高中数学选修1-2讲义

1、精选优质文档-倾情为你奉上 依据普通高中课程标准试验教科书选修1-2编写 高二数学讲义第一章 统计案例本章课标要求：了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题。(1)独立性检验：了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用；(2) 回归分析：了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用。第一节 回归分析的基本思想及其初步应用一知识归纳1正相关：如果点散布在从左下角到右上角的区域，则称这两个变量的关系为正相关。2负相关：如果点散布在从左上角到右下角的区域，则称这两个变量的关系为负相关。3回归直线方程的斜率和截距公式：（此公式不要求记忆）。4最小二乘法：

2、求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法。5.随机误差：我们把线性回归模型，其中为模型的未知参数，称为随机误差。 随机误差6.残差：我们用回归方程中的估计，随机误差，所以是的估计量，故，称为相应于点的残差。7.解释变量对于预报变量的贡献率：，的表达式中确定，故越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差。越接近，表示回归效果越好。二典型例题例1.从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示，求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为的女大学生的体重。解析：作出散点图如右：通过残差发现原始数据中的可疑数据，判断所

3、建立模型的拟合效果。例2.一只红铃虫的产卵数和温度有关，现收集了7组观测数据列表如下：温度21232527293235产卵数个711212466115325试建立关于的回归方程。解析：画出散点图如右：三巩固提高1.为了研究某种细菌随时间变化繁殖的个数，收集数据如下：天数天123456繁殖个数个612254995190（1）以天数为变量，繁殖个数为变量，作出这些数据的散点图；（2）求出两变量间的回归方程。解析：作出散点图如右1234561.792.483.223.894.555.25（2）设，令，由计算器算得：，则有。第二节 独立性检验的基本思想及其初步应用一知识归纳1.分类变量：这种变量的不同

4、“值”表示个体所属的不同类别的变量。2.列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表。3.对于列联表：的观测值。4.临界值表：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828如果，就推断“有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，在样本数据中没有发现足够证据支持结论“有关系”。5.反证法与独立性检验原理的比较：反证法原理在假设下，如果推出矛盾，就证明了不成立。独立性检验原理在假设下，如果出现一个与相矛盾的小概率事件，就推断不成立，且该推断犯错误的概率不

5、超过这个小概率。二典型例题患心脏病换其他病总计秃顶不秃顶总计例1.在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶，而另外772名不是因为患心脏而住院的男性病人中，有175人秃顶，利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系，能否在犯错误不超过0.010的前提下认为秃顶与患心脏病有关系？解析：列联表如右：三巩固提高1.甲、乙两个班级进行一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的联表：优秀不优秀总计甲班103545乙班73845总计177390班级与成绩列联表：画出列联表的等高条形图，并通过图形判断成绩与班级是否有关，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超

6、过0.01的前提下认为成绩与班级有关系？2.为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到药物效果与动物实验列联表：患病未患病总计服用药104555没服药203050总计3075105能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有疗效？第二章 推理与证明本章课标要求：（1）合情推理与演绎推理：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。（2）直接证明与间接证明：了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过

7、程、特点；了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。第一节 合情推理和演绎推理第一课时 合情推理一知识归纳1.合情推理包括：归纳推理和类比推理。归纳推理：由个别事实概括出一般结论的推理；类比推理：由两类对象具有类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类也具有这些特征的推理。二典型例题例1.观察可以发现由上述具体事实能得出怎样的结论？例2.已知数列的首项，（1）求数列的通项公式；（2）若，化简。例3.类比圆的特征，填写球的有关特征：圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）的中点的连线垂直与圆心距离相等的两弦相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心

8、较近的弦较长以点为圆心，为半径的圆的方程为三巩固提高1.在中，为三边的长，则由勾股定理得；类似地，在四面体中，设分别表示的面积，则我们猜想成立的一个等式为 。2.有三根柱和套在柱上的若干金属片，按下列规则，把金属片从柱上全部移到柱上，每次只能移动1个金属片；较大的金属片不能放在较小的金属片的上面。设把柱上的片圆片全部移到柱上所需的最少次数为，回答：（1）是多少？（2）有怎样的关系？（3）求。印度有个古老的传说相传在佛教圣地贝那列斯的一个寺庙里有一块黄铜板，板上插着三个宝石针，第一根针上套着64片大小不等的金片，大的在底下，小的在上面，相传这是神在创世时留在那里的，不论白天黑夜，寺内都有一个僧人

