高考数学导数讲义

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业导数的定义、运算和运用（一）导数的定义、运算和运用（一）考向一：定义（平均变化率瞬时变化率，适当补充极限定义）【例】函数221yx在闭区间1,1x内的平均变化率为A.1 2 x B.2xC.32 x D.42 x 【解析】f（1+x）=2（1+x）2+1=2（x）2+4x+3，f（1）=2，该函数在区间1，1+x上的平均变化率为xxxxfxfxy42) 1 ()1 (242 x 【例】若0()3fx ，则000()(3 )limhf xhf xhh（）A3B6C9D12【解析】000000000()(3 )()(3 )()(3 )limlim44lim

2、44hhhf xhf xhf xhf xhf xhf xhhhh04()12fx 。故选 D。【练 1】若2)(0 xf，则kxfkxfk2)()(lim000等于（）A1B2C1D21【练 2】若0()3fx ，则000()(3 )limhf xhf xhh（）A3B6C9D12【解析 1】根据导数的定义知kxfkxfk2)()(lim000=000()()1lim2kf xkf xk =01()2fx=-1【解析2】12-443lim43lim0000000 xfhhxfhxfhhxfhxfhh考向二：导数几何意义（在/过某点切线）【例】曲线31yx在点( 1,0)处的切线方程为A330

3、xyB330 xyC30 xyD330 xy精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【解析】23yx，13xky，由点斜式知切线方程为：31yx，即330 xy.【例】过点) 1, 1 ( 且与曲线xxy23相切的直线方程为（）A20 xy或5410 xy B02 yxC20 xy或4510 xy D02 yx【 解 析 】 设 切 点 为3000(,2)x xx， 因 为232yx ， 所 以 切 线 的 斜 率 为020|32x xkyx，所以切线方程为320000(2)(32)()yxxxxx，又因为切线过点(1, 1)，所以3200001 (2)(32)(1)xxxx 即320023

4、10 xx ，注意到(1, 1)是在曲线32yxx上的，故方程32002310 xx 必有一根01x ，代入符合要求，进一步整理可得32002(1)3(1)0 xx即2000002(1)(1)3(1)(1)0 xxxxx， 也 就 是2000(1)(21)0 xxx即200(1) (21)0 xx，所以01x 或012x ，当01x 时，20321kx，切线方程为( 1)1yx 即20 xy；当012x 时，203532244kx ，切线方程为5( 1)(1)4yx 即5410 xy 【例】设直线 l1，l2分别是函数 f(x)=ln ,01,ln ,1,xxx x图象上点 P1，P2处的切线

5、，l1与 l2垂直相交于点 P，且 l1，l2分别与 y 轴相交于点 A，B，则PAB 的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【练 1】已知直线 l 过点) 1, 0( ，且与曲线xxyln相切，则直线l的方程为.【练 2】曲线2)(3xxxf的一条切线平行于直线014 yx，则除切点外切线与曲线的另一交点坐标可以是（）A(1, 0)B( 2, 10)C( 1, 4) D(2,8)【练 3】若直线ykxb是曲线ln2yx的切线，也是曲线ln(1)yx的切线，则b 【解析 1】将( )lnf xxx求导得( )ln

6、1fxx，设切点为00(,)xy，l的方程为000(ln1)()yyxxx， 因为直线 l 过点) 1, 0( ， 所以0001(ln1)(0)yxx .又000lnyxx，所以0000001ln(ln1),1,0 xxxxxy .所以切线方程为1 xy.【解析 2】设切点00, yxP，则 132 xxf，于是 13|200 xxfKxx切，因为切线平行于直线014 yx，所以41320 x，即10 x.则 4, 10 , 1或P，切线方程为：14xy或144xy分别与曲线方程联立可解得另一交点坐标为12, 2 或8 , 2【解析 3】对函数ln2yx求导得1yx ，对ln(1)yx求导得1

7、1yx ，设直线ykxb与曲线ln2yx相切于点111( ,)P x y，与曲线ln(1)yx相切于点222(,)P xy，则1122ln2,ln(1)yxyx，由点111( ,)P x y在切线上得精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业1111ln2()yxxxx，由点222(,)P xy在切线上得2221ln(1)()1yxxxx，这两条直线表示同一条直线，所以12221211121ln(1)ln1xxxxxx，解得11111,2,ln2 11 ln22xkbxx .考向三：常用函数导数与导数的四则运算【例】函数1 ln1lnxyx的导数是 （）A.22(1ln )xB.2)ln1 (

8、2xxC.22(1 ln )xxD .21(1 ln )xx【解析】1 ln(1ln )221,1ln1ln1lnxxyxxx 所以2210222( 1)().1 ln1 ln1 lnxyxxxx 【例】若2( )2(1)f xxfx，则(0)f等于（）A. 2B. 4C. 2D. 0【 解 析 】 2( )2(1)f xxfx， ( )2(1)2fxfx ， (1)2f ， ( )24fxx ，(0)4f 【练 1】已知函数( )2xf xx，则(1)f ()A-1B-3C.2D-2【练 2】已知函数),3( 2sin)(xfxxf则)3( f（）A.21B.0C.21D.23精选优质文档-

