高中数学导数的应用-极值与最值专项训练题(全)

1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学专题训练导数的应用极值与最值一、选择题1函数yax3bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则()Aa2b0B2ab0C2ab0 Da2b0答案D解析y3ax22bx，据题意，0、是方程3ax22bx0的两根，a2b0.2当函数yx·2x取极小值时，x()A. BCln2 Dln2答案B解析由yx·2x得y2xx·2x·ln2令y0得2x(1x·ln2)02x0，x3函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有极小值，则()A0b1 Bb1Cb0 Db答案A解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f(x)3x

2、23b在(0,1)上先负后正，f(0)3b0，b0，f(1)33b0，b1综上，b的范围为0b14连续函数f(x)的导函数为f(x)，若(x1)·f(x)>0，则下列结论中正确的是()Ax1一定是函数f(x)的极大值点Bx1一定是函数f(x)的极小值点Cx1不是函数f(x)的极值点Dx1不一定是函数f(x)的极值点答案B解析x>1时，f(x)>0x<1时，f(x)<0连续函数f(x)在(，1)单减，在(1，)单增，x1为极小值点5函数yx23x4在0,2上的最小值是()ABC4 D答案A解析yx22x3.令yx22x30，x3或x1为极值点当x0,1时，

3、y<0.当x1,2时，y>0，所以当x1时，函数取得极小值，也为最小值当x1时，ymin.6函数f(x)的导函数f(x)的图象，如右图所示，则()Ax1是最小值点Bx0是极小值点Cx2是极小值点D函数f(x)在(1,2)上单增答案C解析由导数图象可知，x0，x2为两极值点，x0为极大值点，x2为极小值点，选C.7已知函数f(x)x3x2x，则f(a2)与f(1)的大小关系为()Af(a2)f(1)Bf(a2)<f(1)Cf(a2)f(1)Df(a2)与f(1)的大小关系不确定答案A解析由题意可得f(x)x22x.由f(x)(3x7)(x1)0，得x1或x.当x<1时，f

4、(x)为增函数；当1<x<时，f(x)为减函数所以f(1)是函数f(x)在(，0上的最大值，又因为a20，故f(a2)f(1)8函数f(x)ex·，则()A仅有极小值B仅有极大值C有极小值0，极大值D以上皆不正确答案B解析f(x)ex··exex()ex·.令f(x)0，得x.当x>时，f(x)<0；当x<时，f(x)>0.x时取极大值，f()·.二、填空题9若yalnxbx2x在x1和x2处有极值，则a_，b_.答案解析y2bx1.由已知，解得10已知函数f(x)x3bx2c(b，c为常数)当x2时，函数f

5、(x)取得极值，若函数f(x)只有三个零点，则实数c的取值范围为_答案0<c<解析f(x)x3bx2c，f(x)x22bx，x2时，f(x)取得极值，222b×20，解得b1.当x(0,2)时，f(x)单调递减，当x(，0) 或x(2，)时，f(x)单调递增若f(x)0有3个实根，则，解得0<c<11设mR，若函数yex2mx(xR)有大于零的极值点，则m的取值范围是_答案m<解析因为函数yex2mx(xR)有大于零的极值点，所以yex2m0有大于0的实根令y1ex，y22m，则两曲线的交点必在第一象限由图象可得2m>1，即m<.12已知函数

6、f(x)x3px2qx的图象与x轴相切于(1,0)，则极小值为_答案0解析f(x)3x22pxq，由题知f(1)32pq0.又f(1)1pq0，联立方程组，解得p2，q1.f(x)x32x2x，f(x)3x24x1.由f(x)3x24x10，解得x1或x，经检验知x1是函数的极小值点，f(x)极小值f(1)0.三、解答题13设函数f(x)sinxcosxx1,0x2，求函数f(x)的单调区间与极值解析由f(x)sinxcosxx1,0x2，知f(x)cosxsinx1，于是f(x)1sin(x)令f(x)0，从而sin(x)，得x，或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，