9、按照上述所说的法则移动金片，神预言，当这64片金片都移到另一个针上时，世界末日就降临了。根据计算，金片将被移动次，如果移动一次需要一秒钟，则共需要58万亿年，距现代科学家估计，太阳系的寿命为200亿年。3.在数列中，猜想这个数列的通项公式为 。4.归纳凸多面体中，面数，顶点数和棱数之间的关系： 。5.在等差数列中，若，则有成立，类比上述性质，在等比数列中，若，则有 。9.设，且对于任意成立，猜想的表达式为 。6. 在数列中，求数列的通项公式。7.已知数列的前项和为，满足，计算，并猜想的表达式。你能求出它的表达式吗？8.类比正三角形和正四面体的性质正三角形（边长为）正四面体（棱长为）三个边长相等

10、周长为面积为外接圆半径内切圆半径三角形的高第二课时 演绎推理一知识归纳1.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论。这种推理称为演绎推理。2.三段论是演绎推理的一般模式：（1）大前提已知的一般原理；（2）小前提所研究的特殊情况；（3）结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断。二典型例题例1.如图，在锐角三角形中，是垂足，求证：的中点到点的距离相等。例2.证明函数在上是增函数。三巩固提高1.证明：通项公式为的数列是等比数列，并分析证明过程中的三段论。2.已知三棱锥中，求证：是锐角三角形。第二节 直接证明和间接证明第一课时 直接证明和间接证明一知识归纳1.综合法：利用已知条件和某些数学

11、定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导处所要证明的结论成立的证明方法。2.分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）的证明方法。二典型例题例1.在中，设，求证：.例2.在中，三个内角的对边分别是，且成等差数列，成等比数列，求证是等边三角形。例3.求证：。例4.如图，面，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，求证：。例5.已知，且，求证:.三巩固提高1.求证：对于任意角。2求证：。3.已知，求证。4.已知都是锐角，且，求证。5.如图，面，为的中点，求证。6.的三边的倒数成等差数列，求证

12、。7.已知，求证。8.设实数成等比数列，非零实数分别为和的等差中项，求证。9.设是的等差中项，是的等比中项，求证。第二课时 反证法一用反证法证明命题的步骤：（1）假设 的结论不成立，即假设 成立；（2）从 出发，经过 ，得出矛盾；（3）由 判断假设不正确，从而肯定命题的结论正确。二典例选讲例1已知，证明的方程有且只有一个根。例2已知直线和平面，如果，且，求证。例3证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。例4若且，求证：至少有一个大于零。三巩固与提高：1用反证法证明命题：“可被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，假设的内容是（ ）都能被5整除 都不能被5整除 不都能被5整除 不能被5整除

13、2若，关于的方程，和中至少有一个方程有两个不等实根。3求证：不论取任何非零实数，等式总不成立。第二章单元测试题组1数列中的等于（ ）28 32 33 272设则（ ）都不大于 都不小于 至少有一个不大于 至少有一个不小于3已知正六边形，在下列表达式；中，与等价的有（ ）1个 2个 3个 4个4函数内（ ）只有最大值 只有最小值 只有最大值或只有最小值 既有最大值又有最小值5如果为各项都大于零的等差数列，公差，则（ ） 6 若，则（ ）123 105 89 587函数在点处的导数是 ( ) 8从中得出的一般性结论是 。9已知实数，且函数有最小值，则= 。10已知是不相等的正数，则的大小关系是 。

14、11若正整数满足，则.12若数列中，则 。13观察（1）（2），由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。14的三个内角成等差数列，求证：15已知 求证：。16设图像的一条对称轴是，（1）求的值；（2）求的增区间；（3）证明直线与函数的图象不相切。第三章 复数二课标要求：复数的概念：理解复数的基本概念；理解复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义。复数的四则运算：会进行复数代数形式的四则运算；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。第一节 数系的扩充和复数的概念学习目标：理解复数的基本概念；理解复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义。第一课时 复数的概念一归纳重点

15、1复数的代数形式：形如 的数叫做复数，其中 叫做虚数单位。复数的实部为 ，虚部为 。2虚数和纯虚数：对于，当 时，它是实数；当 时，它是虚数；当 时，它是纯虚数。3复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间关系如右图所示：4复数的相等：的充要条件为 。二典型例题例1实数取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？例2如果，求实数的值。三延伸训练1下列四个命题中，真命题是（ ）的平方根只有一个；是方程的一个根；是一个无理数；是一个复数。 2对于复数，下列结论正确的是（ ）为纯虚数 为实数 的平方等于3复数与复数相等，则实数的值为（ ） 或 或4复数的实部为 ，虚部为 。5下列数中，其中实数

16、为 ，虚数为 ，纯虚数为 。；。6若，则实数 ， 。7若，则则实数 ， 。8实数取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？第二课时 复数的几何意义一归纳重点1复数集和复平面内所有点所成的集合是 对应的，即 ，这是复数的一个几何意义。二典型例题例1已知复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的范围。例2当为何值时，复数是纯虚数？三延伸训练1在复平面内表示的点在（ ）第一象限 第二象限 第三象限 第四象限2若是纯虚数，则实数的值为（ ） 或3若复数不是纯虚数，则（ ） 或 4对于下列判断，其中正确的个数是（ ）若，则；若，且，则；若，则。 1 2 3 05实数取何值时，复平面内表示复

