第4节第一课时相似三角形的判定

1、图形的相似图形的相似本章内容第第3章章 相似三角形的判定相似三角形的判定本课内容本节内容3.4.1定义定义判定方法判定方法全等全等三角三角形形相似相似三角三角形形三角、三边对三角、三边对应相等的两个应相等的两个三角形全等三角形全等三角对应相等三角对应相等, , 三边对应成比例的三边对应成比例的两个三角形相似两个三角形相似 角边角角边角ASA角角边角角边AAS边边边边边边SSS边角边边角边SAS斜边与直角边斜边与直角边HL 判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？说一说说一说说一说说一说 对应角相等对应角相等, ,三组对应边的比也相等的两个三三组对应边

2、的比也相等的两个三角形是角形是相似三角形相似三角形. .ACBACB= kABC ABC ABBCCAA BB CC A AA ,BB ,CC 公共角公共角 两直线平行两直线平行 同位角相等同位角相等F 平行线分线段成比例平行线分线段成比例结论结论平行于三角形一边的直线与其他两边相平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似交，截得的三角形与原三角形相似ABCDE在ABC中，如果DEBC， 那么ADEABC.你还能画出其他你还能画出其他图形吗？图形吗？结论结论平行于三角形一边的直线与其他两边相平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似交，截得的三角形与

3、原三角形相似你还能画出其他你还能画出其他图形吗？图形吗？DEACB如果DEBC，那么ADEACB.举举例例例例1：在：在ABC中，已知点中，已知点D, ,E分别是分别是AB, ,AC边的中点边的中点. .求证：求证： ADE ABC. .,D EAB ACDE证证明明： 点点分分别别是是边边的的中中点点，,BC ADE ABC. .ABCDE举举例例例例2：点点D为为ABC的边的边AB的中点，过点的中点，过点D作作DE BC交交AB于点于点E.延长延长DE至点至点F，使，使DE=EF. .求证：求证：BFE ACB. .,.DABCABAECEDEFEAEDBEFADEBFE 证证明明：点点

4、是是的的边边的的中中点点，又又 ADE ACB. .DE / BC,DE / BC, BFE ACB. .ABCDEF思考：三个内角对应相等的两思考：三个内角对应相等的两 个三角形一定相似吗？个三角形一定相似吗？三个三个内角内角对应相等对应相等.观察你与老师的直角三角尺观察你与老师的直角三角尺 , ,会相似吗？这两个三角形的三个内角的会相似吗？这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？大小有什么关系？(30(30O O 与与6060O O) ) 相相似似 画一个三角形画一个三角形 ，使三个角分别为，使三个角分别为6060，4545, 75, 75 同桌分别量出两个三角形三边的长度；同桌分别量出两

5、个三角形三边的长度；同桌这两个三角形相似吗同桌这两个三角形相似吗?猜想：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形猜想：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_相似相似一定需三个角吗？一定需三个角吗？ 观察观察思考：如果三角形两个内角对应相等，请验证这思考：如果三角形两个内角对应相等，请验证这 两个三角形是相似的两个三角形是相似的.分析分析:要证两个三角形相似，要证两个三角形相似，目前只有两个途径目前只有两个途径:一个是三角形相似的定义（一个是三角形相似的定义（显然条件不具备）；显然条件不具备）；二是利用平行线来判定三角形相似

6、的定理二是利用平行线来判定三角形相似的定理.ABCA C B 求证求证:ABC ABC已知：在已知：在ABC 和和 ABC 中中,ABCA C B 求证求证:ABC ABC已知：在已知：在ABC 和和 ABC 中中,D E 证明：在证明：在ABC的边的边AB、AC上，分别上，分别截取截取AD=AB，AE=AC ，连结，连结DE. AD=AB ,A=A，AE=AC A DE ABC ， ADE=B，又又 B=B， ADE=B， DE/BC， ADEABC. ABCABC.结论结论判定定理判定定理1 1 如果一个三角形的两个角与如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这另一个三角

7、形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似两个三角形相似. .即：两角分别相等的两个三角形相似即：两角分别相等的两个三角形相似. .CAABBC A=A， B=B ABC ABC下面每组的两个三角形是否相似？为什么？下面每组的两个三角形是否相似？为什么？70o50o30o30o30o30o55o30o60o50o说一说说一说举举例例例例3：在在ABC中，中， 从点从点D分别做边分别做边AB，AC的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为E，F. .DF与与AB交于点交于点H. . 求证：求证：DEH BCA. .DEH BCA./ AC BACHFED举举例例例例4：在在RtRtABC与与RtRtDE

8、F中，中， 若若 求求EF的长的长. .DEF ABCACBDFEABCABCABC与与 相似吗？相似吗？A BCA BCABBCA BBC ，B=如图如图, ,方格纸上两个三角形，方格纸上两个三角形， 使使ABC与与 满足满足B 量一量量一量C与与 的大小，看看你有什么发现的大小，看看你有什么发现.CB A C 思考：思考：如果三角形两边对应成比例，且夹角相等请验证这两个如果三角形两边对应成比例，且夹角相等请验证这两个三角形是相似的三角形是相似的.已知已知:在在ABC 和和 ABC 中中, 求证求证:ABC ABC 证明证明: :在在ABC的边的边AB( (或延长线或延长线) )上上 截取截

