《线性代数》的主要知识点

1、线性代数的主要知识点第一部分行列式概念：1. n阶行列式展开式的特点：共有 n!项，正负各半; 每项有n个元素相乘，且覆盖所有的行与列； 每一项的符号为（1）（行）（列）2. 元素的余子式以及代数余子式Aj （ 1）i jMj3. 行列式的性质计算方法：1. 对角线法则2. 行列式的按行（列）展开（另有异乘变零定理）第二部分矩阵1.矩阵的乘积注意：不满足交换率（一般情况下AB BA ）不满足消去率（由AB=AC不能得出B=C）由AB=0不能得出 A=0或B=0若AB=BA则称A与B是可换矩阵2 矩阵的转置满足的法则：（A B）T AT BT , （kA）T kAT ,（AB）T BTAT3矩阵

2、的多项式设（x） a。 a1xanxn, A为n阶方阵，则（A） aoE a1Aan An称为A 的n次多项式。对与对角矩阵有关的多项式有结论如下：1n（1）如果 A P P ，则（A） a0E a1AanA1Pa°EPPa1 P（2）若diag （aa2， an），则4逆矩阵：n阶矩阵A, B，若ABn阶矩阵A可逆 A 0 ；n 11Pan P = P ( )P 1()diag( (a(a?),(an)BA E，贝U A,B互为逆矩阵。r（A） n （或表示为R（A） n）即A为满秩矩阵;A与E等价；A可以表示成若干个初等矩阵的乘积;A的列（行）向量组线性无关；A的所有的特征值均不

3、等于零求法：伴随矩阵法:初等变换法：A,E初等行变换E, A 1或A初等列变换 Ee是单位矩阵EA 1性质：(1)矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的(2)设A是n阶矩阵，则有下列结论 若A可逆，则A 1也可逆，且(A 1 A 若A可逆，则AT也可逆，且(At) 1 (A 1)T1 若A可逆，数k 0，则kA可逆，且(kA) 11k 若AB为同阶矩阵且均可逆，则 AB也可逆，且(AB) 1 B 1A 15.方阵A的行列式：满足下述运算规律(设 A,B为n阶方阵， 为数)AtAA nA AB A B6伴随矩阵：行列式A的各个元素的代数余子式州所构成的如下的矩阵A11An1A12A2nA12，称为矩阵

4、 A的伴随矩阵(注意行与列的标记的不同)AnAnn伴随矩阵具有性质：AA* A* A AE常见的公式有： A*An 1A* A A 1(A*)1 *aA (A)(A 1)等7初等矩阵：由单位矩阵 E经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。 三种初等变换对应着三种初等矩阵，分别记为：(1) E(i,j)(互换 E 的第 i、j 列) (2) E(i(k) (E的第i行乘以不为零的数 k ) (3) E(ij (k)(把E的j行的k倍加到第i行上)初等矩阵具有下述性质：初等矩阵的转置仍为初等矩阵；初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍为初等矩阵且E(i,j) 1 E(i, j)、Ei(k) 1 Ei(

5、k 1)、Eij (k) 1 Ei,j( k);初等矩阵的行列式分别是-1, k, 1。&矩阵的初等变换：初等行变换：下面三种变换称为矩阵的初等行变换： 对调两行；记为ri rj对换第i与j行 以数k 0乘某一行中的所有元素；记为ri k第i行乘k 把某一行所有元素的 k倍加到另一行对应的元素上去；记为ri krj第j行k倍加到第i行上。把定义中矩阵的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵初等变换矩阵的初等变换与初等矩阵的关系：设A是一个m n矩阵，则 对A施行一次初等行变换，相当于在 A的左边乘以相应的m阶初等矩阵； 对A施行一次初等列变换，相当于在

6、 A的右边乘以相应的n阶初等矩阵9矩阵的等价：如果矩阵 A经过有限次初等变换变成矩阵 B,就称矩阵A与矩阵B等价。且若矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B,就称矩阵A与 B行等价；若仅经过初等列变换，就称 A与 B列等价。设A, B为m n矩阵 A与B行等价m阶可逆矩阵P，使得PA B A与B列等价n阶可逆矩阵Q，使得AQ BA, B等价m阶可逆矩阵P , n阶可逆矩阵Q,使得PAQB利用矩阵的初等变换解矩阵方程AXB ,X A 1B，可以：(A B)初等行变换(E A1B)XAB ,1TTX BA ，可以：(A B )初等行变换(Ext)，从而解出X。10矩阵的秩：非零子式的最高阶数。记为r

