第二章参数估计

1、第二章 参数估计1、 参数估计的一般问题 2、 一个总体参数的区间估计3、 两个总体参数的区间估计4、 样本容量的确定统计推断的过程总体均值、比总体均值、比例、方差等例、方差等第一节 参数估计的一般问题1、估计量与估计值2、点估计与区间估计3、评价估计量的标准估计量与估计值 估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比例、样本方差等例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量 参数用 表示，估计量用 表示 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值 x =80，则80就是的估计值估计量与估计值 (estimator & estimated value)点估计与区间估计

2、参数估计的方法估估 计计 方方 法法点点 估估 计计区间估计区间估计点估计 (point estimate) 用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计 无法给出估计值接近总体参数程度的信息虽然在重复抽样条件下，点估计的均值可望等于总体真值，但由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量 评价估计量的标准无偏性(unbiasedness)无偏性：无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被

3、 估计的总体参数有效性(efficiency)1有效性：有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计 量，有更小标准差的估计量更有效 2一致性(consistency)一致性：一致性：随着样本容量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数较小的样本容量较小的样本容量较大的样本容量较大的样本容量区间估计 (interval estimate)在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在7585之间，置信水平是95% 区间估计的图示xxzx2 将构造置信区间的步

4、骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平 表示为 (1 - 为是总体参数未在区间内的比例 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%相应的相应的 为0.01，0.05，0.10置信水平(confidence level) 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个总体参数以

5、一定的概率落在这一区间的表述是错误的置信区间 (confidence interval)置信区间 (95%的置信区间)置信区间与置信水平 xxx影响区间宽度的因素总体数据的离散程度，用 来测度样本容量n，置信水平 (1 - )，影响 z 的大小nx第二节 一个总体参数的区间估计1、总体均值的区间估计2、总体比例的区间估计3、总体方差的区间估计一个总体参数的区间估计总体参数总体参数符号表示符号表示样本统计量样本统计量均值均值比例比例方差方差xp22s总体均值的区间估计 (正态总体、已知，或非正态总体、大样本)总体均值的区间估计(大样本)1.假定条件总体服从正态分布,且方差() 已知如果不是正态分

6、布，可由正态分布来近似 (n 30)2. 使用正态分布统计量 z总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为)1 , 0( Nnxz)(22未知或nszxnzx数据正态性的评估方法数据正态性的评估方法 对数据画出频数分布的直方图或茎叶图若数据近似服从正态分布，则图形的形状与上面给出的正态曲线应该相似 求出样本数据的四分位差Qd和标准差s，然后计算比值Qd/s 。若数据近似服从正态分布，则有 Qd/s 1.3 绘制正态概率图正态概率图的绘制(normal probability plots) 正态概率图可以在概率纸上绘制，也可以在普通纸上绘制。在普通纸上绘制正态概率图的步骤第1步：将样本观察值从小到

7、大排列第2步：求出样本观察值的标准正态分数zi 。标准正态分数满足第3步：将zi作为纵轴，xi作为横轴，绘制图形，即为 标准正态概率图)()(5 . 0iizzZPnj正态概率图的绘制 (例题分析)【例例】一家电脑公司连续10天的销售额(单位：万元)分别为176，191，214,，220，205，192，201，190，183，185。绘制正态概率图，判断该组数据是否服从正态分布正态概率图的绘制 (例题分析) 2302202102001901801709995908070605040302010511 1百百分分比比均值201.3标准差6.919N10AD0.358P 值0.3761 1 的的

8、概概率率图图正态 - 95% 置信区间正态概率图的判断正态概率图的判断短尾分布：如果尾部比正常的短，则点所形成的图形左边朝直线上方弯曲，右边朝直线下方弯曲如果倾斜向右看，图形呈S型。表明数据比标准正态分布时候更加集中靠近均值。长尾分布：如果尾部比正常的长，则点所形成的图形左边朝直线下方弯曲，右边朝直线上方弯曲如果倾斜向右看，图形呈倒S型。表明数据比标准正态分布时候有更多偏离的数据。一个双峰分布也可能是这个形状。右偏态分布：右偏态分布左边尾部短，右边尾部长。因此，点所形成的图形与直线相比向上弯曲，或者说呈U型。把正态分布左边截去，也会是这种形状。左偏态分布：左偏态分布左边尾部长，右边尾部短。因此