9、取AD=AB, , ABCABCE 过点过点D作作DEBC交交AC于点于点E. .A BA CABAC ，D ADEABC， ADAEABAC，,ADA B A BA CABAC ，ADAEA CABACAC ，,AEA CA=A思考：思考：如果三角形两边对应成比例，且夹角相等请验证这两个如果三角形两边对应成比例，且夹角相等请验证这两个三角形是相似的三角形是相似的.已知已知:在在ABC 和和 ABC 中中, 求证求证:ABC ABC 证明证明: :在在ABC的边的边AB( (或延长线或延长线) )上上 截取截取AD=AB, , ABCABCE 过点过点D作作DEBC交交AC于点于点E. .A

10、BA CABAC ，DA=AADE ABCA B C A B C 结论结论判定定理判定定理2 2 如果一个三角形的两条边如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似且夹角相等，那么这两个三角形相似即：两边对应成比例且夹角相等的两个三即：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似角形相似. .ABCABCA=A，那么那么 ABC ABC举举例例例例5：在在ABC与与DEF中，已知中，已知 AC=3.5cm,=3.5cm,BC=2.5cm,=2.5cm,DF=2.1cm,=2.1cm,EF=1.5cm. =1.5cm. 求

11、证：求证：ABC DEF. .ABCDEF举举例例例例6：在在ABC中，中，CD是边是边ABAB上的高，上的高， 且且ABDCABCCBA是否存在三边对是否存在三边对应成比例，两三应成比例，两三角形相似呢？角形相似呢？是否存在是否存在 ABC ABC？A BA CB CABACBC 猜想：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形猜想：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形_相似相似ABC把方格纸中的把方格纸中的ABC的各边放大的各边放大到原来的到原来的2 2倍，得到倍，得到ABCACBABC与与ABC相相似吗？似吗？AB

12、C与与ABC的三边有什的三边有什么数量关系？么数量关系？思考：思考：如果三角形三条边对应成比例，请验证这两个三角形是如果三角形三条边对应成比例，请验证这两个三角形是相似的相似的.已知已知:在在ABC 和和 ABC 中中, A BA CB CABACBC 求证求证:ABC ABC 证明证明: :在在ABC的边的边AB( (或延长线或延长线) )上上 截取截取AD=AB, , ABCABCDE 过点过点D作作DEBC交交AC于点于点E. . ADEABC， ADAEDEABACBC,ADA BADA BABAB 思考：思考：如果三角形三条边对应成比例，请验证这两个三角形是如果三角形三条边对应成比例

13、，请验证这两个三角形是相似的相似的.已知已知:在在ABC 和和 ABC 中中, A BA CB CABACBC 求证求证:ABC ABCABCABCDE又又 因此因此A BA CB CABACBC ,.DEB CEAC ABCBCCACA ,.DEB C EAC A ABCADE A B C A B C 那么那么A B C如果如果结论结论判定定理判定定理3 3 如果一个三角形的三条边如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似那么这两个三角形相似即：三边成比例的两个三角形相似即：三边成比例的两个三角形相似. . 已知已知ABC和

14、和 DEF,根据下列条件判断它们根据下列条件判断它们是否相似是否相似. .(3)(3) AB=12， BC=15， AC24 DE16， EF20， DF30(2) (2) AB=4， BC=8， AC10 DE20， EF16， DF8(1)(1) AB=3， BC=4， AC6 DE6， EF8， DF9 （大对大，小对小，中对中）（大对大，小对小，中对中）练习练习【1 1】两个直角三角形一定相似吗？两个直角三角形一定相似吗？ 两个等腰直角三角形呢？为什么？两个等腰直角三角形呢？为什么？1.1.所有的直角三角形不都相似；所有的直角三角形不都相似；2.2.所有的等腰直角三角形都相似所有的等腰

15、直角三角形都相似. .ABCDEF做一做做一做【2】两个等腰三角形一定相似吗？两个等腰三角形一定相似吗？ 两个等边三角形呢？为什么？两个等边三角形呢？为什么？做一做做一做1.1.所有的等腰三角形不都相似；所有的等腰三角形不都相似；2.2.所有的等边三角形都相似所有的等边三角形都相似. .EDFBAC 判断判断44方格中的两个三角形是否相似方格中的两个三角形是否相似.解：根据勾股定理，得：解：根据勾股定理，得：22AB10BC2CA52EF5FD5DE52FDBCEFABDECAABCEFD想一想：找角的关系容易，想一想：找角的关系容易，还是找边的关系容易？还是找边的关系容易？练习练习 如图，如

16、图，ABC中，中， DEBC，EFAB， 试说明试说明ADEEFC. ADEBEFC （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）解解: DEBC，EFAB（已知），（已知），AEDC. （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） ADEEFC. （两个角分别对应相等的两个角分别对应相等的两个三角形相似）两个三角形相似）AEFBCD练习练习判定两个三角形相似的条件有哪些？判定两个三角形相似的条件有哪些？小结与复习小结与复习当我们在应用这些判定方法解题的时候一定要做正确的选择！当我们在应用这些判定方法解题的时候一定要做正确的选择！2.2.平行于三角形一边的判定方法平行于三角形一边的判定方法3.3.有两个角对应相等的判定方法有两个角对应相等的判定方法 4.4.有两边对应成比例且夹角相等的判定方法有两边对应成比例且夹角相等的判定方法 5.5.有三边对应成比例的判定方法有三边对应成比例的判定方法 1.1.根据定义判定根据定义判定答：它们相似，答：它们相似， 相似比为相似比为2:1.112221.A B CA B C如如图图在在正正方方形形网网格格上上有有和和，它它们们相相似似吗吗？如如果果相相似似，求求出出相相似似比比；如如果果不不相相似似，