7、(A)或R (A)求法：A 初等行变换行阶梯形矩阵B, R (A) =B的非零行的行数。相关公式：若 A是m n矩阵，则0 R(A) minn,m R(AT) R(A) A B R(A) = R(B) 若设A为m n矩阵，Pm ,Qn均为可逆矩阵，则r(A) r(PAQ) ，则 maxR(A), R(B) R(A,B) R(A) R(B)若A,B均为m n矩阵，则R(A B) R(A) R(B)11.分块矩阵：主要记住：(1) 分块对角矩阵：设 A为n阶方程，若 A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块,Al其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方块，即其行列式与逆矩阵具有下述性质:A|A2AsA1

8、若A0, (i 1,2,s)，则 A 0 ,故 A 可逆,1并有：A.A21设A是m阶方阵，B是n阶方阵”且A a , Bb,则mn1 abA另有：(2)设有分块矩阵HCB，其中A,B分别为m阶、n阶可逆矩阵，则矩阵 H可逆且H 1 A 1A 1CB 1B 1(3)设有分块矩阵其中代B分别为m阶、n阶可逆矩阵，则矩阵H可逆且H 1A1B 1CA第三部分向量组1.线性组合：给定向量组A:2, m，对于任意一组实数，称向量k1 1 k2 2km m为向量组的一个线性组合，k1, k2,km称为该线性组合的系数。给定向量组A:1 , 2 , m和向量，如果存在一组数则向量 是向量组A的线性组合，也称

9、向量可以由向量组A线性表示向量 能由向量组A线性表示方程组x1 1X2 2xm m有解矩阵A=(m)的秩等于矩阵B=( 1, 2)的秩2.等价：设有两个向量组 A2 , m 及 B：s ,若B中的每个向量都可以由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价。记为:(1 ,2 , s)主要结论：B的行向量组等价;B的列向量组等价km m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称为 线性无关，(1)矩阵A与B若行等价，则A的行向量组与 若矩阵A与B若列等价，则A的列向量组与(2)向量组 B : b1,b2,b能由向量组A： a1, a2,

10、am线性表示存在矩阵K，使得B=AK方程AX=B有解R(A) R(代B)(3)向量组A： a1,a2,am与向量组B: b1, b2,b等价R(A)R(B) R(A, B),其中，A,B是向量组构成的矩阵(4)向量组B : b1,b2,b能由向量组A： a1,a2,a m线性表示，则R( b1,b2,bi) R( a1,a2,am)3线性相关与线性无关对向量组A:1 , 2, ,m，如果存在不全为零的一组数 k1,k2,km ?使得：ki ik2 2也就是说当且仅当k1,k2, ,km都是零时才能使(川)式成立，则1, 2, , m线性无关。 主要结论：(1)向量组 1, 2, , m线性相关

11、齐次线性方程组有非零解它所构成的矩阵 A(1,2, m )的秩小于m ；冋样线性无关仅有零解R(A)(2)n个n维向量 1a11 , a12 ,a1n, 2a11a12a1 n线性相关行列式a21a22a2n0,an1an2ann(3) m个n维向量，线性相关；当维数 nm时，向量组m(a21 , a22 ,a2n)n( an1, an2 ,ann )线性无关行列式0定线性相关。特别地，n 1个n维向量必（4）若向量组A：1, 2, m线性相关 向量组B： 1,2, m, m 1 一定线性相关；反之，向量组 B 若线性无关向量组 A 线性无关或叙述为：整体无关，则任意部分无关；只要有一部分相关

12、，则整体相关；（5 ）若向量组A： 1, 2, , m线性无关，而向量组 B： 1, 2, , m，线性相关 必能由向量组 A线性表示，且表达式唯一（6） 若r维向量组1, 2, , m线性无关，则在每一个向量上再添加n r个分量所得到1 1 1的n维向量组1 , 2 , m也是线性无关的（7） 向量组A 1, 2, , m线性相关其中至少有一个向量是其余 m 1个向量的线性 组合 ；线性无关 每一个向量都不能由其余向量线性表示。（8） 如果向量组A： 1, 2, , s可由向量组B： 1, 2, , t线性表示，并且s t 向量组A：1, 2, s线性相关；（逆否命题：A : 1, 2, ,

