北科大信息工程学院自动化

1、北科大 信息工程学院 自动化12022-3-7采样控制系统采样控制系统（Sampled-Data Control Systems）Linear Discrete-Time Control Systems北科大 信息工程学院 自动化22022-3-7北科大 信息工程学院 自动化32022-3-7n自动控制系统按信号形式划分可分为以自动控制系统按信号形式划分可分为以下三种类型：下三种类型：连续控制系统，见图（连续控制系统，见图（a a）采样控制系统，见图（采样控制系统，见图（b b）数字控制系统，见图（数字控制系统，见图（c c）图（图（a a）北科大 信息工程学院 自动化42022-3-7图（图

2、（c c）图（图（b b）北科大 信息工程学院 自动化52022-3-7n采样系统的特点采样系统的特点在连续系统中的一处或几处设置采样开关，在连续系统中的一处或几处设置采样开关，对被控对象进行断续控制；对被控对象进行断续控制；通常采样周期远小于被控对象的时间常；通常采样周期远小于被控对象的时间常；采样开关合上的时间远小于断开的时间；采样开关合上的时间远小于断开的时间； 采样周期通常是相同的。采样周期通常是相同的。北科大 信息工程学院 自动化62022-3-78 8.1 .1 采样控制采样控制一个典型的采样控制系统如图：e是连续的误差信号，经采样开关后，变成一组脉冲序列脉冲序列 ，脉冲控制器对

3、进行某种运算，产生控制信号脉冲序列 ，保持器将采样信号 变成模拟信号 u ，作用于被控对象 。e*e*u*u*)(SG图图8-1 采样控制系统采样控制系统北科大 信息工程学院 自动化72022-3-7模拟信号模拟信号在时间上连续，且在幅值上连续（导数连续）的在时间上连续，且在幅值上连续（导数连续）的信号。信号。采样信号采样信号又称离散信号，按一定的时间间隔对模拟信号进又称离散信号，按一定的时间间隔对模拟信号进行采样得到的在时间上离散的一系列脉冲。行采样得到的在时间上离散的一系列脉冲。采样控制系统和连续控制系统的区别：采样控制系统和连续控制系统的区别：在连续系统中，各处的在连续系统中，各处的信号

4、都是模拟信号；在采样系统中，一处或数处的信号是采样信号都是模拟信号；在采样系统中，一处或数处的信号是采样信号。信号。采样系统的特性采样系统的特性采样过程和采样信号保持采样过程和采样信号保持采样系统和连续系统的共性采样系统和连续系统的共性（1 1）闭环控制；（）闭环控制；（2 2）需分析）需分析稳定性、暂态性能和稳态性能；（稳定性、暂态性能和稳态性能；（3 3）需进行校正。）需进行校正。北科大 信息工程学院 自动化82022-3-78 8.2 .2 采样过程和采样定理采样过程和采样定理一、采样过程一、采样过程二、采样过程的数学表达式二、采样过程的数学表达式北科大 信息工程学院 自动化92022-

5、3-7一、采样过程一、采样过程 按一定的时间间隔对连续信号采样，将连续信号转换为脉按一定的时间间隔对连续信号采样，将连续信号转换为脉冲序列的过程，称为采样过程。采样开关是用来实现采样过程冲序列的过程，称为采样过程。采样开关是用来实现采样过程的装置。的装置。 采样开关按周期采样开关按周期T闭合，闭合，T称为采样周期。每次闭合时间称为采样周期。每次闭合时间为为 ，由于在实际中总有，由于在实际中总有 ，且，且 远小于远小于 中的中的时间常数，可近似认为时间常数，可近似认为 。)(SGT0北科大 信息工程学院 自动化102022-3-7采样过程可用图表示采样过程可用图表示采样信号采样信号 是是 和和

6、的乘积，其中载波的乘积，其中载波信号信号 决定采样时刻，决定采样时刻，它是周期为它是周期为T T的单位脉冲序列，的单位脉冲序列，采样信号在采样信号在nT(n=0,1,2nT(n=0,1,2) )时时刻的值由刻的值由 决定。决定。)(te)(*te)(t)(t)(te载波器载波器脉冲调制器脉冲调制器 te* te t 载波信号载波信号 te* teT图图2-2 采样过程示意图采样过程示意图北科大 信息工程学院 自动化112022-3-7 经采样得到的离散信号 有可能无失真地恢复到原来的连续信号的条件是单位脉冲序列采样信号为采样信号的拉氏变换二、采样过程的数学表达式二、采样过程的数学表达式三、采样

