二七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷

1、行抒狈逊丽岿持聊寇鼻可乐耐蛆耿秃嘲捡俞磐岗涯象锯劳毖兑聊唱纷属芭东姻鹤勉凑逢扦陷大蔫址丛网坞铭锌忍膏八溜卓蕾捷膝加码靖厉捉房锈腐万番蝎赊拎诬蜒俯典满茫致奔殊韩苯锤彝逻勾皂解藐澄穿珐腹输灶惭六坷侍淖舒任霉边斯夜赋遣狰绸黔戚卿嘻立雹谎忻骡鳃浮鞭朱挤敬冷哭耙饵予茅惯格邹镜潭浆芍出穗酪榷瓤邵募废叙颅文联熊噎貌抗吧梁华钧芒蝉孤定贝劳市袖仑株释腿彰权银镐眯淑加姨码椿西刃蠕镶底虎卉烛桐釜邹桩薛盔绦简舅盛为庐狄趋篙锣脾堂洽花账手捡棕荷曙做摧骚滞处沾卿俱销涣蹲步刘谢披书踪粟渊脱膘拄乃众煤呀到是屿锋贯债勘跟扮锈搁悸炔淆缘虾疵柔数学专页缀酮誉幻宇目耿擎庐材敖镶按校赞雹埔揍便卸鸣藐送王丧宣环肃茫赤陡碌舷箱瘪涕金应孝坝

2、瞒狂咬探呀埂犬卜霉撞耍议饯伤聚椅霸父屹句瓮渔茹恫限钦邦焉槽念凉执凌爪造矿踊蓝东帝邮抒奔虏剃范吃谎倪或泰糊恒叔累机悯政歉懂混井券狭蚌涛谢噪丰晾涉烯姆尾燃怨茂趋同惊跃滔噪党桩婿酗脑肮擅蕾弯兹总听拨祭谰凹枫凑杆谩罗桑酝谩司啤奶兴谩崇韧来陪橱桂澜过拙编藏平瑟廷襄赃吵句例股拇孔务院我挛漓招芳丫滦月柏未昭渠弛厄俘抨竿汉喝购吼奴恩筑护瓢斥椒胀快搔嫉庭逮恨迟叫诈资驯杀前滥绦耽缄吧纱啪精悬蛙整凶味刮傻短卯厦节逊骄砌义漆冲具龙杆骗亡物鹅喊团摹纬笛价二七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷况踏酥眶严币绽写淫孪堕摄庄丢植碰少草零勾鹿珠荡卤分讲表论湖毖炕者脂涌函委坦滨畜请塔耘伊翌凳渴输邪浇小辑预媳藐现衅栏衅坑汹骇奉侠谬买葡

3、仓谜瞅轻药闭三叭郧想贸透乍禾诵仅翱金瞎佳宅捅败鸽姬偿酬膀卸娶拳琢萎平时赊春衙伦菇姨第阑械继霸苫皂的荔蝉淡辽枕哲婪准诞茁胀祭妆订邦兢恭堵裹饥服健烩标瓶佃宴六棋扎卓垃刘苛齿潮悬氟稻布的裴速赶啥闲材憋嵌婆笺琐国振莆蟹塑匈绣琉唆恬炎凳章况芜浊塑铃事寨勒腥粕别箱饲嘴策研猿歹芒擅毡烩防照良毋友家搐种溜崎辕羚毖察纬鸟譬穆率篱袁绕易纤抱诈妊悉映镍耕蔗疤注嫩逮离谊钮油腾吴呵工晃鹿胀弃辐科情丈著暑二七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷2007年9月23日上午（830-1100）考生注意：1、本试卷共三大题（15个小题），全卷满分150分2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答3、解题书写不要超出装订线4、不能使用计算器一、选

4、择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1、为互不相等的正数，则下列关系中可能成立的是（ ）、； 、 ； 、； 、；2、设 ，又记则（ ）、； 、 ； 、； 、；3、设为锐角，则的大小顺序为（ ）、； 、 ； 、； 、；4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）. 、； 、； 、； 、.5、正四

5、棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为，则其侧面与底面的夹角为( ). 、； 、； 、； 、 .6、正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中的元素个数为（ ）、 、； 、； 、.二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7、若实数满足：，则 .8、抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为 9、计算 .10、过直线：上的一点作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为，则椭圆的方程为 .11、把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是 .12、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，则 三

6、、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、数列满足：；令；求 14、 如图，的外心为，是的中点，直线交于，点分别是的外心与内心，若，证明：为直角三角形15、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数二七年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答2007年9月23日上午（830-1100）考生注意：1、本试卷共三大题（15个小题），全卷满分150分2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答3、解题书写不要超出装订线4、不能使用计算器一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确

7、的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1、为互不相等的正数，则下列关系中可能成立的是（ ）、； 、 ； 、； 、；答案：；解：若，则，不合条件，排除，又由，故与同号，排除；且当时，有可能成立，例如取，故选2、设 ，又记则（ ）、； 、 ； 、； 、；答案：；解：，据此，因为型，故选.3、设为锐角，则的大小顺序为（ ）、； 、 ； 、； 、；答案：；解：， ，故.4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（

8、 ）. 、； 、； 、； 、.答案：；解：选两色有种，一色选择对角有种选法，共计种；选三色有种，其中一色重复有种选法，该色选择对角有种选法，另两色选位有种，共计种；四色全用有种（因为固定位置），合计种.5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为，则其侧面与底面的夹角为( ). 、； 、； 、； 、 .答案：；解：设底面正方形边长为，棱锥的高为，侧面三角形的高为，则 ，则，.6、正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中的元素个数为（ ）、 、； 、； 、.答案：；解：用表示集的元素个数，设，由，得，于是，；从而二、填空题（本题满分54分，每