7、)(，)(，2)f(x)00f(x)单调递增2单调递减单调递增因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，)与(，2)，单调递减区间是(，)，极小值为f()，极大值为f()2.14设函数f(x)6x33(a2)x22ax.(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x21，求实数a的值；(2)是否存在实数a，使得f(x)是(，)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解析f(x)18x26(a2)x2a.(1)由已知有f(x1)f(x2)0，从而x1x21，所以a9；(2)由于36(a2)24×18×2a36(a24)>0，所以不存在实数a，使得f(x

8、)是(，)上的单调函数15已知定义在R上的函数f(x)x2(ax3)，其中a为常数(1)若x1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(2)若函数f(x)在区间(1,0)上是增函数，求a的取值范围解析(1)f(x)ax33x2，f(x)3ax26x3x(ax2)x1是f(x)的一个极值点，f(1)0，a2.(2)解法一当a0时，f(x)3x2在区间(1,0)上是增函数，a0符合题意；当a0时，f(x)3ax(x)，令f(x)0得：x10，x2.当a>0时，对任意x(1,0)，f(x)>0，a>0符合题意；当a<0时，当x(，0)时，f(x)>0，1，2a<0符

9、合题意；综上所述，a2.解法二f(x)3ax26x0在区间(1,0)上恒成立，3ax60，a在区间(1,0)上恒成立，又<2，a2.16已知函数f(x)x2ax1lnx.(1)若f(x)在(0，)上是减函数，求a的取值范围；(2)函数f(x)是否既有极大值又有极小值？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由解析(1)f(x)2xa，f(x)在(0，)上为减函数，x(0，)时2xa<0恒成立，即a<2x恒成立设g(x)2x，则g(x)2.x(0，)时>4，g(x)<0，g(x)在(0，)上单调递减，g(x)>g()3，a3.(2)若f(x)既有极大值又有

10、极小值，则f(x)0必须有两个不等的正实数根x1，x2，即2x2ax10有两个不等的正实数根故a应满足a>2，当a>2时，f(x)0有两个不等的实数根，不妨设x1<x2，由f(x)(2x2ax1)(xx1)(xx2)知，0<x<x1时f(x)<0，x1<x<x2时f(x)>0，x>x2时f(x)<0，当a>2时f(x)既有极大值f(x2)又有极小值f(x1)1. 已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)lnxax(a>)，当x(2,0)时，f(x)的最小值为 1，则a的值等于_答案1解析f(x)是奇函数，f

11、(x)在(0,2)上的最大值为1，当x(0,2)时，f(x)a，令f(x)0得x，又a>，0<<2.令f(x)>0，则x<，f(x)在(0，)上递增；令f(x)<0，则x>，f(x)在(，2)上递减，f(x)maxf()lna·1，ln0，得a1.2设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值(1)求a、b的值；(2)若对任意的x0,3，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围解(1)f(x)6x26ax3b，因为函数f(x)在x1及x2时取得极值，则有f(1)0，f(2)0，即解得a3，b4.(2)由(1)可知，f(x)

12、2x39x212x8c，f(x)6x218x126(x1)(x2)当x(0,1)时，f(x)>0；当x(1,2)时，f(x)<0；当x(2,3)时，f(x)>0.所以，当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c.又f(0)8c，f(3)98c，则当x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.因为对于任意的x0,3，有f(x)<c2恒成立，所以98c<c2，解得c<1或c>9.因此c的取值范围为(，1)(9，)3已知函数f(x)x33ax23x1.(1)设a2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围解析

13、(1)当a2时，f(x)x36x23x1，f(x)3(x2)(x2)当x(，2)时f(x)0，f(x)在(，2)上单调增加；当x(2，2)时f(x)0，f(x)在(2，2)上单调减少；当x(2，)时f(x)0，f(x)在(2，)上单调增加综上，f(x)的单调增区间是(，2)和(2，)，f(x)的单调减区间是(2，2)(2)f(x)3(xa)21a2当1a20时，f(x)0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；当1a20时，f(x)0有两个根，x1a，x2a.由题意知，2a3，或2a3.式无解式的解为a.因此a的取值范围是(，)1“我们称使f(x)0的x为函数yf(x)的零点若函数yf(x)在