9、倾情为你奉上专心-专注-专业【练 3】设曲线11xyx在点(3,2)处的切线与直线10axy 垂直，则a等于（）A.2B.12C.12D.2【练 4】等比数列 na中，4, 281aa， 函数)()()(821axaxaxxxf，则)0( fA.62B.92C.122D.152【解析 1】根据题意，由于函数2222( )( )(1)22(2)(2)xxxf xfxfxxx 【 解 析 2 】 注 意 到)3(f 是 常 数 , 所 以)3(2cos)(fxxf, 令3x得)3(23cos)3(ff21)3(f【解析 3】 由221112111xxxyyxxx 曲线11xyx在点(3,2)处的切

10、 线 的 斜 率 为12k ; 又 直 线10axy 的 斜 率 为a, 由 它 们 垂 直 得1122aa 【解析 4】因为128128( )()()()+x()()()f xxaxaxaxaxaxa,所以4412128123818(0).()82()()()=faaaa a aaa a .考向四：导数运用：函数图像【例】函数( )yf x的图象如图所示，则导函数( )yfx的图象可能是()xyOxyOAxyOBxyOCxyODf(x)( )fx( )fx( )fx( )fx精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【解析】先根据导函数 f（x）的图象得到 f（x）的取值范围，从而得到原函数

11、的斜率的取值范围，从而得到正确选项由于原函数都是递减区间可知导数都小于零，故排除 A,B,C,只能选 D.【例】已知函数( )f x的定义域为 1,4，部分对应值如下表，( )f x的导函数( )yfx的图象如右图所示.当12a时，函数( )yf xa的零点的个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析】根据导函数图象，知2是函数的 1 极小值点，函数 xfy 的大致图象如图所示，由于 230 ff，21 a，所以 axfy的零点个数为 4 个【练 1】定义在 R 上的函数( )f x满足(4)1f,( )fx为( )f x的导函数，已知( )yfx的图象如右图所示，若两个正数, a b满足(2)

12、1fab,则22ba的取值范围是（）A （-, -3）B（-,12）（3,+）C1(,3)2D1 1( ,)3 2精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【练 2】 在同意直角坐标系中， 函数22322()2ayaxxya xaxxa aR与的图像不可能的是（）【练 3】 已知函数3211( )22132f xaxaxaxa的图象经过四个象限， 则实数a的取值范围是【解析 1】由导数图像可知，0-，函数减，0函数增，12baf，即 42fbaf，即420ba,等价于024200bababa，如图：22ab表示可行域内的点到22 ，D连线的斜率的取值范围21, 3BDCDkk,所以取值范围为3

13、21，【解析 2】当0a 时，两函数图像为 D 所示，当0a 时，由223410ya xax 得：1xa或13xa，22ayaxx的对称轴为12xa.当0a 时， 由11123aaa知 B 不对. 当0a 时，由11123aaa知 A,C 正确.【解析 3】( )fx=ax2+ax-2a=a(x2+x-2)=a(x+2)(x-1)，显然 a0，：若 a0,则 f(x)在(, 2 )，(1,+)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，因此若要使 f(x)图像过四个象限，需5(1)10616( 2)103faafa ，综上，a 的取值范围是(163,56)单调性极值最值零点【例】函数21ln2yxx

14、的单调递减区间为（）A( 1,1B.(0,1C.1,)D.(0,)【解析】根据题意，对于函数21ln2yxx，由于211(1)(1)xxxyxxxx（x0） ，可知，当 y0 时，则可知 0 x1 能满足题意，故可知单调减区间为(0,1，【例】若函数 21xaf xx在1x 处取极值，则 a_.【解析】因为 21xaf xx，所以 222()11(1)xaxxaxfxx22211x xxax2221xxax由题设， 10f 所以，120,3aa【例】 若函数f(x)x13sin2xasinx在(， )上单调递增， 则a的取值范围是()A1,1B.1，13C.13，13D.1，13【解析】法一(

15、特殊值法)：不妨取 a1，则 f(x)x13sin 2xsin x，f(x)123cos 2xcos x，但 f(0)1231230，不具备在(，)单调递增，排除 A，B，D.故选 C.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业方法二(综合法)：函数 f(x)x13sin 2xasin x 在(，)单调递增，f(x)123cos 2xacos x123(2cos2x1)acos x43cos2xacos x530，即 acos x43cos2x53在(，)恒成立当 cos x0 时，恒有 053，得 aR；当 0cos x1 时， 得 a43cos x53cos x， 令 tcos x， f(