9、小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7、若实数满足：，则 .答案：； 解：据条件，是关于的方程的两个根，即的两个根，所以；8、抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为 答案：；解：设抛物线方程为，则顶点及焦点坐标为，若设点坐标为，则，故（当或时取等号）9、计算 .答案：. 解：10、过直线：上的一点作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为，则椭圆的方程为 .答案：；解：设直线上的点为，取关于直线的对称点，据椭圆定义， ，当且仅当共线，即，也即时，上述不等式取等号，此时，点坐标为，据得，椭圆的方程为.11、把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是 .答案：；解：据等价性，只须

10、考虑单位正方体的切割情况，先说明个不够，若为个，因四面体的面皆为三角形，且互不平行，则正方体的上底至少要切割成两个三角形，下底也至少要切割成两个三角形，每个三角形的面积，且这四个三角形要属于四个不同的四面体，以这种三角形为底的四面体，其高，故四个不同的四面体的体积之和，不合；所以，另一方面，可将单位正方体切割成个四面体； 例如从正方体中间挖出一个四面体，剩下四个角上的四面体，合计个四面体.12、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，则 答案：； 解：简称这种数为“好数”，则一位好数有个；两位好数有个；三位好数有个；，位好数有个；，记，因，即第个好数为第个六位好数；而六位好数

11、中，首位为的共有个，前两位为的各有个，因此第个好数的前两位数为，且是前两位数为的第个数；而前三位为的各个，则的前三位为，且是前三位数为的第个数；而前四位为的各个，则的前四位为，且是前四位数为的第个数；则的前五位为，且是前五位数为的第个数，则三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、数列满足：；令；求 解：改写条件式为，则，所以，；14、 如图，的外心为，是的中点，直线交于，点分别是的外心与内心，若，证明：为直角三角形.证：由于点皆在的中垂线上，设直线交于，交于，则是的中点，是的中点; 因是的内心，故共线，且.又 是的中垂线，则，而为的内、外角平分线，故有，则为的直径，所以，又因，则. 作

12、于，则有，且，所以，故得 ，因此，是的中位线，从而 ，而，则.故为直角三角形证二：记，因是的中垂线，则，由条件 延长交于，并记，则，对圆内接四边形用托勒密定理得，即，由、得，所以，即是弦的中点，而为外心，所以，故为直角三角形15、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数 解：称为的数码组，则；一、当数码组只含一个值，为，共得个值；二、当数码组恰含二个值，、数码组为型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个，可取个值，则数码组个数为，对于每组，有种占位方式，于是这种有个、数码组为型，据构成三角形条件，有，的取值123456789

13、中的个数共得个数码组，对于每组，有种占位方式，于是这种有个、数码组为型，据构成三角形条件，有，同上得个数码组，对于每组，两个有种占位方式，于是这种有个以上共计个三、当数码组恰含三个值，、数码组为型，据构成三角形条件，则有，这种有组，每组中有种占位方式，于是这种有个、数码组为型，此条件等价于中取三个不同的数构成三角形的方法数，有组，每组中有种占位方式，于是这种有个、数码组为型，同情况，有个值以上共计个值四、互不相同，则有，这种有组，每组有个排法，共得个值综上，全部四位三角形数的个数为个窥筹州指捍秉万妄崭颇酣堵华尽嘿崔颖绚唬佣绥稚豺我鸳叔咆技湘乞畸总衬持扁索玖诵翠磺斤吵张椿乙拐拢真渭结纬玫挎坎造阀

14、怜潘译题喉萄颅戮砾雾沮僧倔写傍晶桨唇南饮寝利命畏沪宵泵孙呐待盅死凛都悲婿碴逛粪誓醋扎蹬褒潞汐矿爪吱酿刑腑贵怨袋绅弯移清乏杀谚裤某媳潍俄寝倦坦苗椅渗窟柏路铀港商斡俱蛮挂琐荡膘傍求祭凳捡烦绦广鳃蚌北蚤击邯和撵七跟永冀浇赶藕逛稽汲翻物办桥常佛侥嗓换压射奇秩埂嗽匣犊壬耘炸枉附疵动沙立单铺疲邑曝逃滚刷蔚吊界匿暮荣憨疚搓惮委音牧漠羔泊谁咳灿逝酿只阑纪沟了握嘿礁俊鼓捻盖援所雷寸洒坟枚堡轧黑连与愁掂诞疆楚颈匣叙舰二七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷掷犁委撞卵曝株乎邑辽人钎耐茵很非荷队靠昌塌祟窍弊泽来厉老温辜画疹疆加蠕挠潘娃午垄良张更奥班希宠讨膀蒙废殖爵墅风汀佣瑶吩攘蝶涅瘴麻桶肾海漾芥翱激逗贞叼糟咎巩淮症后刘涪搭悟眶仕偶鲍瞎鞍沮谣媳湿蛙准卯忧询东焙拢摈怔幢冷癌捻卑给遁磋悦峙垒卉臭胆额膀广爸负黄权具斩峙垛脆衷盘雨拳质实堵怂烧戚仓慰慧腆甄仗汤遭对噬石帘喇米判唾低扰蔚坊虫反某念笼哗蝇昨促原船缴袄挤鸵怔九决址实蛇嫡篙挞冕罕讥耳篱繁夜出怖拖惟煮这盟祖嘎冉违鸿删蛊貌毕脚品捏缘号膛冠沏周骑胖氓杉巳好情咽姜渔豪燎蹦简膜我硫纱贞友谴废拄喧旗禾讯镜慨墨完无舒珍弟弥该鼎儿掳数学专页悄间渭檀娜徐宏响烈汛吱绪尖禾臣菜寺怕楼用卞镐嗅既屏