13、 s线性无关且可由向量组 B 1, 2, , t线性表示s t ）4最大（极大）线性无关组：设有向量组A,如果在A中能选出r个向量1, 2, , r ,满足（ 1）向量组 A0 ：1, 2, r 线性无关；（2）向量组A中任意r 1个向量（如果 A中有r 1个向量的话）都是线性相关的那么称1,2, r是向量组A的一个最大（极大）线性无关部分组条件（2）也可以改为：向量组 A中任意一个向量都可以由1, 2, , r线性表示，结论 ： 一个向量组的极大无关组是它的线性无关部分组中个数最多的那一个 一个向量组的极大无关组不是唯一的 向量组的任意一个极大无关组所含向量的个数是唯一确定的 若向量组1,

14、2, s线性无关，其极大无关组就是其本身 任一向量组和它的极大无关组等价 向量组1, 2, s中任意两个极大无关组等价5向量组的秩：向量组1, 2, , s中极大无关组所含向量的个数 r称为向量组A的秩。记为： r （1,2, s）主要结论：（1）如果向量组 1, 2, s与向量组1, 2, t等价，则它们的秩相等(2) 如果向量组1, 2, , s可由向量组1, 2, , t线性表示，且r( 1, 2, , s) r , r( 1, 2, , t) p ，则 r p(3) 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩6向量空间：设 v为n维向量的集合，如果集合 v非空，且集合 v对于

15、加法及乘数两种运 算封闭，那么就称 v为向量空间。(1) 设，是两个已知的n维向量，则集合 V x, R 是一个向量空间。称为由向量，所生成的向量空间。(2) 向量空间的基 -设V为向量空间，如果 r个向量 1, 2, r V，且满足1, 2, , r线性无关； V中任何一个向量都可以由1, 2, , r线性表示则称向量组 1, 2, , r是向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维 向量空间。(3)在R中取疋一个基a1 ,a2,a3，再取一个新基b1,b2,b3，设A ( a1,a2,a3),1B( b1,b2,b3)，则 P = AB称为从旧基到新基的过渡矩阵7.向量的内积

16、：X1y1x2(1)设有n维向量x,y2令y，令 x, yX°1X22Xn ,Xnynx, y称为向量x与y的内积.当x与y都是列向量时，有x, y xT y .(2)内积具有下列性质(其中X, y,z为n维向量，为实数)： x,y y,x ; x,yx,y ; x y,z x, z y,z.当 x o 时，x,x o ；当 X o 时，X, X o施瓦茨(Schwarz)不等式2X, yX,x y, y 向量的长度：|XI = Jx, X'x12x22xn2 , IX称为n维向量x的长度。(范数) 向量的正交-当x, y 0时，称向量x与y正交.(5)正交向量组-两两正交的

17、非零向量组称为正交向量组 正交向量组的性质若n维向量r是一组两两正交的非零向量组，则r线性无关.(6)施密特(Schimidt)正交化过程：设 Q,a2, ar是线性无关的:取 bai ； b2a2込bi，br ar也bi,bibi,bbib2,arb2,b2b2br i ,a r , b bbr i . br i,br ibi ,b2, ,br两两正交，且bi,b2, ,br与ai,a2, a等价第四部分线性方程组1.解的判定：3iiXiQ2X2a1n xnbi线性方程组b2其系数矩阵与增广矩阵分别记为:A ajamiXiami2X2amnXnbmaiiai2ainCiai2ai nbia2

18、ia22a2n_a2ia22a2nb2,A 或(A,b )=amiam2amnamiam2amnbma2iXi822X2mna2n Xn则方程组的矩阵表示形式为:Axaiiaina2ia2nbib2若记：i，则方程组的向量形式为:a miam2a mnbmXi iX2 2Xn判定定理:n元非齐次线性方程组nXb有解r(A)r(A)且有唯一解r(A) r(A)，有无穷多解r(A)r(A) n对应的齐次线性方程组821 Xiami Xia2X2ai n Xn822 X2a2n Xn称谓原方程组的导出组。ami2X2amn Xn有结论：n元齐次线性方程组仅有零解系数矩阵的秩r(A) nn元齐次线性方程组有非零解系数矩阵的秩r(A) n若系数矩阵A为方阵，则有：n元齐次线性方程组仅有零解n元齐次线性方程组有非零解