大数定律与中心极限定理练习(全面版)资料

1、大数定律与中心极限定理练习（全面版）资料第五章 大数定律与中心极限定理练习1.X N( , 2), Y服从参数为的泊松分布，则()(A)E(X Y)1 (B)D(X Y) 2(C)E(X2 Y2)22 (D)E(Y2)(1)2已知某随机变量的方差D =1，但数学期望E =m未知，为估计 m,对 进行n次独一 1 n立观测，得样本观察值1,2,， n。现用一 -i估计m,问当n多大时才能使n i 1P | m | 0.5 p。3某电视机厂每月生产 10000台电视机，但它的显像管车间的正品率为0.8，为了以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品的显像管，该车间每月应生产多少只显像管？4.某公

2、司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向公司索赔的户数(1) 写出的概率分布；(2) 利用棣莫弗一拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的 近似值。6.设X1, X2, ,X100是独立同分布的随机变量，其共同分布为区间 (0,1)上的均匀分布，求P(X1 X2X10060)?第五章 大数定律与中心极限定理一一学习辅导学习要求（一）考核知识点：契比雪夫不等式大数定律（Bernoulli大数定律、Chebyshev大数定律）中心极限定理（De Moivre-Laplace中心极限定理、Levy-Lindeberg 中心极

3、限定理）（二）考核要求：1.了解 Chebyshev不等式、Chebyshev大数定律、 De Moivre-Laplace中心极限定理、Levy-Li ndeberg 中心极限定理；2 .了解大数定律和中心极限定理的使用。典型例题1 .设随机变量X的概率密度为f(x)兰ex,x其中m为正整数，证明 P 0 X2(m证明E(X)xf(x)dx 01xm!m 1d(e(m1)2E(X2)(mm!0,x1)1 m x m!x)(mf (x)dx2x2f(x)dx2)(m1)于是 D(X) E(X2)E(X)2 m1exdx1) 11xm!1，取2e xdx1，利用契比雪夫不等式，则P0 X 2(m

4、1) P X (m 1) m 1P X E(X)1 D(X)2m 1(m 1)2De Moivre-Laplace中心极限定理计算这题，结果如何?解设需掷n次满足要求，引入随机变量X|1,第I次掷出正面；I 1,2, ,n0,第I次掷出反面。则 P(XI k) 1,kI 211,D(Xi)240,1,i 1,2,n,且 X1，X2,E(XJn令mi 1依题意，所求之 n满足Xi，m为n次掷硬币中出现正面的次数，于是1-,D214n0.4-0.60.90n利用契比雪夫不等式得P 0.4 -n0.60.1丄4n(0.1)20.90于是得n 250。用De Moivre-Laplace中心极限定理计

5、算这题，得P 0.4 m 0.6 nP 0.4 nm 0.6nP 0.4n 0.5n(0.5)2n2 (02一 n) 1m 0.5n0.6n 0.5n,(0.5)2n0.90于是得n 68。100只合即得 (02. n) 0.95或 02、n 1.645,3 某厂生产的螺丝不合格率为0.01，问一盒中应至少装有多少只才能使其中含有格品的概率不小于 0.95?解设一盒至少应装n只满足要求，引入1,第I只螺丝为合格品；X.I 0,第I只螺丝为不合格品。则X1,X2, ,xn独立同分布，且P(XI k) (0.99)k (0.01)1 k, K 0,1,I1,2, NE(XI) 0.99 ,D(XI

6、)0.01 0.992依题依所求之n满足nPXI 100 0.95I 1nnXi n100 PI 1+；n100 n、P Xii 1 即得石1用独立同分布的中心极限定理得100 n0.95100 _n_ 0.990.1、n 0.99查标准正态分布表得100 n 0.9901n 0.991.645令 x n 0.99，得 x 0.1645、. x1000,解上述不等式，得x 101.66，于是101.660.99102.69取n 103为所求。基本内容大数定理与中心极限定理一、大数定理概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列极限定理称为大数定理。定理1(bernoulli 定理)设m

7、是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意正数总有lim Pn注：定理说明，当n很大时，事件A发生的频率与概率有较大的差别的 可能性很小，因而在实际中便可以用频率来代替概率。定理2设随机变量 Xi, X2, -r, Xn,相互独立且具有相同的数学期望和方差：E(XJ,D(XJ2, (i 1,2,)作n个随机变量的算术平均数Xi, n i 1对于任意正数，总有lim P Xlim P|nXin i 1注：定理说明，当n充分大时，算术平均数 必然接近于数学期望。二、中心极限定理在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立的随机变量之和的分布以 正态分布为极限这一类

8、定理称为 中心极限定理。定理3 如果随机变Xk(i 1,2,)独立同分布，且E(Xk), D(Xk)2 0,1,2,，则limnnXkPi 1 席x X -tie 2 dt注：无论各个随机变量Xk(i 1,2, -)具有怎样的分布，只要满足定理基本内容备注n条件， 那么它们的和Xk当n很大时，近似服从正态分布。i 1例1 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱 平均重50kg，标准重为5kg.右用最大载重量为 5吨的汽车承运，试用中心极 限定理说明每车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。解 设Xi(i 1,2,., n)为装运第i箱的重量，n是所求的箱数。由题