7、定理三、采样定理0)(nnTtt）（00*)()()()()()(nnnTtnTenTttettete）（0*)()()(nnTS*enTeteLsE）（ tx*其中采样定理给出了选择采样定理给出了选择采样周期采样周期T的依据。的依据。max2sTss2:采样角频率，频谱的上限频率。连续信号)(:maxtx北科大 信息工程学院 自动化122022-3-7因为因为 是周期函数，因此，可将其展开成是周期函数，因此，可将其展开成傅里叶级数。傅里叶级数。0()ktkTkktjkkseCkTt)(式中式中 称为系统的采样频率。称为系统的采样频率。 2sTdtetTCTTtjkks22)(1001)(1T

8、dttT北科大 信息工程学院 自动化132022-3-7将上述式子代入式将上述式子代入式 有有: : ktjkseteTte)(1)(*对上式取拉氏变换，运用拉氏变换的复位移定理，对上式取拉氏变换，运用拉氏变换的复位移定理，我们得到我们得到 E E* *(s):(s): ksjksETsE)(1*上式在描述采样过程的复频域特征是极其重要的。上式在描述采样过程的复频域特征是极其重要的。一般连续信号一般连续信号e e（t t）的频谱是单一的连续频谱，如）的频谱是单一的连续频谱，如图图2-32-3所示。所示。 *( ) ()kete ttkT北科大 信息工程学院 自动化142022-3-7 图图8

9、8-3(a)-3(a) 连续信号连续信号e e（t t）的频谱）的频谱maxmax2s2sss*()Ej1T0maxmaxE j0图图8 8-3(b)-3(b)离散信号离散信号 的频谱的频谱 max2s te*北科大 信息工程学院 自动化152022-3-7 为了使信号得到很好的复现，采样频率应大为了使信号得到很好的复现，采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍，即于等于原始信号最大频率的二倍，即max2sn香农（香农（Shannon）采样定理）采样定理北科大 信息工程学院 自动化162022-3-7设设e(t)=1(t)e(t)=1(t)，试求，试求e e* *(t)(t)的拉氏变换。的拉氏

10、变换。解：解：由由 *0()nTskEse nt e *211,11TSTSTSTSEseeee例例8-1得得北科大 信息工程学院 自动化172022-3-7C. Shannon(1916-2001)C. Shannon(1916-2001)，毕业于，毕业于麻省理工学院数学系，贝尔实验室麻省理工学院数学系，贝尔实验室研究员及麻省理工学院电机系教授。研究员及麻省理工学院电机系教授。早市曾跟随早市曾跟随 V. Bush V. Bush 参与模拟计参与模拟计算机的研究并提出续电器路逻辑自算机的研究并提出续电器路逻辑自动化理动化理(1938)(1938)。二战期间在参加。二战期间在参加Bode Bod

11、e 领导的火炮控制系统研究过领导的火炮控制系统研究过程中发表了著名程中发表了著名通信的数字理通信的数字理论论，从而奠定了信息的基础，从而奠定了信息的基础(1948)(1948)，被誉为信息论之父。，被誉为信息论之父。19561956年回到年回到MITMIT任职电子工程系教授。任职电子工程系教授。北科大 信息工程学院 自动化182022-3-7理想滤波器的滤波特性为理想滤波器的滤波特性为 ：)(jG102/s2/s其频率特性如图其频率特性如图8 8-4-4()G j2s2s 图图8 8-4 -4 理想滤波器的频率特性理想滤波器的频率特性北科大 信息工程学院 自动化192022-3-7从时域性能指

12、标来看，随动系统的采样角频率可近从时域性能指标来看，随动系统的采样角频率可近似取为似取为: : c10s由于由于 ，所以采样周期可按下式选取：，所以采样周期可按下式选取： 2sT cT15采样周期采样周期T T可通过单位接跃响应的上升时间可通过单位接跃响应的上升时间t tr r或调节或调节时间时间t ts s按下列经验公式选取：按下列经验公式选取：rtT101或者或者stT401北科大 信息工程学院 自动化202022-3-78 8.3 .3 采样信号保持器采样信号保持器一、零阶保持器一、零阶保持器二、一阶保持器二、一阶保持器北科大 信息工程学院 自动化212022-3-7一、零阶保持器一、零

