《高等代数》与《解析几何》合并教学的探讨

1、高等代数高等代数与与解析几何解析几何合并教学的探讨合并教学的探讨 潘潘 佳佳 庆庆集美大学理学院 厦门 集美 361021 一一 简要的回顾简要的回顾 公元前3000年左右,希腊人尚未出场。那时的尼罗河和两河流域, 出现了早期的几何与代数的萌芽。 公元前600-400年, 在希腊文明的照耀下, 众多的数学、哲学学派的共同, 催生了Euclid几何原本的问世。它是几何学成为完整的思想体系的标志, 也是数学成为独立学科的标志。而代数作为一门学问, 至少可以上溯至公元八或九世纪的阿拉伯时代。 自希腊数学的出现以来, 几何与代数相辅相成、共生共长。虽然许多的数学家、哲学家对几何与代数熟轻熟重各持己见,

2、 但是, 这些争论和思考有力地推动了几何与代数的共同发展。 到17世纪, 代数学站稳了脚跟; 微积分学的出现, 方使代数最终居于几何之上（6第一卷，p.329）。 对于微积分, 先驱者Nowton和Leibniz分别站在几何和代数的立场上而持有不同的观点。Newton认为, 微积分是研究机械和力学的工具, 从几何的角度思考质点在空间中的运动轨迹; Leibniz则用算子的观点, 把微积分看作是代数运算的程序。 尽管观点不同, 但是关于几何与代数的思想却统一在微积 学之中。但是他们的思想都非常有力地推动了微分方程的发展。显然, 几何与代数相结合的思想是微积分学巨大生命力的主要源泉。 这种观点上的

3、差异仍然持续到上世纪初对微分方程的看法。Poincare坚持用几何的观点看待方程,强调方程解的轨迹; 而Hillbert则继承了Leibniz的精神, 力图使之公理化、代数化、公式化。 此外，几何与代数结合的思想与方法还在泛函分析等数学的其他学科中得到了充分的体现。 此外，几何与代数结合的思想与方法还在泛函分析等数学的其他学科中得到了充分的体现。 或许, 正是继承了先驱们的精神, 在上世纪50年代, 华罗庚先生在中国科学技术大学数学系实行了改革。他们试图将数学分析、高等代数和解析几何这三门主干基础课合并为一门课, 采用“一体化”的教学模式, 并编写了高等数学引论的讲义。 近代, 代数与几何一体

4、化教学的做法得到了陈省身先生等人的倡导。目前国内已经出版了相关教材, 并且有些学校已经进行这两门课程合并教学的尝试。 二二 两课的关系两课的关系 代数为几何提供研究的理论、方法、工具;几何为代数提供直观背景。 例如，空间直线和平面都由线性方程组表示; 二次曲面的分类就是二次型的标准形问题。 建立坐标系后，空间中的点与坐标建立对应，从而空间中的曲线与曲面作为点的轨迹与它的方程相联系。这样，就将点的轨迹的几何性质“翻译”成代数方程, 从而运用代数工具进行研究。 几何中有很多概念和方法都是从代数角度来定义和刻画的。比如, 几何中向量的共线、共面是用线性运算的线性相关性来刻画的；几何中的向量的外积、混

5、合积也是通过行列式来表述的。 反之，代数具有高度的抽象性和应用的广泛性。 将代数的向量空间和内积空间的一般性理论应用到二维矢量空间和三维矢量空间中，相应地就得到了平面解析几何和空间解析几何的理论。 另外，代数将几何抽象化, 代数的许多理论又可以由几何的直观模型解释。 此外，代数的许多概念和方法都有很强的几何背景。比如，代数的变换理论中的线性变换、正交变换、仿射变换等都是直接产生于几何的，行列式、向量、正交等概念都有明显的几何意义。 三合并教学的必要性与可行性三合并教学的必要性与可行性 减少重复，节约课时，深化内容。 （1） 节约课时；消除代数的抽象感。两门课内容有叠部分：如向量空间、向量及其线

6、性运算、线性相关、欧氏空间、内积、向量的坐标、坐标变换、线性变换、特征方程、特征根、正交变换等。 利用几何为代数提供直观的背景来发展学生的想象能力, 可以打破代数的抽象性; 同样, 应用代数处理几何问题, 可以使学生感受到代数应用的广泛性; 学生对于代数与几何的理解更加深刻。代数和几何在教法上又有互补性。 （2）实际应用背景 在现代工程技术的许多领域里, 计算机图形显示了强大的威力, 几何问题代数化处理；代数问题可视化处理。代数与几何的结合方法在工程技术中应用已相当地广泛和深入。 这些实际问题也促使我们把代数与几何更加紧密地结合在一起。 (3)有利于师资队伍的成长。 两课合并教学对教师(特别是

7、年轻教师) 的成长能够起到良好的促进作用。专业理论水平、教学水平及运用现代信息技术的手段都将有很大的提高 。 四对合并的具体建议四对合并的具体建议 1. 根据培养方向选择教材 孟道骥：高等代数与解析几何；陈志杰：高等代数和与解析几何等。 建议: 第一步 根据具体情况选择内容适当的教材,并有 所取舍；第二步 在教改的实践过程中,根据培养目标，编 写适合本校的培养目标实际情况的教材。 2. 内容的选择与编排的次序教学内容以代数为主线。把行列式、线性空间、欧氏空间、方程组等放在前面, 以便充分利用代数工具解决几何问题。学生刚开始接触行列式，线性空间这些抽象内容时，可能感到很深奥，难理解。但引入几何的

8、内容与相关问题时，把代数与几何结合起来，学生就会感到具体多了。对几何来说，由于有了代数知识的准备，学生面对具体的几何问题时便不会觉得有太大的困难。 以代数为主线，不但没有削弱几何的内容，反而增加了几何较难讲的内容仿射几何及二次曲面的一般理论。 3. 重视代数与几何的交互应用 （1）找准代数与几何在知识上的切合点。 不但使整体的教学内容安排合理，而且各章节的知识衔接应符合逻辑，顺理成章。如果只是把代数与几何的内容印在一起，看上去好像是一本书，而实际上油水分离，生搬硬套。如果那样做，则不但教材的使用效果差，而且产生于教学之外的影响更差：有赶时髦的嫌疑。 （2）要培养学生用代数的眼光审视几何问题，用

9、几何的眼光审视代数问题。 虽然并不是每个几何问题都可转化为代数问题，也不是每个代数问题都可转化为几何问题，但是养成这样的习惯对于培养学生的创造性思维有重要的意义。 （3）不能过度压缩总学时。 （4）可以使用多媒体辅助教学。 但是，只能“辅助”，不可滥用。否则，不但学生来不及思考，而且教师的思维品质、思考过程、语言风格等人文精神就全部被多媒体淹没了。 参参 考考 文文 献献 1 Michael Atiyah, Mathematics in the 20th Century, Advanced in MathematicsJ,2004,Vol.33, No.1, 26-40 2 戴清平,李 超,谢端强, 高等代数与解析几何一体化教学思考 J，数学理论与应用，2004(4),92-94 3 侯维民，关于代数学研究问题的基本方法，数学教育学报 J，1999(2),94-97 4 宋玉梅, 杨