16、t)43t53t在(0,1上为增函数，得 af(1)13；当1cos x0，因此函数 f(x)在 0,1上单调递增，所以 x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在 x1,2，使得 g(x)x22ax41，即 x22ax50，即 ax252x能成立，令 h(x)x252x，则要使 ah(x)在 x1,2能成立， 只需使 ah(x)min， 又函数 h(x)x252x在 x1,2上单调递减， 所以 h(x)minh(2)94，故只需 a94.【解析 5】：基本法：由三次函数的值域为 R 知，f(x)0 必有解，A 项正确；因为 f(x)x3ax2bxc 的图象可由 yx3平移得到，所

17、以 yf(x)的图象是中心对称图形，B项正确；若 yf(x)有极值点，则其导数 yf(x)必有 2 个零点，设为 x1，x2(x1x2)，则有 f(x)3x22axb3(xx1)(xx2)，所以 f(x)在(，x1)上递增，在(x1，x2)上递减，在(x2，)上递增，则 x2为极小值点，所以 C 项错误，D 项正确选 C.【错误解析 6】由 f x单调递减得： 0fx，故280mxn在122，上恒成立。而28mxn是一次函数，在122，上的图像是一条线段。故只须在两个端点处 10,202ff即可。即 1280,122280,2mnmn，由 212得：10mn。所以，2252mnmn. 选 C。

18、【错误原因】mn当且仅当5mn时取到最大值25，而当5mn，,m n不满足条件 1 , 2。【正确解析 6】同前面一样,m n满足条件 1 , 2。由条件 2得：1122mn。于是，211121218222nnmnnn。mn当且仅当3,6mn时取到最大值18。经验证，3,6mn满足条件 1 , 2。故选B。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业简单函数构造【例】 函数)(xf的定义域为 R，3) 1(f， 对任意Rx，3)( xf， 则63)( xxf的解集为（）A) 1 , 1(B), 1(C) 1,(D),(【解析】设 63 xxfxg， 03xfxg所以 xg为减函数，又0311fg

19、所以根据单调性 0 xg的解集是1xx【 例 】 已 知 函 数 yf x是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 且 当0 x 时 ， 不 等 式( )( )0f xxfx成 立 ，若0.30.33(3 )af，b(log 3) (log 3)f，3311(log) (log)99cf，则, ,a b c的大小关系（）AabcBcbaCcabDacb【解析】设 ( )( )00g xxf xf xxfxgx 0 x 时函数 g x递减，函数 yf x是定义在 R 上的奇函数，所以 g x是偶函数0 x 时 g x递增，0.331log3log 39，结合图像可知cab【例】已知函数对定义域

20、内的任意都有=，且当时其导函数满足若，则（）ABCD精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【解析】由题意得，因为函数对定义域内的任意都有=，所以函数关于对称，又当时其导函数满足，所以当时，所以在上单调递增；当时，所以在上 单 调 递 减 ， 因 为， 所 以， 所 以，又在上单调递增，所以【例】 设函数)(xf在R上存在导数)(xf ，Rx， 有2)()(xxfxf， 在), 0( 上xxf)(，若mmfmf48)()4(，则实数m的取值范围为（）A2 , 2B), 2 C), 0 D(, 22,) 【解析】设 212g xfxx因为对任意 2,xR fxf xx，所以， 221122gx

21、g xfxxfxx= 20fxf xx所以，函数 212g xfxx为奇函数；又因为，在), 0( 上xxf)(，所以， 当时0 x ， 0gxfxx即函数 212g xfxx在), 0( 上为减函数，因 为 函 数 212g xfxx为 奇 函 数 且 在R上 存 在 导 数 ， 所 以 函 数 212g xfxx在R上为减函数，所以， 221144422gmg mfmmf mm 484fmf mm0所以， 442gmg mmmm所以，实数m的取值范围为), 2 故选 B.【练 1】若)(xf的定义域为R，2)( xf恒成立，2) 1(f，则42)(xxf解集为（）A( 1,1)B( 1)，

22、C(, 1) D(,) 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【练 2】 设)(xf是定义在 R 上的奇函数， 且0)2(f,当 x0 时， 有2( )( )0 xfxf xx恒成立，则不等式2( )0 x f x 的解集是 （）A.(2,0) (2,+)B.(2,0) (0,2)C.(,2)(2,+)D.(,2)(0,2)【练 3】已知实数, , ,a b c d满足1112dcbeaa其中e是自然对数的底数，则22()()acbd的最小值为（）A4B8C12D18【练 4】设奇函数( )f x定义在(,0)(0, )U上，其导函数为( )fx，且()02f，0 x，( )sin( )c

23、os0fxxf xx,则关于x的不等式( )2 ()sin6f xfx的解集为【解析 1】设( )( )24F xf xx，则( )( )2F xfx，因为2)( xf恒成立，所以( )( )20F xfx，即函数( )F x在 R 上单调递增因为( 1)2f ，所以( 1)( 1)2( 1)4Ff2240 所 以 有( )( )240F xf xx， 即( )( )24( 1)F xf xxF所以1x ，即不等式的解集是( 1)，故选 B【解析 2】不等式的解集就是 0 xf的解集，由2( )( )0 xfxf xx恒成立得， 0 xxf, 函 数 xxf为 单 调 递 减 函 数 ，0)2