13、阶保持器, 2 , 1 , 0) 1()()(nTntnTnTXtXn，图图8 8-5 -5 零阶保持器作用示意零阶保持器作用示意采样开关采样开关 保持器保持器 sGhktXhtX* tX tXh tX tXtXht 零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器，是一种最零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器，是一种最常用的保持器。它把采样时刻的采样值恒定不变地保持常用的保持器。它把采样时刻的采样值恒定不变地保持（或外推）到下一采样时刻（或外推）到下一采样时刻: :1）零阶保持器）零阶保持器北科大 信息工程学院 自动化222022-3-72）零阶保持器的传递函数）零阶保持器的传递函数根据零阶保持器的单位

14、脉冲响应，推出其传递函数。根据零阶保持器的单位脉冲响应，推出其传递函数。零阶保持器的单位脉冲响应是一个矩形，零阶保持器的单位脉冲响应是一个矩形，宽度为宽度为T T，高为，高为1 1，它可表示成以下二个，它可表示成以下二个单位阶跃信号的迭加。单位阶跃信号的迭加。)( 1)( 1)(Ttttg单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶保持单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶保持器的传递函数。器的传递函数。seesstgLsGTsTSh111)()(图图8 8-6 -6 零阶保持信号分解零阶保持信号分解北科大 信息工程学院 自动化232022-3-73）零阶保持器的频谱分析）零阶保持器的频谱分析零阶保持器的传递函数为

15、：零阶保持器的传递函数为： 1( )TsheGss零阶保持器的频率特性为零阶保持器的频率特性为 ：2222sin12()222TTjjTTj TjjhTeTeeGjeTeTTjj北科大 信息工程学院 自动化242022-3-7其幅频特性和相频特性如图其幅频特性和相频特性如图8 8-7-7所示所示 图图8 8-7 -7 零阶保持器的频率特性零阶保持器的频率特性)(jGhSS2S323)(jGhT北科大 信息工程学院 自动化252022-3-7 一阶保持器以两个采样时刻的值为基础实行外推，它的外一阶保持器以两个采样时刻的值为基础实行外推，它的外推输出式如图推输出式如图8 8-8-8所示。所示。 (

16、)(1) ()()x kTx kTx kTtx kTtT)(txh)(tx)( tx)(txh0TT2T3t图图8 8-8 -8 应用一阶保持器恢复信号应用一阶保持器恢复信号二、一阶保持器二、一阶保持器1）一阶保持器）一阶保持器北科大 信息工程学院 自动化262022-3-7一阶保持器的脉冲响应函数应该如图一阶保持器的脉冲响应函数应该如图8 8-9-9所示。所示。 th110tTT2T2单位阶跃单位阶跃 单位斜坡单位斜坡 2单位阶跃单位阶跃 2单位阶跃单位阶跃单位阶跃单位阶跃单位斜坡单位斜坡 12TT212 tht图图8 8-9 -9 一阶保持器的脉冲响应函数一阶保持器的脉冲响应函数2 2）一

17、阶保持器的传递函数）一阶保持器的传递函数北科大 信息工程学院 自动化272022-3-7根据一阶保持器脉冲响应函数的分解，可得其传递函数：根据一阶保持器脉冲响应函数的分解，可得其传递函数： 3）一阶保持器的频谱分析）一阶保持器的频谱分析实线是一阶保持器幅频特性；虚线为零阶保持器频率特性实线是一阶保持器幅频特性；虚线为零阶保持器频率特性 。SS20180)(jGhS30280jGhS4T0.1 图图8 8-10 -10 保持器的频率特性保持器的频率特性2)1)(1 ()(TseTsTsGTsh北科大 信息工程学院 自动化282022-3-78 8.4 z.4 z变换理论及线性差分方程求解变换理论

18、及线性差分方程求解一、定义一、定义二、二、 z变换的性质变换的性质三、三、z变换方法变换方法四、四、z反变换方法反变换方法五、线性差分方程及其求解五、线性差分方程及其求解北科大 信息工程学院 自动化292022-3-7其中其中 是连续函数是连续函数 的采样信号，的采样信号，一、定义一、定义)(*tf)(tfTsez 采样函数采样函数 对应的对应的Z Z 变换是唯一的。变换是唯一的。Z Z 变换只适用于变换只适用于离散函数，因为它只表征了连续函数在采样时刻的特性。离散函数，因为它只表征了连续函数在采样时刻的特性。 Z Z反变换表示为反变换表示为: : )(*tf)()(*1tfzFZ用查表方法可