9、意可把Xi,X2,.,Xn看作独立同分布的随机变量，令nYn Xi X2 XnXi,则Y,就是这n箱货物的总重量。i 1又、*E(XJ 50,D(Xi) 25,E(Yn)50n, D(Yn)25n.由中心极限定理，有5000 50nP(Y, 5000)=0.977(2),Wn从而，有严2,n 98.0199,Vn故最多可以装98箱。定理4设随机变量X服从参数为n, p的二项分布，则对于任意x,恒有t2.D X npx 1T .Iim P -xdt.nJnpq- 2证 可将X看作是n个独立同服从(0-1 )分布的随机变量nXk(i 1,2,)之和，即 XXk，其中 PXk ipi(q)1 i,

10、i 0,1.i 1由于E(Xk) p,D(Xk) pq (k 1,2,., n),t2所以由定理 3得lim P Xf np x/ e 2 dt.n7npq- v2基本内容备注注 当n充分大时，二项分布近似于正态分布。计算应先进行连续性校正。离散型变量取值为k的概率与连续型变量在以k为中心、长为一个单位的区间内的概率相对应，即1 1px k p(k 2)x (k -),i,i,i,ik _ np v “ k _ npk _ npk _ npP2X np222JnpqJnpqJn pqJn pq,1 , 11v 卄 k 一 npk _ npPX k PX k - P x np22JnpqJnpq

11、Jnpq当n充分大时，Poisson分布也近似于正态分布。其连续性校正公式为.k 1k 丄PX k22rrk 1PX k2厂例2某病的患病率为 0.005，现对10000人进行检查，试求查出患病人数在45,55内的概率.解 设患病人数为 X,则XB（10000,0.005）.由定理4得P45 X 55 PX 55 PX 441 155 0.005 1000044 0.005 100002 2(0.005 10000 0.995丿0.005 10000 0.995(0.78)( 0.78)2 (0.78) 12 0.78230.5646例3某公司生产的电子元件合格率为99.5% o装箱出售时，（

12、1）若每箱中装1000只，冋不合格品在 2到6只之间的概率是多少？（ 2）若要以99%的概率保证每箱合格品数不少于1000只，问每箱至少应该多装几只这种电子元件？解：（1）这个公司生产的电子兀件不合格率为1-0.995=0.005，设X表示“ 1000基本内容备注只电子元件中不合格的只数”，贝U XB(1000,0.005)。P(2 X 6)( 6.5 1000 0.005)(1.5 1000 0.005)(000 0.005 0.995)(丁1000 0.005 0.995)(0.45)( 1.34)0.6736 (1 0.9099)0.5835(2)设每箱中应多装k只元件，则不合格品数XB

13、(1000+ k,0.005)，由题设，应有P(X k) 0.99，因而可得1 k (1000 k) 0.005P(X k)( ,2一)0.99(2.326)1000 k) 0.005 0.9951k (1000 k) 0.005于是k应满足22 3267(1000 k) 0.005 0.995解之，有k 11这就是说，每箱应多装11只电子元件，才能以99%以上的概率保证合格品数 不低于1000只。本次课小结：介绍了大数定律和中心极限定理。要求理解伯努利定理；理解独立冋分布的中心极限定理和二项分布、Poisson分布的也正态近似的有关计算。基本内容备注基本内容备注第四章 大数定理与中心极限定理

14、典型题解1 计算器在进行时，将每个加数舍入，最靠近它的整数，设所有舍入误差 相互独立且在(0.5,0.5)上服从均匀分布，将1500个数相加，问误差总和的绝对 值超过15的概率是多少？解 设第k个加数的舍入误差为 Xk(k 1,2,1500),已知Xk在(0.5,0.5)上服从均匀分布，故知E(Xk)0,D(Xk)1500Xk，由中心极限定理,当n充分时有近似公式P X 1500 0 1500 112x(x)，于是P x 15 1 P xP上0151 PX 015 X15150 15152 ( 1 2 (1.342) 21 0.9099.1500120.1802.即误差总和的绝对值超过15的概

15、率近似地为0.1802 .2.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现在从这批木柱 中地取100根，求其中至少有30根短于3m的概率.解 以X记被抽取的100根木柱长度短于3m的根数，则X b(100,0.2) 于是由中心极限定理得PX 30P30 Xp_30_100_0.2'100 0.2 0.830 20()( )V161 0.99380.0062.3.将一枚硬币投掷49次，(I )求至多出现28次正面的概率；(II )求出现20-25次正面的概率.X 100 0.2100 0.2 0.8100 0.2 100 0.2 0.8；1(2.5)解 以X表示49次投掷中出现