14、区间a，b上是连续的，单调的函数，且满足f(a)·f(b)<0，则函数yf(x)在区间a，b上有唯一的零点”对于函数f(x)6ln(x1)x22x1，(1)讨论函数f(x)在其定义域内的单调性，并求出函数极值(2)证明连续函数f(x)在2，)内只有一个零点解析(1)解：f(x)6ln(x1)x22x1定义域为(1，)，且f(x)2x2，f(x)0x2(2舍去).x(1,2)2(2，)f(x)0f(x)取得极大值由表可知，f(x)值在区间(1,2上单调递增，在2，)上单调递减当x2时，f(x)的极大值为f(2)6ln31.(2)证明：由(1)知f(2)6ln31>0，f(x

15、)在2,7上单调递减，又f(7)6ln83618(ln22)<0，f(2)·f(7)<0.f(x)在2,7上有唯一零点当x7，)时，f(x)f(7)<0，故x7，)时，f(x)不为零yf(x)在7，)上无零点函数f(x)6ln(x1)x22x1在定义域内只有一个零点2(2010·江西高考)设函数f(x)ln xln (2x)ax(a>0)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1上的最大值为，求a的值解析函数f(x)的定义域为(0,2)，f(x)a.(1)当a1时，f(x)，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(

16、，2)；(2)当x(0,1时，f(x)a>0，即f(x)在(0,1上单调递增，故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)a，因此a.3已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值分析本题考查多项式的导数公式及运用导数求函数的单调区间和函数的最值，题目中需注意应先比较f(2)和f(2)的大小，然后判定哪个是最大值从而求出a.解(1)f(x)3x26x9.令f(x)<0，解得x<1，或x>3，函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2)f(2)81218a2a，f(2)81218

17、a22a，f(2)>f(2)在(1,3)上f(x)>0，f(x)在(1,2上单调递增又由于f(x)在2，1)上单调递减，f(1)是f(x)的极小值，且f(1)a5.f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值，于是有22a20，解得a2.f(x)x33x29x2.f(1)a57，即函数f(x)在区间2,2上的最小值为7.4已知函数f(x)xex(xR)(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数yg(x)的图象与函数yf(x)的图象关于直线x1对称证明当x1时，f(x)g(x)；(3)如果x1x2，且f(x1)f(x2)，证明x1x22.解析(1)f(x)

18、(1x)ex.令f(x)0，解得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，)f(x)0f(x)极大值所以f(x)在(，1)内是增函数，在(1，)内是减函数函数f(x)在x1处取得极大值f(1)，且f(1).(2)由题意可知g(x)f(2x)，得g(x)(2x)ex2.令F(x)f(x)g(x)，即F(x)xex(x2)ex2，于是F(x)(x1)(e2x21)ex.当x1时，2x20，从而e2x210，又ex0.所以F(x)0.从而函数F(x)在1，)上是增函数又F(1)e1e10，所以x1时，有F(x)F(1)0，即f(x)g(x)(3)若(x11)(x21)0

19、，由(1)及f(x1)f(x2)，得x1x21，与x1x2矛盾若(x11)(x21)0，由(1)及f(x1)f(x2)，得x1x2，与x1x2矛盾根据得(x11)(x21)0，不妨设x11，x21.由(2)可知，f(x2)g(x2)，g(x2)f(2x2)，所以f(x2)f(2x2)，从而f(x1)f(2x2)，因为x21，所以2x21，又由(1)可知函数f(x)在区间(，1)内是增函数，所以x12x2，即x1x22.5已知函数f(x)ax3ax2，函数g(x)3(x1)2.(1)当a>0时，求f(x)和g(x)的公共单调区间；(2)当a>2时，求函数h(x)f(x)g(x)的极小

20、值；(3)讨论方程f(x)g(x)的解的个数解(1)f(x)3ax23ax3ax(x1)，又a>0，由f(x)>0得x<0或x>1，由f(x)<0得0<x<1，即函数f(x)的单调递增区间是(，0)与(1，)，单调递减区间是(0,1)，而函数g(x)的单调递减区间是(，1)，单调递增区间是(1，)，故两个函数的公共单调递减区间是(0,1)，公共单调递增区间是(1，)(2)h(x)ax3ax23(x1)2，h(x)3ax23(a2)x63a(x)(x1)，令h(x)0，得x或x1，由于<1，易知x1为函数h(x)的极小值点，h(x)的极小值为h(1).(3)令(x)f(x)g(x