平方误差值时使用，可起平衡各目标函数数量级的作用。 20120, 2 , 1jjjjjjjjjjjfwfxfqjxf则加权因子令容限值；，若不易估计，可令：估计上、下界2 2、两项加权因子：、两项加权因

14、子： 用于一般情况适用于有导数信息的情况：适用于有导数信息的情况： 2221211xfwwwwwwjjjjjjj目标函数的数量级，是校正权，用于调整分函数的重要程度；是本征权，反应分目标其中：5.35.3 统一目标函数法统一目标函数法 适用于无导数信息的情况：适用于无导数信息的情况：qjjjjjjqjjjjqjjjjjjxfxfxfxfwxfxfwwwwww1)0()0(21)0()0(112121*1*1 例例：有下列两个一维的分目标函数，试用加权因子线性组合法，求此有下列两个一维的分目标函数，试用加权因子线性组合法，求此多目标函数的选好解。多目标函数的选好解。 10.min32.min12

15、21xxxxfxxf约束区域：分目标函数：D5.35.3 统一目标函数法统一目标函数法解：解： 0001. .)32(1.min12212211xxtsRXxwxwxfwxfwxF 。，得，令其为零；即；，；根据时，时用误差容限法求：25*)(1617*41*2872432144114112212312, 111,21130, 10021222122221122211122112121xfxfxxdxdFxxxxxfxfxFfwfwffxfffxffxwjjjj一一. . 基本思想：基本思想： 给每一个分目标函数值一个评价，以功效系数给每一个分目标函数值一个评价，以功效系数dj (0dj 1)

16、表示。对表示。对于一个设计方案于一个设计方案 xk , F(xk)，有，有q个分目标函数值个分目标函数值f1(xk), f2(xk), fq(xk), ，对应对应q个功效系数个功效系数 d1,d2,dq 。 以各功效系数的几何平均值为方案的评价函数以各功效系数的几何平均值为方案的评价函数 d ：。，求得最理想方案：时，当*.max21xFxxdddddkqq二二. . 功效系数和功效函数：功效系数和功效函数： 1、功效系数、功效系数dj ：表示对于分目标函数值：表示对于分目标函数值 fj (x) 的满意程度。的满意程度。 若若dj =1，表示效果最好，非常满意；，表示效果最好，非常满意； dj

17、 =0，表示效果极差，方案不可取。，表示效果极差，方案不可取。5.45.4 功效系数法功效系数法5.45.4 功效系数法功效系数法2、功效函数、功效函数 dj = j (fj ) ：描述：描述 dj与与 fj 之间的关系。有三种类型：之间的关系。有三种类型：a) 越大越好：越大越好：fj dj ， fj dj ；b) 越小越好：越小越好：fj dj ， fj dj ；c) fj 取合适的值时取合适的值时, dj 最大，最大，fj比此比此 区间大或小，区间大或小，dj 均均。5.45.4 功效系数法功效系数法例：例：门式起重机变幅四杆机构的优化设计门式起重机变幅四杆机构的优化设计 有四个要求有四

18、个要求： 05 . 03 . 05 . 07 . 03 . 011 . 0minmax. 11111min1dmdmdmdmyhyyhyxfE点走水平直线要求 minmax. 3minmax. 232MxfAvxfEx小越好所引起的倾覆力矩差越货物对支点的变化率越小越好点水平分速度这三个要求都属于第二类功效函数。这三个要求都属于第二类功效函数。5.45.4 功效系数法功效系数法倾覆力矩值倾覆力矩值 M = M ()： 当变幅距离较小时，希望有负倾覆当变幅距离较小时，希望有负倾覆力矩力矩 M1，能恢复机构的正常位置。，能恢复机构的正常位置。 -10M10 时，时，d4 =1 M1 20时，时，d4 =0 当变幅距离较大时，希望有正倾覆力当变幅距离较大时，希望有正倾覆力矩矩 M1，能恢复机构的正常位置