华理复变答案1

1、华互理呈太号复变函数与积分变换作业（第1册）班级 学号 姓名 任课教师第一次作业教学内容：1.1复数及其运算1.2平面点集的一般概念1. 填空题：2' 2 2、3535.(1),， + 乙 2'(2) 1, 3, 1 + 3z, J10,一arcta n-1(1 + V3i)(4) x = 1, y = 132. 将下列复数化成三角表示式和指数表示式 (1)1 + 据;1 - cos 0 + i sin e(0<(p<TT)解:1 - cos (p + isin(p = 2 sincos(-)+ z si n(-)=2sine(cos 5?+ i sin5。) 2

2、(cos 3放T sin 3疔解:(cos 50 + , sin 5 疔=w 2-顷尸=M(cos 3。-i sin 3 。)'I9</, e解：I + zV3 = 2(A- + zA-) = 2(cosy+ zsiny)=2e3cosl9 £ + , sinl97 13. 求复数一的实部与虚部z+1解 Z-1 (z-l)(z+l) (z-l)(z+l) z + 1 (z + l)(z + l) lz + 11-_ (zZ + z -Z-l) _ zZ-1 * . 2Imz 一 Iz + lP-|z + llZ|z + llEE D 22-1 t 2Irjnz+ 所以

3、2 Reiv =-叵-匚-伯 2, Imw =4.求方程/ +8 = 0的所有的根 i (l+2k )解：z =( 8)3=2e3 M = 0,1,2.即原方程有如下三个解：l + zV3-2,l-zV35.若=|Z2 =|Z3且Zi +彼+A3 =0，证明：以 乙,Z2,Z3aJ顶点的三角形是正三角形证明：记z x=a,则kJ =1 A2 + 有 F= 2(1 Z2 F + II 2 1, 2 一曷得般2 一句|2=3/ =(|知| It?忙，同样,I _ 勾仁 ki _ =3。2所以I勺一京1=1句一京1=|勺一时.6. 设勺.勺是两个复数，试证明.Izi+z2 | 2+l zi - z2

4、|2=2(| ZI | 2+| Z2| 2)-并说明此等式的几何意义.证明：左式=(Z1 + z 2 )( Z1 + z 2 )+( Z1 + z 2 )( Zj -z 2)=2( Z ? Z2 + Z 2 Z2 )=2( |z J + |-Z21 )7.求下列各式的值：(1)(73-0 5；-15解：(心一 z')5= 2(争一 ；)=(2e 甘)5 =32 疽咳=32 cos(-) + i sin(-) = -16A3-16/6 6（1-0'；-i冗2y2e = V2(cos - z sin )； 12 1277 兀rjr-j2y2e = V2 (cos + i sin )

5、12 12垂 e 4 =垂(cos + i sin4求gi(l +i)i5V3 i口兀e 6100+(l-i)i3e -2 2'100= 72cos 77 12 2illi100 100+ -J2I cos -is in8.cos 25,r+i sin 2气疋)+2" fcos25-i sin 25疋)x + iyx-iy 俶+) iyT (x +iy)比较系数得2 2 -x - y 2xyF 32x -y+ lixy .=a+bi=2预=-251化简_% (Df I * 汁 h it/.解：原式=(l-z) 2=_w=I9.设AA- = a + bi, 其中a,b,x,y

6、均为实数，证明 x-iy2 . 2a +b =1解：先求岀a,b的x, y表达式，因于是/ +b2y2,2乩、2 _ 12 2)+(22) 1x + y x + y10.设刃是1的n次根，旦口。1,证明：ft*满足方程解：因刃=1,即刃(? -1)(1+ a)+ a)-t F 口 "T) =0由于 a)Al, tA(l + a)+ a)2 + +=0,即+z + z=0第二次作业教学内容：L2平面点集的一般概念1.3复变函数1.填空题2. 指岀下列各题中点 z的轨迹，并作图(l)|z-2i|>l;中心在-2z'半径为1的圆周及其外部。2 Re(z + 2) = 1.直线

7、x = -33 |z +3| + |z + 1| = 4以-3与-1为焦点，长轴为4的椭圆/冗 arg(z-z)以，为起点的射线 y = x + l5 a >1z-2直线x=°及其右半平面23. 指出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指出是有界区域还是无界区域，多连通还是单连通的。 A<1 ；1-az解：| < |1 _(z q(Z -a)<(l - az)(l - az) 连接点1 + Z与一1 4Z的直线断的参数方程为1 + , +_(2_5由0<?j1(2)以原点为中心，焦点在实轴上，长轴为 a ,短轴为b的椭圆的参数方程为z 二 a cos t

8、+ ib sin t Q <t <2 tva <l时，表示单位圆的内部，有界单连通域同1时，表示单位圆的外部，无界单连通域，同=1不表示任何区域(2) zz - (2 + z)z -(2-z)z < 4圆(X 2)2+(y + 1)2 =9及其内部区域，有界，单连通区域(3) |z-l|<4|z + 1|17Q中心在z =-,半径为£的圆外部区域，无界，多连通1515(4) £ < arg(z + 2，) <£ 且 |z| > 2.解：z + 2/ =工 + (y +y + 22)i => tan 。= - =

9、> arg(z + 2z) = arctanx >0,x< 0,y> 0,x< 0, y<0,6且有|z| = 山2+y2xx7iy + 2 7i< arctan - < 6x 27iy + 2 7i y + 2 V3< arctan vn->26x 2x3> 4以-2/为顶点，两边分别与正实轴成角度兰与生的6 2角形域内部，且以原点为圆心，半径为2的圆外部分，无界单连通区域。4. 设r是实参数，指岀下列曲线表示什么图形已知函数w =z = x + iy = t+ -<=><求以下曲线的像曲线x = t即为双曲

10、线” 1;%2 V +C=1,为椭圆(a+b) 2 (a-b)2解：加-=_l_z x + iyU-+V-_z 2(x + y- _ i y_x2+y2 x2+y2=_ =,是 w平面上一圆周解:由 X = 1,知"=-1+ y,v =-y，从而 U2 + V 2 =-1-U+ y1 +此为(侃)2 + v(?)2,是平面上一圆周111w =-,贝 U, u ,v (3) y = 1x(l + z) 2x6.讨论下列函数的连续性:i,像曲线为=Vo2x 2x)x + y 4(1) W = |z|解：设Zo为复平面上任一点，因为lim|z| = ko| ZTZ函数W= |z|在平面上处处连续。 ”0(2) f(Z)="+ 广v0,4=0解：当z沿实轴趋向于零时，z = x，有lim/(z) = limx = 0当Z沿某一直线趋向于零时? tan。 tan。八lim f(z) = lim - = 厂2 2 zto co 1 + tan 01 + tan 0故f (z)在z = 0处不连续。7.下列函数在何处可导？求岀其导数。(1)(z-1)"解：对任意的 Z ,有 lim "f 。 = lim(z"T+?-2+.+ 妈心)=nz°n'ZTZ。 Z Zof &#