19、得到函数用查表方法可得到函数 的的Z Z变换。变换。)(*tf0*)()()(nnTsenTftfLsF)()()(*0tfZznTfzFnn北科大 信息工程学院 自动化302022-3-71 1）线性定理）线性定理 式中式中a a1 1,a,a2 2, ,为常数。为常数。2) 2) 实平移定理实平移定理 ZXaZXatxatxaz22112211)()( 10()mmKKZ x tmTZXzx kT z ()mz x tmTzX z二、二、 z变换的性质变换的性质当当k0k0时，有时，有 成立，则有：成立，则有：0 x kT 北科大 信息工程学院 自动化312022-3-74)4)复平移定理

20、复平移定理( )()tTZex tx ez 5)5)复域微分定理复域微分定理( )( )dXzZtx tTzdz 6)6)初值定理初值定理(0)lim ( )zxx z设函数设函数 的的Z Z变换为变换为 ，而且，而且 在在Z Z平面上以平面上以原点为圆心在单位圆上或圆外没有极点，则原点为圆心在单位圆上或圆外没有极点，则)(tf)(zF)()1 (1zFz1lim ( )lim ()lim(1) ( )lim(1) ( )ttttf tf nTzF zzF z3 3）终值定理）终值定理北科大 信息工程学院 自动化322022-3-7例例8 8-3 -3三、三、z变换方法变换方法1 1、级数求和

21、法、级数求和法 1x tt的的z z变换。变换。解：解： *011111nkkz xtx kT zzzz 北科大 信息工程学院 自动化332022-3-7例例8 8-4 -4 x tt的的z z变换。变换。解：解： *1202knkz xtkTzTzTzkTz 1*2312nzz xtTzTzkTz *1*11211nz x tzz x tTzTzTzTzz 1*211Tzz xtz北科大 信息工程学院 自动化342022-3-72 2、部分分式法、部分分式法 部分分式就是要利用最常见的几种函数的部分分式就是要利用最常见的几种函数的z z变换形式，将一般的变换形式，将一般的X(s)X(s)分解

22、成这些典型环节，分解成这些典型环节，进而求进而求X(z)X(z)。 zXsXtxtx* 11ttkkTszekTtxkTt 1111zzstkTx2211zzTstkTkTx北科大 信息工程学院 自动化352022-3-7北科大 信息工程学院 自动化362022-3-7例例8 8-5 -5解：解： 2111aTaTaTaTzezzX zzzezeze例例8 8-6 -6 22XsXzs,求 1112X ssjsjj sjsj 2211221sin2 cos1j Tj Tj Tj Tj Tj Tz eezzX zj z ez ej zz eezTzzT解：解： 111XsXzssas sa求a北

23、科大 信息工程学院 自动化372022-3-7(1)(1)幂级数法幂级数法( (长除法长除法) )11101110.( ).mmmmnnnnb zb zbz bX za za zaz a实际的物理系统满足实际的物理系统满足 nm,nm,则用综合除法有：则用综合除法有： 1010.knkX zcc zc z 由由Z Z变换的定义式可知变换的定义式可知: : 0*( )()nkxtctkT即为即为X(z)X(z)的原函数。的原函数。通常通常Z Z变换表达式有如下形式：变换表达式有如下形式：四、四、z反变换方法反变换方法北科大 信息工程学院 自动化382022-3-7已知 ，求x（k）。 23102

24、ZZZzx例例8-7232zz321703010zzz1203010zz12030z21609030zz10z32121140210706070ZZZZZ32140150ZZ TtTttxkxZZZZx2301070,30,10,0703010*321解解： 北科大 信息工程学院 自动化392022-3-7（3 3）部分分式法）部分分式法 部分分式法又称查表法。它的基本思想是部分分式法又称查表法。它的基本思想是将将 展开成部分分式展开成部分分式 ： zzX1( )niiX zAizzz 然后，查然后，查Z Z变换表，即可求取变换表，即可求取X X（Z Z）的原函数）的原函数x(kT)x(kT)

25、。北科大 信息工程学院 自动化402022-3-7已知已知 求求 X(kT)X(kT)(1)( )(1)()aTaTezX zzze )(1(1aTaTezzezzXaTeZZ111解解 ： 例例8-8 aTezzzzzX1查查Z Z变换表有变换表有： x(kT)=1e-akT 0*1kakTkTtetx北科大 信息工程学院 自动化412022-3-7线性定常离散系统可以用后向差分方程来描述：y(k) + a1y(k-1) + + any(k-n) = b0r(k) + b1r(k-1) + + r(k-m) 也可用前向差分方程来描述线性定常离散控制系统。y(k+n) + a1y(k+n-1)