9、，点所形成的图形与直线相比向下弯曲。把正态分布右边截去，也会是这种形状。总体均值的区间估计(例题分析)【 例例 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量（单位：g）如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

10、 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3总体均值的区间估计(例题分析正态性评估)食品重量的正态概率图Normal Probability Plot食品重量Expected Normal Value-2.5-1.5-0.50.51.52.590100110120130140解：解：已知N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得： 。 由于是正态总体，且方差已知。总体均值在1-置信水平下的置信区间为28.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx该食品平均重量的置信区间为10

11、1.44g109.28g36.105x【例例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间 36个投保人年龄的数据个投保人年龄的数据 233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得： ， 总体均值在1- 置信水平下的置信区间为63.41,37.3713.25.393677.7645.15.392nszx投保人平均年龄的置信区间为37.37岁4

12、1.63岁5 .39x77. 7s总体均值的区间估计 (正态总体、未知、小样本)总体均值的区间估计 (小样本)1. 假定条件总体服从正态分布,但方差() 未知小样本 (n 30)2. 使用 t 分布统计量 总体均值在1-置信水平下的置信区间为)1(ntnsxtnstx2t 分布 t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布 t 分布(用Excel生成t分布的临界值表)t 分布(用Excel绘制t分布图)第第1步：步：在工作表的第1列A2：A62输入一个等差数列，初始 值为“-3”，步长为“0

13、.1”，终值为“3”第第2步：步：在单元格C1输入t分布的自由度(如“20”) 第第3步：步：在单元格B2输入公式“=TDIST(-A2,$C$1,1)”，并将其 复制到B3：B32区域，在B33输入公式 “=TDIST(A33,$C$1,1)”并将其复制到B34：B62区域第第4步：步：在单元格C3输入公“=(B3-B2)*10”，并将其复制到C4 ：C31区域，在单元格C32输入公式“=(B32-B33)*10” 并将其复制到C33：C61区域第第5步：步：将A2：A62作为横坐标，C2：C62作为纵坐标，根据 “图表向导”绘制折线图t 分布(用Excel绘制t分布图)总体均值的区间估计(

14、例题分析)16只灯泡使用寿命的数据只灯泡使用寿命的数据 1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470总体均值的区间估计(例题分析正态性评估)Normal Probability Plot灯泡寿命Expected Normal Value-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0144014601480150015201540总体均值的区间估计(例题分析)2.1503, 8.14762.1314901677.24131.214902nstx1490 x77.24s总体比例的区间估计总体比例的区

15、间估计1.假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似2.使用正态分布统计量 z) 1 , 0()1 (Nnpznppzp)-1 (2总体比例的区间估计(例题分析)【例例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间%35.74%,65.55%35. 9%65100%)651%(6596. 1%65n)p1 (pzp2该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%74.35% 总体方差的区间估计总体方差的区间估计1. 估计一个总体的方差或标准差2. 假设总体服从正态分布3. 总体方差 2

16、 的点估计量为s2,且11222nsn111122122222nsnnsn总体方差的区间估计(图示)总体方差1- 的置信区间总体方差的区间估计(例题分析)【例例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间 2525袋食品的重量袋食品的重量 单位：单位：g g112.5112.5101.0101.0103.0103.0102.0102.0100.5100.5102.6102.6107.5107.5 95.0 95.0108.8108.8115.6115.61

17、00.0100.0123.5123.5102.0102.0101.6101.6102.2102.2116.6116.6 95.4 95.4 97.8 97.8108.6108.6105.0105.0136.8136.8102.8102.8101.5101.5 98.4 98.4 93.3 93.3总体方差的区间估计(例题分析)4011.12)24() 1(2975. 0212n3641.39)24() 1(2025. 022n39.18083.564011.1221.931253641.3921.9312522一个总体参数的区间估计(小结)均值均值比例比例方差方差大样本大样本小样本小样本大样本

