《近世代数》模拟试题2及答案

1、近世代数模拟试题一、单项选择题 (每题 5分,共 25分)1、在整数加群 (Z, )中,下列那个就是单位元 ( )。A 0 B 1 C 1 D 1/n,n 就是整数2、下列说法 不 正确的就是 ()。A G只包含一个元g,乘法就是gg= g。G对这个乘法来说作成一个群B G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群C G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群D G 就是全体自然数的集合 ,G 对普通加法来说作成一个群3、下列叙述正确的就是 ( )。A 群 G 就是指一个集合B 环 R 就是指一个集合C 群 G 就是指一个非空集合与一个代数运算 ,满足结合律 ,并且单位元 ,逆 元

2、存在D 环 R 就是指一个非空集合与一个代数运算 ,满足结合律 ,并且单位元 ,逆 元存在4、如果集合 M 的一个关系就是等价关系 ,则不一定具备的就是 ( )。A 反身性 B 对称性 C 传递性D 封闭性5、 下列哪个不就是 S3 的共轭类 ( )。A (1)B (123),(132),(23)C (123),(132)D (12),(13),(23)二、计算题 (每题 10分,共30 分)1、求S= (12),(13)在三次对称群S3的正规化子与中心化子。2、设G = 1, 1,i, i,关于数的普通乘法作成一个群，求各个元素 的阶。3、设 R 就是由一切形如x, y0,0（x,y 就是有

3、理数 ）方阵作成的环 ,求出其右零因子三、证明题 （每小题 15分,共 45 分）x,01、设 R 就是由一切形如（x,y 就是有理数 ）方阵作成的环 ,证y,0明 0,0 就是其零 因子0,02、设Z就是整数集，规定a b = a+ b 3。证明:Z对此代数运算作成一个群 ,并指出其单位元3、证明由整数集 Z 与普通加法构成的 （Z, ） 就是无限阶循环群。近世代数模拟试题答案、单项选择题 （每题 5 分,共 25 分）1 A2 D3 C4 D5 B、计算题 （每题 10分,共30 分）1.解:正规化子 N（S） = （1）,（23）。（6 分）（4 分）中心化子 C（S） = （1） OO

4、OOOOOOO。（2 分）2. 解:群 G 中的单位元就是1 。1的阶就是1, 1的阶就是2,i与一i的阶就是4ooo （4X 2 分）3. 解:设其右零因子为a,b0,0（2 分）所以 0x,0ya,b0,0xa,xb0,00。（3 分）因为 x 任意,所以a= b = 0。（3 分）因此右零因子为0,00,0OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO（2 分）三、证明题 （每小题 15分共 45 分）1.证明:设其右零因子为a,0b,0OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO（2 分）所以 x,0 a,0y,0 b,0xa,0=0 oooooooooooooooo (5 分)y

5、b,0因为 x,y 任意 ,所以a= b= 0。 （8 分 ）同理设其右零因子为a,0b,0。 （10 分 ）a,0所以b,0x,0y,0xa,0= 0 。 （12 分 ）yb,0因此零因子为 0,00,02明: 首先该代数运算封闭ooooooooooooooooooo(3分)因为 x,y 任意 ,所以 a= b= 0。 （14 分 ）。 （15 分 ）其次我们有:(a b) c = (a + b 3) c = (a + b 3) + c 3 = a + (b + c 3) 3) = a (b c),结合律成。 （6 分 ）立。令e = 3,验证a e= a + e 3 = a,有单位兀。（7

6、分）对任意元素a,6 a就是其逆元，因为a （6 a）= 3。（8分）因此 ,Z 对该运算作成一个群。显然 ,单位元就是3 。(10 分)3. 证明:首先证明 （Z, +）就是群 ,+满足结合律 ,对任意的x Z, x 0 0 x x,0 就是运算 +的单位元又由于 : x x x x 0所以 x 1 x, 从而 （Z, + ） 为群。 （2 分）由于 满足交换律,所以（Z, + ）就是交换群oooo （4分） （Z, + ） 的单位元为 0,对于 1 Z, 由于 1+（-1）=0, 所以 11, 。（5 分）于就是对任意 k Z ,若k 0,则：100；ooo (8 分)若k 0,则lk 1 1 若k 0,则1k(1) (1) ( 1)k个 1o (10 分)(1)( k)oooo