24、(f，当0 x时 ，20 x, 0 xf,2x时， 0 xf,根据奇函数，知，当0 x时，2x时， 0 xf，故选 D【解析 3】实数dcba,满足1112dcbeaa，aeab2，cd 2因此点ba,在曲线xexy2上，点dc,在曲线xy 2上，22dbca的几何意义就是曲线xexy2到直线xy 2上点的距离最小值的平方，求曲线精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业xexy2平行于直线xy 2的切线，xey21，令121xey，得0 x，因此切点2, 0 ，切点到直线xy 2的距离2211220d，就是两曲线的最小距离，22dbca的最小值82d【解析 4】令 sinf xg xx.因为

25、 f x在(,0)(0, )U上为奇函数,所以可得 sinsinsinfxfxfxgxg xxxx.即在(,0)(0, )U上函数 g x为偶函数. 2sincossinfxxf xxgxx,当0 x时( )sin( )cos0fxxf xx,所以当0 x时, 2sincos0sinfxxf xxgxx.即在0,上函数 g x单调递增.因为偶函数图像关于y轴对称,所以在,0上函数 g x单调递减.将( )2 ()sin6f xfx变形可得 6sinsin6ff xx,即 6g xg.根据 g x的单调性及奇偶性可得66x且0 x .即所求解集为(,0)(, )66.精选优质文档-倾情为你奉上专

26、心-专注-专业考向五：导数实际应用题【例】用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接成水箱问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？【解析】设水箱底边长为cmx，则水箱高为60(cm)2xh 水箱容积3223( )60(0120)(cm )2xVV xx hxx23( )1202V xxx令( )0V x，得0 x （舍）或80 x 当x在(0120)，内变化时，导数( )Vx的正负如下表：x(0 80)，80(80120)，( )Vx0因此在80 x 处，函数( )V x取得极大值，并且这个极大值就是函数( )V x

27、的最大值将80 x 代入( )V x，得最大容积323808060128000(cm )2V 【练 1】一火车每小时煤消耗的费用与火车行驶的速度之立方成正比，已知当速度为每小时20千米时，每小时消耗煤之价格为40元，其他费用每小时要200元，问火车行驶的速度如何时，才能使火车从甲城开往乙城的费用最少。 （已知火车的最高速度为每小时100千米）【练 2】某隧道长 2150 米，通过隧道的车速不能超过 20 米/秒一个由 55 辆车身都为10 米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道设车队的速度为 x 米/秒，根据安全和车流的需要，相邻两车均保持21()63axx米的距离，其中 a 为常数且112

28、a，自第一辆车车头进入隧道至第 55 辆车车尾离开隧道所用时间为 y(秒) （1）将 y 表示为 x 的函数； （2）求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【解析 1】设甲、乙之间的距离为a千米，每小时消耗的煤的费用与火车行驶的速度之间 的 比 例 系 数 为k， 火 车 行 驶 速 度 为x千 米 / 小 时 ， 总 费 用 为y元 。 则32200200aykxa kxxx。 由 题 意 得 ：34020k， 1200k ， 21200200yaxx(0100)x， 令( )0fx 得310 20 x ， 经 检 验 ， 当310 20 x 时

29、函数取极小值3233(10 20)202fa。又3233(100)52(10 20)202fafa，当310 20 x 时函数取最小值，车行的速度为310 20千米/小时，火车从甲城到乙城的费用最省。【解析 2】 （1）y =2121501055()(551)63axxx=27001918. (020,1)2axxax（2）当314a时，y27002918180 318axax当且仅当27009axx，即 x =300a时取等号即当 x =300a时，min180 318ya当1324a时，2270090yax ，故 y = f (x)在(0，20上是减函数，故当 x = 20 时，min27

30、001801820ya=153 + 180a精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业含参导数讨论单调区间【例】已知1( )2(2)lnf xaxaxx（Ra） ，讨论)(xf的单调区间【解析】222/) 12)(1(1)2(2)(xxaxxxaaxxf）上单减，）上单增，（，在（21210)(, 0 xfa2/) 12()(, 0 xxxfa， f x在10,2上单增，在1,2上单减02a， f x在10,2和1,a上单增，在1 1,2 a上单减2a ， f x在0,上单增2a ， f x在10,a和1,2上单增，在1 1,2a单减【例】设0a，讨论函数xaxaaxxf)1 (2)1 (ln