16、正面的次数，则有 X b(49, 12). (I )由中心极限定理得2849 (2)(1)0.8413 ;1114922P X 28(II )由中心极限定理得20fl2549O2490.5557 0.0985 0.4572.4. 某厂有同号机器100台，且独立工作，在一段时间内每台正常工作的概 率为0.8 .求正常工作的机器超过85台的概率.解 设 为100台中正常工作的机器数，则B(100,0.8)，且 np E 80, npq D 16 .80485 804由中心极限定理可得所求概率为0 80 P 851P0851 P-41 (1.25)( 20)0.1056.5. 一生产线生产的产品成箱

17、包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重 50kg，标准差5kg .若用最大载重量5t的汽车承运最多可以装多少箱才能保障 不超载的概率大于0.977 .解 设n为每辆车所装的箱数,i (i 1,2, n)是装运的第i箱的重量，且E i 50, D i 25 . n箱的总重量n有 E 50n,D 25n，由中心极限定理近似服从正态分布N(50n,25n).现求使下面不等式成立的P5000P50n5 n500050n5n1000 10n0.977查正态分布表得100010n从而n 98.0199，即最大可以装98箱.6. 设一大批产品中一级品率为10%，现从中任取500件，这500件中一件 级品的

18、比例与10%之差的绝对值小于2%的概率.E 50, D 45由中心极限定理得p|莎 01 002 P 50 10 p牆 总52 (1.49) 1 0.8638.7设一袋味精的重量是随机变量，平均值 100g,标准差2g求100袋味精 的重量超过10.05kg的概率.解 设i(i 1,2,100)第i袋味精的重量，100袋的总重量12100 ,而E i100, D i4，所以所求概率为P100501P01005010 100P.而100100 10010050 100 10022一 100 21 (2.5)(500)1 0.993790.00621.8.本200页的书，每页上的错误数服从参数为

19、0.1的泊松分布，求该书 的错误数大于15个的概率.解 设 为该书的总错误数，则E 20，D 20,于是所求概率为P151P0150 201 P-V2020”2015 2020 1 (1.12)(4.47)0.8686.9.某射手打靶,得10分，9分，8分，7分，6分的概率分别为0.5,0.3,0.1,0.05,0.05.现射击100次，求总分多于880分的概率.解 设为100次射击的总分数，依题意，E915, D122.75 .根据中心极限定理得0 915915P 8801P09151 PV122.75.122.75880 915122.75 '1( 3.16)0.9992.10.

20、一生产过程的次品率为12%，随机地自这一生产过程生产的产品中取出 120只，求次品不多余15只的概率.解 以X记120只产品中的次品数，贝U X B(120,0.12).所需求的概率为X 120 0.12PX 15 -120Oh0.8815 120 0.12一120一0.12一0.88(0.17)0.5675.11 某种难度很大的心脏手术成功率为 0.9，对100个病人进行这种手术,以X记手术成功的人数.求P84 X 95.解依题意有95 100 0.984 100 0.9P84 X95(.100 0.9 0.1 )()、100 0.9 0.1(1.67)(2)0.9525 0.9772 10

21、.9297.12. 在一零件商店中，其结帐柜台替各顾客服务的时间(以分计)是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1.求对100位顾客的总服务时间不多余 2 小时的概率.解 以Xi(i 1,2,100)记对第i位顾客的服务时间.按题设需求概率为100P Xi 120i 1(120 150)(10)120 100 1.5100厂100i 1 Xi 100 1.5L1iL>500 1(3) 0.0013.13. 某种电子元件的寿命服从数学期望为 2的指数分布，各元件的寿命相互 独立，随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率.解 设X为100只元件的寿命之和，则E(X)

22、 200, D(X) 400，则所求概率为PX 180)1P0 X 1801 ( 1)( 10)0.8413.1 。兰。V400X 200,400180 20040014. 某工厂有200台同类型的机器，每台机的实际工作时间只占全部工作时 间的75%，各台机器是否工作是相互独立的，求一时刻有144至160台机器正在工作的概率.解 设随机变量丫表示任一时刻正在工作的机器的台数，则丫服从二项分布B(200,0.75).所以所求概率为P144 丫 160(_160_200_0.75_.200 0.75 0.25(_144_200_0.75-200 0.75 0.25(1.63)( 0.98)0.78

23、49.15. 在次品率为丄的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用中心极限定6理计算抽取的产品中次品书在 4060之间的概率.解 设X为300件产品中次品的件数，依题意知2501X B(300, ), E(X) 50, D(X)6利用中心极限定理得第五章大数定理及中心极限定理2:题略。10 解：以 Xi(i 1,2,10)记第i个产品的长度。以L记10件产品的总长度：Li 1按题设E(Xi)2,D(Xi)0.0025.由定理四可知L 10 2,?0 0.05近似的服从N(0,1)分布，故产品合格的概率为p P(|L 201 0.1)P(_0.1_而 0.05_L_20_而 0.050.1 0.1(一10一0.05)(：10一0.05)(0.63)( 0.63)2 0.7357 1 0.47144:题略。解：以Xi(i 1,2，,