17、数的点（1）位于第四象限？（2）位于第一、二象限？（3）位于直线上？6在复平面内，是原点，向量对应的复数是，（1）如果点关于实轴的对应点为点，求向量对应的复数；（2）如果点关于虚轴的对应点为点，求点对应的复数。第二节 复数代数形式的四则运算学习目标：会进行复数代数形式的四则运算；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。第一课时 复数代数形式的加减运算及其几何意义一归纳重点1复数的加减法： 。2复数的乘法： 。3共轭复数：当两个复数的 相等，虚部互为 时，这两个复数叫做共轭复数，虚部 的两个共轭复数叫做共轭虚数。二典型例题例1计算。例2设，且，求。例3计算。三延伸训练1已知复数，则复数在复平面内

18、对应的点位于复平面内的（ ）第一象限 第二象限 第三象限 第四象限2直接写出下列式子的结果（1） ；（2） 。（3） ；（4） 。3计算：（1）；（2）；（3）；（4）（5）；（6）；（7）；（8）。第二课时 复数代数形式的乘除运算一归纳重点1复数的除法：= 。2常见的结论：（1）；。（2）设，则；。二典型例题例1计算：（1）；（2）。例2计算：（1）；（2）。三延伸训练1等于（ ） 2计算的结果是（ ） 3等于（ ） 4等于（ ） 5复数，则在复平面内对应点位于（ ）第一象限 第二象限 第三象限 第四象限6 。7已知，则= 。8已知，求满足的复数。9已知是关于的方程的一个根，求实数的值。复数

19、综合训练题1复数的共轭复数是（ ） 2当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）第一象限 第二象限 第三象限 第四象限3.(2009年广东卷文)下列的取值中，使是虚数单位）的是（ ）2 3 4 5【答案】C4.（2009广东卷理）设是复数，表示满足的最小正整数，对虚数单位，=（ ）8 6 4 25.（2009浙江卷理）设是虚数单位），则= ( ) 答案：D 6.(2009山东卷文)复数等于（ ） 答案:C7.（2009安徽卷理）是虚数单位，若，则乘积的值是（ ） 选B。8.（2009安徽卷文）是虚数单位，等于（ ） 【答案】D9.（2009辽宁卷文）已知复数，那么=（ ） 【答案】D10.（200

20、9宁夏海南卷理）复数=（ ） 选D11.（2009天津卷文）是虚数单位，=（ ） 【答案】D12.已知是纯虚数,是实数,那么等于（ ） 答案：D. 13.（2009宁夏海南卷文）复数（ ） 【答案】C14复数的积是实数的充要条件是（ ） 15复数的值是（ ） 14.（2009江苏卷）若复数其中是虚数单位，则复数的实部为 。 -2015.（2009福建卷文）复数的实部是 -1 。16.（2009年上海卷理）若复数满足是虚数单位)，则其共轭复数= 。【答案】i w17已知复数与都是纯虚数，则 = 。18已知第三章单元测试题组1下面四个命题： 比大；两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数；的充要条

21、件为；如果让实数与对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是（ ）0 1 2 32的虚部为( ) 3使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( ) 为实数 为实数4设则的关系是( ) 无法确定5的值是( ) 6已知集合的元素个数是( )2 3 4 无数个7如果是虚数，则中是虚数的有 _个，是实数的有 个，相等的有 组。8如果,复数在复平面上的对应点在 象限。9若复数是纯虚数，则= 。10设若对应的点在直线上,则= 。11已知则= 。12若，那么的值是 。13计算= 。14设复数满足，且是纯虚数 ,求。15已知复数满足: ，求的值。第四章 框图本章课标要求：（1）流程图：了解程序框图；

22、 了解工序流程图（即统筹图）；能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用。（2）结构图：了解结构图；会运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息。第一节 流程图一典型例题例1画出用二分法求方程的近似解。解析：例2考生参加某培训中心的考试需要遵循以下程序：在考试之前咨询考试事宜，如果是新生，需要填写考生注册表，领取考生编号，明确考试的科目和时间，然后缴纳考试费，按规定时间参加考试，领取成绩单，领取证书；如果不是新考生，则需出示考生编号，明确考试的科目和时间，然后缴纳考试费，按规定时间参加考试，领取成绩单，领取证书。设计一个流程图，表示这个考试流程。解析：如右图。例3某工厂加工某种零件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工，每道工序完成时都要对产品进行检验，粗加工的合格品进入精加工，不合格进入返修加工；返修加工的合格品进入精加工，不合格品作为废品处理；精加工的合