31、)(2的单调区间【解析】【例】 (1)讨论函数xx2f(x)x2e的单调性， 并证明当0 x 时，(2)20 xxex；(2)证明：当0,1)a时，函数2x =(0)xeaxagxx（ ）有最小值.设( )g x的最小值为( )h a，求函数( )h a的值域精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【解析】证明： 2e2xxf xx 22224ee222xxxxfxxxx当x22,，时， 0fx f x在22,，和上单调递增0 x 时， 2e0 =12xxfx2 e20 xxx 24e2exxa xxaxagxx4e2e2xxx xaxax322e2xxxaxx01a，由(1)知，当0 x

32、时， 2e2xxf xx的值域为1，只有一解使得2e2ttat ，02t，当(0, )xt时( )0g x，( )g x单调减；当( ,)xt时( )0g x，( )g x单调增 222e1ee1e22tttttta tth attt记 e2tk tt， 在0, 2t时 ， 2e102ttk tt， k t单 调 递 增 21e24h ak t，【练 1】已知3a ，函数 F（x）=min2|x1|，x22ax+4a2，其中 minp，q=,ppqq pq.，（1）求使得等式 F（x）=x22ax+4a2 成立的 x 的取值范围；（2）（i）求 F（x）的最小值 m（a）；（ii）求 F（x）

33、在区间0,6上的最大值 M（a）.【练 2】已知函数)0(ln)2()(2axxaaxxf， 讨论( )f x的单调性【练 3】设1a，集合0|xRxA，6)1 (32|2axaxRxB，BAD（1）求集合D（用区间表示）（2）求函数axxaxxf6)1 (32)(23在 D 内的极值点精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【练 4】设函数( )cos2(1)(cos1)f xaxax，其中0a ，记|( )|f x的最大值为A（1）求( )fx；（2）求A；（3）证明|( )| 2fxA【解析 1】（2）（i）设函数 21f xx， 2242g xxaxa，则 min10f xf， 2m

34、in42g xg aaa ，所以，由 F x的定义知 min1 ,m afg a，即 20,32242,22am aaaa（ii）当02x时， Fmax0 ,22F 2xf xff，当26x时， Fmax2 ,6max 2,348max F 2 ,F 6xg xgga所以， 348 ,342,4aaaa【解析 2】212(2)1( )2(2)axa xfxaxaxx=(1)(21)axxx当1122 aa时，( )f x的增区间为1 1(, )2a，减区间为110,+ )2（ ，） （ ，a当11=22aa时，( )f x在+（0， ）单减当11022 aa时，( )f x的增区间为11( ,

35、)2a，减区间为110,+ )2（ ，） （，a,综上，2a时，( )f x的增区间为1 1(, )2a，减区间为110,+ )2（ ，） （ ，a；精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2a时，( )f x在+（0， ）单减；2a时，( )f x的增区间为11( ,)2a，减区间为110,+ )2（ ，） （，a；【解析 3】【解析 4】（1）( )2 sin2(1)sinfxaxax （2）当1a 时，|( )| |sin2(1)(cos1)|fxaxax2(1)aa32a(0)f因此，32Aa当01a时，将( )f x变形为2( )2 cos(1)cos1f xaxax令2( )2(

36、1)1g tatat，则A是|( )|g t在 1,1上的最大值，( 1)ga，(1)32ga， 且 当14ata时 ，( )g t取 得 极 小 值 ， 极 小 值 为精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业221(1)61()1488aaaagaaa 令1114aa ，解得13a （舍去），15a 恒成立问题直接讨论【例】已知函数 f(x)x33|xa|(aR)(1)若 f(x)在1，1上的最大值和最小值分别记为 M(a)，m(a)，求 M(a)m(a)；(2)设 bR，若f(x)b24 对 x1，1恒成立，求 3ab 的取值范围【解析】(1)因为 f(x)x33x3a，xa，x33x3

37、a，xa，所以 f(x)3x23，xa，3x23，xa.由于1x1，(i)当 a1 时，有 xa，故 f(x)x33x3a，此时 f(x)在(1，1)上是增函数，因此，M(a)f(1)43a，m(a)f(1)43a，故 M(a)m(a)(43a)(43a)8.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(ii)当1a1 时，若 x(a，1)，则 f(x)x33x3a.在(a，1)上是增函数；若 x(1，a)，则 f(x)x33x3a 在(1，a)上是减函数所以，M(a)maxf(1)，f(1)，m(a)f(a)a3.由于 f(1)f(1)6a2，因此，当1a13时，M(a)m(a)a33a4；当

38、13a1 时，M(a)m(a)a33a2.(iii)当 a1 时，有 xa，故 f(x)x33x3a，此时 f(x)在(1，1)上是减函数，因此，M(a)f(1)23a，m(a)f(1)23a，故 M(a)m(a)(23a)(23a)4.综上，M(a)m(a)8，a1，a33a4，1a13，a33a2，13a1，4，a1.(2)令 h(x)f(x)b，则 h(x)x33x3ab，xa，x33x3ab，xa，3x23，xa.因为f(x)b24 对 x1，1恒成立，即2h(x)2 对 x1，1恒成立，所以由(1)知，(i)当 a1 时，h(x)在(1，1)上是增函数，h(x)在1，1上的最大值是