18、大样本 2 2分布分布 2 2已知已知 2 2已知已知Z Z分布分布 2 2未知未知Z Z分布分布Z Z分布分布Z Z分布分布 2 2未知未知t t分布分布未来观察值的预测区间估计未来观察值的预测区间估计预测随机变量未来的观察值，并希望求出各某个未来观察值的取值范围，这个范围就是对某个未来观察值的预测区间估计预测误差的期望为， ，预测误差的方差为未来观察值经标准化后服从标准正态分布，当用样本方差s2代替总体方差2后，则服从t分布新观察值95%的预测区间为0)(1xxEnnnxxDn112221nstx112第三节 两个总体参数的区间估计1、 两个总体均值之差的区间估计2、 两个总体比例之差的区

19、间估计3、 两个总体方差比的区间估计两个总体参数的区间估计总体参数总体参数符号表示符号表示样本统计量样本统计量均值差比例差方差比2121xx 2121pp 22212221ss两个总体均值之差的区间估计(独立大样本)两个总体均值之差的估计(大样本)1. 假定条件两个总体都服从正态分布，1 ， 2已知若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n130和n230)两个样本是独立的随机样本2. 使用正态分布统计量 z) 1 , 0()()(2221212121Nnnxxz两个总体均值之差的估计 (大样本)1.1， 2已知时，两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为222121221)(nn

20、zxx222121221)(nsnszxx两个总体均值之差的估计(例题分析)【例例】某地区教育管理部门想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立抽取两个随机样本，有关数据如右表所示。建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间 两个样本的有关数据两个样本的有关数据 中学中学1 1中学中学2 2n1=46n1=33S1=5.8 S2=7.2861x782x两个总体均值之差的估计(例题分析)两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为5.03分10.97分)97.10,03. 5(97. 28332 . 7468 . 596. 1)7886()(22222121221nsns

21、zxx两个总体均值之差的区间估计(独立小样本)两个总体均值之差的估计(小样本: 12 22 )1.假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知但相等：1=2两个独立的小样本(n130和n230)2. 总体方差的合并估计量2) 1() 1(212222112nnsnsnsp21221211nnsnsnsppp两个总体均值之差的估计(小样本: 1222 ) 两个样本均值之差的标准化)2(11)()(21212121nntnnsxxtp21221221112nnsnntxxp例题分析【例例】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12名工人，每个工人组装一件产品所需

22、的时间(单位：min) 如下表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间两个方法组装产品所需的时间两个方法组装产品所需的时间 方法方法1 1方法方法2 228.328.336.036.027.627.631.731.730.130.137.237.222.222.226.026.029.029.038.538.531.031.032.032.037.637.634.434.433.833.831.231.232.132.128.028.020.020.033.433.428.828.830.030.030.230.2

23、26.526.52 21 1两个总体均值之差的估计(例题分析正态性评估)Normal Probability Plot方法1组装时间Expected Normal Value-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02628303234363840Normal Probability Plot方法2组装时间Expected Normal Value-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.018202224262830323436两个总体均值之差的估计(例题分析)5 .321x996.1521s8 .282x358.1922s677.1721212358.

24、19) 112(996.15) 112(2ps56. 37 . 3121121677.170739. 2)8 .285 .32(两个总体均值之差的估计(小样本: 12 22 )1.假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知且不相等：12两个独立的小样本(n130和n230)2. 使用统计量)()()(2221212121vtnsnsxxt两个总体均值之差的估计(小样本: 1222 )两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为222121221)(nsnsvtxx1222221121212222121nnsnnsnsnsv例题分析【例例】沿用前例。假定第一种方法随机安排12名工人，

25、第二种方法随机安排8名工人，即n1=12，n2=8 ，所得的有关数据如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间 两个方法组装产品所需的时间两个方法组装产品所需的时间 方法方法1 1方法方法2 228.328.336.036.027.627.631.731.730.130.137.237.222.222.226.526.529.029.038.538.531.031.037.637.634.434.433.833.832.132.128.028.020.020.028.828.830.030.030.230.2两个

26、总体均值之差的估计(例题分析)5 .321x996.1521s875.272x014.2322s13188.13188014.2311212996.158014.2312996.15222v433. 4625. 48014.2312996.151604. 2)875.275 .32(两个总体均值之差的区间估计(匹配样本)两个总体均值之差的估计(匹配大样本) 假定条件两个匹配的大样本(n1 30和n2 30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布 两个总体均值之差d =1-2在1- 置信水平下的置信区间为nzdd2两个总体均值之差的估计(匹配小样本) 假定条件两个匹配的小样本(n1 30和n2 3

