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文档简介

1、第一步:初步理解该知识点的定理及性质1、提出疑问:什么是抽屉原理?2、抽屉原理有哪些内容呢?【抽屉原理 1】:将多于 n 件的物品任意放到 n 个抽屉中,那么至少有一个 抽屉中的物品不少于 2 件;【逆抽屉原理】:从n个抽屉中拿出多于n件的物品,那么至少有2个物品 来至于同一个抽屉。【抽屉原理2】:将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一 个抽屉中的物品不少于(m+1件。第二步:学习最具有代表性的题目【例 1】证明:任取 8 个自然数,必有两个数的差是 7 的倍数。【例 2】对于任意的五个自然数,证明其中必有 3个数的和能被 3整除。【总结】 以上的例题都是在考察抽屉原理在整除与余数

2、问题中的运用。 以上 的题目我们都是运用抽屉原理一来解决的。第三步:找出解决此类问题的关键【例3】从2、4、6、30这15个偶数中,任取9个数,证明其中一定 有两个数之和是 34。【例4】从1、2、3、4、19、20这20个自然数中,至少任选几个数, 就可以保证其中一定包括两个数,它们的差是 12【例5】从1到20这20个数中,任取11个数,必有两个数,其中一个数 是另一个数的倍数1, 2, 4, 8, 163, 6, 12, 5, 10, 207, 14, 9, 1811, 13, 15, 17, 19。【总结】根据题目条件灵活构造“抽屉”是解决这类题目的关键。第四步:重点解决该类型的拓展难

3、题我们先来做一个简单的铺垫题:【铺垫】请说明,任意3个自然数,总有2个数的和是偶数。【例6】请说明,对于任意的11个正整数,证明其中一定有 6个数,它们 的和能被6整除。【总结】上面两道题目用到了抽屉原理中的“双重抽屉”与“合并抽屉”, 都是在原有典型抽屉原理题目的基础上进行的拓展。什么是抽屉原理?(1)举例有的可以放两个,有的可以放五个,但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少 放两个苹果。(2)定义一般情况下,把n+ 1或多于n+ 1个苹果放到n个抽屉里,其中必定至少有一个抽屉里 至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。(一)、利用公式进行解题苹果十抽屉=商余数余数:(1)余数=

4、1,结论:至少有(商+ 1)个苹果在同一个抽屉里(2)余数=, 结论:至少有(商+1 )个苹果在同一个抽屉里(3)余数=0,结论:至少有“商”个苹果在同一个抽屉里(二)、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论,将复杂的题目变得非常简单, 也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法.举个例子:把3个苹果任意放到2个抽屉里,必有一个抽屉至少放了 2个苹果 这个生活中最简单的道理,在数学上就叫做抽屉原理。应用抽屉原理可以解决很多奇妙的问题,当然在实际问题中,“抽屉”和“物体”的表述是不明确的,解题的关键就是找出问题中哪个概念对应的是“抽屉”,哪个概念对应的是“物体”,精心制造“抽屉”是

5、解决此类问题的关键。题目 1】:至少在多少个人中,才能找到两个同月份出生的人?【解析】:每年都有 12 个不同的月份,可以看着是 12个抽屉。人就看着苹果。原题就相当于:多少个苹果放到 12 个抽屉里,可以保证至少有一个抽屉里有 2 个苹果?12+1=13(人)所以至少在 13 个人中,才能找到两个同月份出生的人。【题目 2】:在任意 3 个自然数中,是否其中必然有两个数,它们的和为偶数?为什么?【解析】:我们先把奇数看作一个抽屉,把偶数看作一个抽屉。自然数不是奇数就是偶数,那么这任意 3 个自然数不是奇数就是偶数,把这 3 个数放到上面奇、 偶数两个抽屉里, 至少有一个抽屉里有两个数, 即

6、3 个自然数 中有两个奇数或两个偶数必居其一。假如 3 个数中有两个奇数, 这两个奇数的和一定是偶数; 假如 3 个数中有两个偶 数,这两个偶数的和也一定是偶数。所以在任意 3 个自然数中,其中必然有两个数,它们的和为偶数。题目 3】: 班上有 50 名小朋友,老师至少要拿几本书,随意分给小朋友,才能保证至少有 一个小朋友能得到不少于两本的书?【解析】:“保证至少有一个小朋友能得到不少于两本的书”意思就是: 保证至少有一个小 朋友最少得到两本书。我们把 50个小朋友看着 50 个抽屉,至少要多少本书放到 50个抽屉里,能保证 至少有一个抽屉里最少有两本书呢: 50+1=51(本)。【题目 4】

7、:在1, 2, 3,,99, 100这100个整数中,选出一些数,使得任意两数的差都不等于 1, 2, 6,那么,从中最多能选出几个数?【解析】:第一步:先从 1 开始列一列。先选1;至少加3 (差不能为1、2)选4;至少要加4 (差也不能为6)选 8;接着再加3选11;加4选15可列举如下:1、4、8、11、15、18、22、第二步:观察上面的数列,找规律。从1 到7七个数中可以选 2个数;从 8到14七个数中又可以选 2个数;从 15 到21七个数中又可以选2个数即每7个数一组可以选出 2个数,这 2个数可以选 7个数中的第 1 个和第 4个。100-7=14 (组)2 (个) 共有 14

8、 组,每组选 2个数,还剩下 2 个数,即第十五组的第 1 个数和第 2 个数。 每组第 1 个数也是可选的。所以从中最多可以选出数:14X 2+ 1=29 (个)。【题目 5】:泡泡糖出售机内有各种颜色的糖,有红色糖 1 0颗、白色糖 1 5颗、蓝色糖 3颗、 黄色糖 20 颗。如果投入 1 元钱钱币可得到 1 颗糖,那么至少投入多少元钱,就 可以保证得到 5 颗颜色相同的糖?【解析】:这里共有 4 种颜色的糖果, 除了蓝色糖果 3颗,其它颜色糖果都不少于 5 颗。从 最糟糕的情况考虑:投币先得到蓝色糖 3颗,其它颜色糖每种 4颗。这时候再买一颗糖,无论是哪种颜色的糖,就得到了这种颜色的糖 5 颗。一元钱一颗糖,买这些糖至少要投入钱币: 3X 4+ 3+仁16 (颗)。本题依据抽屉原理2:把多于mn个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉 里有m+1个或多于m+1个的物体

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