39、h(1)43ab，最小值是 h(1)43ab，则43ab2 且 43ab2，矛盾(ii)当10，t(a)在0，13 上是增函数，故 t(a)t(0)2，因此23ab0.(iii)当13a1 时，h(x)在1，1上的最小值是 h(a)a3b，最大值是 h(1)3ab2，所以 a3b2 且 3ab22，解得28273ab0；(iv)当 a1 时，h(x)在1，1上的最大值是 h(1)23ab，最小值是 h(1)23ab，所以 3ab22 且 3ab22，解得 3ab0.综上，得 3ab 的取值范围是23ab0.【例】设函数( )ln1f xxx（1）讨论( )f x的单调性；（2）证明当(1,)x

40、时，11lnxxx；（3）设1c ，证明当(0,1)x时，1 (1)xcxc.【解析】（1） 由题设，( )f x的定义域为(0,)，1( )1fxx， 令( )0fx ， 解得1x .当01x时，( )0fx ，( )f x单调递增；当1x 时，( )0fx ，( )f x单调递减.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业参变分离【 例 】 已 知 函 数), 0)(2()(),1ln()(2Raaxxaxgxxf， 若 对)()(, 3xgxfx成立，求实数a的取值范围【解析】22)1ln(, 3xxxax，22)1ln(xxxxm）（令2222/)2)(1()1ln()1 (22xxx

41、xxxxxm）（，)1ln()1 (2222xxxxxn）（令则0)0(, 0)1ln(4/nxxxn且）（，故0)(, 0)(/xmxn），在（3)(xm上单增，因此)2ln32,(, 2ln32)3(ama即【练 1】已知函数2( )ln (0)f xaxxxx a.（1）若函数满足(1) 2f,且在定义域内2( )2f xbxx恒成立，求实数 b 的取值范围；（2）若函数( )f x在定义域上是单调函数，求实数 a 的取值范围；精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【解析 1】 （1）xxxxxfafln)(, 1, 2) 1 (2由题bxxxln11，令xxxxgln11)(，可得

42、)(xg在1 , 0上递减，在, 1上递增，所以0) 1 ()(min gxg，即0b（2）)0( ,ln2)(xxaxxfxxaxfln2, 0)(得令，xxxhln)(设，时当ex exh1)(maxea21当时，函数)(xf在), 0( 单调递增ea210若，xaxgxxaxxg12)(),0( ,ln2)(axxg21, 0)(，0)(),21(, 0)(),21, 0(/xgaxxgaxax21时取得极小值即最小值，时而当ea210021ln1)21(aag，必有根0)(/xf，)(xf必有极值，在定义域上不单调.ea21【练 2】设函数 ln ,212.f xx g xaxf x若

43、对任意 10,02xg x恒成立，求实数a的最小值；【解析 2】由题：212ln0axx，在102x，时恒成立，即212lnaxx在区间102，上恒成立，又10 x，2ln21xax在区间102，上恒成立精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业设2ln( )21xh xx，102x，222212ln22ln( )11xxxxxh xxx又令 21-22ln0,2m xxxx，则 222222xmxxxx =当102x，时， 0,mxm x单调递减， 1422ln222ln202m xm，即 0hx 在区间102，恒成立，所 以 h x在 区 间102，单 调 递 增 ， 12ln12224l

44、n2122h xh， 故24ln2a 【例】不能参变分离【例】已知函数( )lnln , ( ),xf xxa g xae其中a为常数，函数( )yf x和( )yg x的图象在它们与坐标轴交点的切线互相平行（1）求a的值； （2）求函数( )( )(1)F xf xg x的单调区间；（3）若不等式( )(1) (1)0 xf xk xf g x在区间1,)上恒成立，求实数k的取值范围精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【解析】（1）( )f x与坐标轴交点为( ,0)a，1( )faa，( )g x与坐标轴交点为(0, )a，(0)ga1aa解得1a ，又0a ，故1a （2）由（1）

45、知( )ln , ( )xf xx g xe，1( )ln,(0,)xF xxex1111( )xxxeF xexx令1( )1xh xxe ，显然函数( )h x在区间(0,)上单调递减，且(1)0h当(0,1)x时，( )0h x ，( )0F x，( )F x在(0,1)上单调递增当(1,)x时，( )0h x ，( )0F x，( )F x在(1,)上单调递减故( )F x的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)（2）原不等式等价于：2ln(1)0 xxk x在区间1,)上恒成立设2( )ln(1)(1)xxxk xx则( )ln12xxkx 令( )( )ln12(1)u