27、0)两个总体各观察值的配对差服从正态分布 两个总体均值之差d=1-2在1- 置信水平下的置信区间为nsntdd) 1(2两个总体均值之差的估计(例题分析)【例例】由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套试卷进行测试，结果如右表 。试建立两种试卷分数之差d=1-2 95%的置信区间 1010名学生两套试卷的得分名学生两套试卷的得分 学生编号学生编号试卷试卷A A试卷试卷B B差值差值d d1 1787871717 72 26363444419193 37272616111114 4898984845 56 69191747417175 549495151-2-27 76868555

28、513138 87676606016169 9858577778 81010555539391616两个总体均值之差的估计(例题分析正态性评估)Normal Probability Plot分数之差Expected Normal Value-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0-404812162024两个总体均值之差的估计(例题分析)11101101dniindd53. 61)(12dniidndds67. 4111053. 62622. 211) 1(2nsntdd两个总体比例之差区间的估计1. 假定条件两个总体服从二项分布可以用正态分布来近似两个样本是独立的2.

29、两个总体比例之差1- 2在1- 置信水平下的置信区间为两个总体比例之差的区间估计222111221)1 ()1 (nppnppzpp例题分析【例例】在某个电视节目的收视率调查中，农村随机调查了400人，有32%的人收看了该节目；城市随机调查了500人，有45%的人收看了该节目。试以90%的置信水平估计城市与农村收视率差别的置信区间 两个总体比例之差的估计 (例题分析)解解: : 已知 n1=500 ，n2=400， p1=45%， p2=32%， 1- =95%， z/2=1.96 1- 2置信度为95%的置信区间为城市与农村收视率差值的置信区间为6.68%19.32%32.19,%68. 6

30、%32. 6%13400%)321 (%32500%)451 (%4596. 1%32%45两个总体方差比的区间估计两个总体方差比的区间估计1.比较两个总体的方差比 用两个样本的方差比来判断如果S12/ S22接近于1,说明两个总体方差很接近如果S12/ S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异2.总体方差比在1-置信水平下的置信区间为212221222122221FssFss),(1),(1222121nnFnnF两个总体方差比的区间估计(图示)两个总体方差比的区间估计(例题分析)【例例】为了研究男女学生在生活费支出(单位：元)上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到下

31、面的结果 男学生： 女学生： 试以90%置信水平估计男女学生生活费支出方差比的置信区间 5201x26021s4802x28022s两个总体方差比的区间估计 (例题分析)解解: :根据自由度 n1=25-1=24 ，n2=25-1=24，查得 F/2(24)=1.98， F1-/2(24)=1/1.98=0.505 12 /22置信度为90%的置信区间为男女学生生活费支出方差比的置信区间为0.471.84 505.028026098.12802602221两个总体参数的区间估计(小结)均值差均值差比例差比例差方差比方差比独立大样本独立大样本独立小样本独立小样本匹配样本匹配样本独立大样本独立大样

32、本 1 12 2、 2 22 2已知已知 1 12 2、 2 22 2未知未知Z Z分布分布Z Z分布分布 1 12 2、 2 22 2已知已知 1 12 2、 2 22 2未知未知Z Z分布分布 1 12 2= = 2 22 2 1 12 2 2 22 2正态总体正态总体F F分布分布Z Z分布分布t t分布分布t t分布分布t t分布分布第四节 样本容量的确定1、 估计总体均值时样本容量的确定2、 估计总体比例时样本容量的确定3、 估计两个总体均值之差时样本容量的确定4、 估计两个总体比例之差时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定 估计总体均值时样本容量n为样本容量n与总体方差 2、边际误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为与总体方差成正比与边际误差的平方成反比与可靠性系数成正比样本容量的圆整法则：当计算出的样本容量不是整数时，将小数点后面的数值一律进位成整数，如24.68取25，24.32也取25等等估计总体均值时样本容量的确定 2222)(EznnzE2例题分析【例例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望边际误差为400元，应抽取多大的样本容量？例题分析解解: : 已知 =2000，E=400, 1-=95%， z/2=1.96 应抽取的样本容量为