46、xxxkx x 112( )2ku xkxx0k 时，( )0,( )u xx在区间1,)上单调递增，( )(1)120 xk ( )x在1,)上单调递增，( )(1)0 x不符合题意，舍去当102k时，若1(1,),( )02xu xk则( )x在1(1,)2k上单调递增，( )(1)120 xk ( )x在1,)上单调递增，( )(1)0 x不符合题意，舍去当12k 时，( )0u x在1,)恒成立，( )x在1,)上单调递减( )(1)120 xk ( )x在1,)上单调递减( )(1)0 x即2ln(1)0 xxk x对x1,)恒成立，综上所述，实数k的取值范围是1 ,)2精选优质文档

47、-倾情为你奉上专心-专注-专业两者均可【例】己知函数21( )ln,2f xxaxx aR，若关于 x 的不等式( )1f xax恒成立，求整数 a 的最小值:【解析】方法一：令21( )( )1)ln(1)12g xf xaxxaxa x-(，所以21(1)1( )(1)axa xg xaxaxx当0a时，因为0 x ，所以( )0g x所以( )g x在(0,)上是递增函数，又因为213(1)ln11(1) 12022gaaa ，所以关于x的不等式( )1f xax不能恒成立当0a 时，21()(1)(1)1( )a xxaxa xag xxx ，令( )0g x， 得1xa所以当1(0,

48、 )xa时，( )0g x；当1( ,)xa时，( )0g x，因此函数( )g x在1(0, )xa是增函数，在1( ,)xa是减函数故函数( )g x的最大值为2111111( )ln( )(1)1ln22gaaaaaaaa 令1( )ln2h aaa， 因 为1(1)02h，1(2)ln204h， 又 因 为( )h a在(0,)a是减函数所以当2a时，( )0h a 所以整数a的最小值为 2方法二：由( )1f xax恒成立，得21ln12xaxxax在(0,)上恒成立，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业问题等价于2ln112xxaxx在(0,)上恒成立令2ln1( )12xx

49、g xxx，只 要max( )ag x 因 为221(1)(ln )2( )1()2xxxg xxx， 令( )0g x， 得1ln02xx 设1( )ln2h xxx ， 因为11( )02h xx ， 所以( )h x在(0,)上单调递减，不妨设1ln02xx的根为0 x当0(0,)xx时，( )0g x；当0(,)xx时，( )0g x，所以( )g x在0(0,)xx上是增函数；在0(,)xx上是减函数所以000max020000011ln112( )()11(1)22xxxg xg xxxxxx因为11( )ln2024h，1(1)02h 所 以0112x， 此 时0112x， 即m

50、ax( )(1,2)g x所以2a，即整数a的最小值为 2任意存在问题：常见类型（1 1），使得使得，等价于函数等价于函数在在上的值域上的值域与与函数函数在在上的值域上的值域的交集不空，即的交集不空，即.（2 2）对对，使得使得，等价于函数等价于函数在在上的值域上的值域是函数是函数在在上的值域上的值域的子集，即的子集，即. .（3 3） 已知已知是在闭区间是在闭区间的上连续函的上连续函， 则对则对使得使得，等价于等价于（4 4）若对）若对，使，使，等价于，等价于在在上的最小值不上的最小值不小于小于在在上的最小值即上的最小值即minmin)()(xgxf（这里假设（这里假设存在）存在）精选优质文

51、档-倾情为你奉上专心-专注-专业【例】 已知函数21( )ln2f xxax（aR） ，2( )24g xxmx（mR） 当1a 时，若对任意的11,2x ，存在21,2x ，使得12()()f xg x，求实数m的取值范围【解析】由题1,2x时，minmin( )( )f xg x1a 时，/1(1)(1)( )0 xxfxxxx( )f x在1,2x为增函数，min1( )(1)2f xf，222( )24()4g xxmxxmm当1m时，( )g x在区间1,2上递增，所以min1( )(1)522g xgm，由1522m解得94m ，舍去；当12m时，2min1( )( )42g xg

52、 mm，解得142m 或142m ，1422m；当2m时，( )g x在区间1,2上递减，所以min1( )(2)842g xgm，由1842m解得158m ，2m.综上，142m 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【例【例】已知函数，当时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.【解析】【解析】依题意在上的最小值不小于在上的最小值即，于是问题转化为最值问题.当时，所以，则当时，;当时，所以当时，.，当时，可求得，由得这与矛盾.当时，可求得，由得这与矛盾.当时，可求得，由得.综合得实数的取值范围是.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【练 1】已知函数和函数， 若存在， 使得成立，

53、求实数的取值范围【解析 1】设函数与在上的值域分别为与，依题意.当时，则，所以在上单调递增，所以即.当时， 所以单调递， 所以即.综上所述在上的值域.当时，又，所以在在上单调递增，所以即，故在上的值域.因为，所以或解得精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【练 2】已知，它们的定义域都是，其中是自然对数的底数，.当，且，函数，若对任意的，总存在，使，求实数的取值范围.【解析 2】 依题实数的取值范围就是使得在区间上的值域是的值域的子集实数的取值范围.当时， 由得，故在上 单 调 递 减 ， 所 以即， 于 是.因，由得.当时，故在上单调递增，所以即，于是.因为，则当且仅当，即.当时，同上可

54、求得.综上，实数的取值范围是.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【练 3】已知，其中，若对任意的都有成立，求实数的取值范围.【解析 3】 对， 有， 等价于有.当时，所 以在上单 调递 增， 所以.因为， 令得，又且，. 当时 ， 所 以在 在上 单 调 递 增 ， 所 以.令得这与矛盾。当时，当时，当时，所以在上单调递减在上单调递增，所以.令得，又，所以。 当时 ， 所 以在上 单 调 递 减 ， 所 以.令得，又，所以。综合得所求实数的取值范围是精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业零点问题参变分离【例】已知函数mxxxg2ln2)(在1ee,上有两个零点，求实数m的取值范围。

55、【解析】 由题xxmln22， 令xxxhln2)(2， 由xxxxh) 1)(1(2)(/， 故)(xh在单增，单减，（1) 1 ,1e，故)2, 2122eem【练】设函数( )ln,mf xxmRx讨论函数( )( )3xg xfx零点的个数；【解析】函数21( )( )(0)33xmxg xfxxxx令( )0g x ，得31(0)3mxx x 设31( )(0)3xxx x 2( )1(1)(1)xxxx 当(0,1)x时，( )0 x，此时( )x在(0,1)上单调递增；当(1,)x时，( )0 x，此时( )x在(1,)上单调递减；所以1x 是( )x的唯一极值点，且是极大值点，

56、因此 x=1 也是( )x的最大值点，( )x的最大值为12(1)133 又(0)0，结合 y=( )x的图像（如图） ，可知精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业当23m 时，函数( )g x无零点；当23m 时，函数( )g x有且仅有一个零点；203m时，函数( )g x有两个零点；0m时，函数( )g x有且只有一个零点；综上所述，当23m 时，函数( )g x无零点；当23m 或0m时，函数( )g x有且仅有一个零点；当203m时，函数( )g x有两个零点零点存在定理【例】已知函数)()(2Rmemxmxgmx，当0m时，若函数)(xg存在cba,三个零点，且cba，求证：c

57、eba01【解析】精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【练】已知函数1( )ln()f xaxaRx当0a 时，讨论函数( )yf x零点的个数【解析】21( )axfxx令( )0fx，得1xa所以min1( )= ( )f xfa=1ln(1 ln )aaaaa（）当0ae时，min( )0f x，所以( )f x在定义域内无零点；（）当ae时，min( )0f x，所以( )f x在定义域内有唯一的零点；（）当ae时，min( )0f x，因为(1)10f ，所以( )f x在增区间1(,)a内有唯一零点；21()(2ln )fa aaa，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业

58、设( )2lnh aaa，则2( )1h aa ，因为ae，所以( )0h a，即( )h a在( ,)e 上单调递增，所以( )( )0h ah e，即21()0fa，所以( )f x在减区间1(0,)a内有唯一的零点所以ae时( )f x在定义域内有两个零点综上所述：当0ae时，( )f x在定义域内无零点；当ae时，( )f x在定义域内有唯一的零点；当ae时，( )f x在定义域内有两个零点【例】已知函数 22 e1xfxxa x(1)讨论 fx的单调性；(2)若 fx有两个零点,求a的取值范围.【解析】精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 若2ea , 则21lna, 故 当,

59、1ln2,xa 时 , 0fx , 当1,ln2xa时, 0fx ,所以 f x在,1 , ln2,a单调递增,在1,ln2a单调递减.(II)(i)设0a ,则由(I)知, f x在,1单调递减,在1,单调递增.又 12fefa ，,取 b 满足 b0 且ln22ba,则 23321022af bba ba bb,所以 f x有两个零点.(ii)设 a=0,则 2xf xxe所以 f x有一个零点.(iii)设 a0,若2ea ,则由(I)知, f x在1,单调递增.又当1x 时, f x0,故 f x不存在两个零点；若2ea ,则由(I)知, f x在1,ln2a单调递减,在ln2,a单调

60、递增.又当1x 时 f x0,故 f x不存在两个零点.综上,a 的取值范围为0,.特殊类【例】已知函数.（1）设 a=2,b=.求方程=2 的根;若对任意,不等式恒成立，求实数 m 的最大值；（2）若，函数有且只有 1 个零点，求 ab 的值.【解析】【解析】（1）因为，所以.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业方程，即，亦即，所以，于是，解得.由条件知.因为对于恒成立，且，所以对于恒成立.而，且，所以，故实数的最大值为 4.（2）因为函数只有 1 个零点，而，所以 0 是函数的唯一零点.因为，又由知，所以有唯一解.令，则，从而对任意，所以是上的单调增函数，于是当，；当时，.因而函数在