26、 + + an-1y(k+1) + any(k)= b0r(k+m) + b1r(k+m-1) + + bm-1r(k+1) + bmr(k) 五、线性差分方程及其求解五、线性差分方程及其求解北科大 信息工程学院 自动化422022-3-7 若已知差分方程，并且给定输出序列初值，可若已知差分方程，并且给定输出序列初值，可利用差分方程的递推关系，利用差分方程的递推关系，( (在计算机上在计算机上) )一步一步一步一步计算出输出序列。计算出输出序列。求解差分方程常用的有迭代法和求解差分方程常用的有迭代法和Z Z变换法。变换法。1 1）迭代法）迭代法 若已知线性定常离散控制系统的差分方程，对若已知线

27、性定常离散控制系统的差分方程，对差分方程两边取差分方程两边取Z Z变换，再根据初始条件及给定输入变换，再根据初始条件及给定输入控制信号的控制信号的Z Z变换表达式，可求系统输出的变换表达式，可求系统输出的Z Z变换表变换表达式，再求达式，再求Z Z反变换，即可求得反变换，即可求得Y(K)Y(K)。2 2）Z Z变换法变换法北科大 信息工程学院 自动化432022-3-7 已知离散系统的差分方程为已知离散系统的差分方程为(1)2 ()5ykTy kTkTY(0) = -1, Y(0) = -1, 求差分方程的解。求差分方程的解。解：对差分方程取解：对差分方程取Z Z变换，得变换，得2( )(0)

28、2 ( )5(1)TzZ Y zYY zz25( )(1) (2)2TzzY zzzz例例8-9又又 221111(2)(1)9(2)3(1)9(1)zzzzz253( )92 (1)12TzzzzY Zzzzz查查Z Z变换表，有变换表，有5()( 2)31( 2)9kkTy kTk 059*( )(1)( 2)31()95kkTytktkTT北科大 信息工程学院 自动化442022-3-7用变换解差分方程，已知用变换解差分方程，已知 例例8-10( )5 (1)6 (2)( )y ky ky ku k( ) 1(0)(0) 0(1) 1,u kkyy 求y(k)其中其中 解：解：2222(

29、2)5 (1)6 ( )(2)( )(0)(1)5( )5(0)6 ( )( )(0)(1)y ky ky ku kz Y zz yzyzY zzyY zz u zz uzu22222(56) ( )( )(1)11zzzzY zz u zzzzz1( )0.521.5(1)(2)(3)1230.521.5( )123( )0.52(2)1.5 30.5(2)1.5 3nnnnY zzzzzzzzzzzzY zzzzy k*北科大 信息工程学院 自动化452022-3-78 8.5 .5 脉冲传递函数脉冲传递函数一、基本概念一、基本概念二、采样系统的开环脉冲传递函数二、采样系统的开环脉冲传递函

30、数三、闭环脉冲传递函数三、闭环脉冲传递函数北科大 信息工程学院 自动化462022-3-7一、基本概念一、基本概念定义定义：线性离散系统中，在零初始条件下，系统输出采样线性离散系统中，在零初始条件下，系统输出采样信号的信号的Z Z变换与输入采样信号变换与输入采样信号Z Z变换之比，称为系统的脉冲变换之比，称为系统的脉冲传递函数。传递函数。)()()(zRzCzGG(s) r*( t ) r ( t ) c*( t ) c (t ) 图图8 8-10 -10 开环离散控制系统开环离散控制系统北科大 信息工程学院 自动化472022-3-70*0*)()()()()()(nnnznTgtgZzGn

31、TtnTgtg采样脉冲函数的物理意义采样脉冲函数的物理意义 采样系统的脉冲传递函数是系统单位脉冲响应 经采样后的采样信号 的Z变换。)(tg)(*tg北科大 信息工程学院 自动化482022-3-7 假定动态环节的单位脉冲过渡函数为假定动态环节的单位脉冲过渡函数为g(t)g(t)。该环节的。该环节的输入为输入为r r* *(t)(t)0* ( )()()nrtr nTtnT利用线性环节满足叠加原理，无穷多个脉冲作用在线性环利用线性环节满足叠加原理，无穷多个脉冲作用在线性环节节G(s)G(s)上，其输出上，其输出C(t)C(t)为为将输出信号离散化，得到将输出信号离散化，得到( )(0) ( )

32、( ) ( - )() ( -)y trg tr T g t Tr nT g t nT()(0) ()( ) (1)() () () () y kTrg kTr T gkTr nT gkn Tr nT gkn T北科大 信息工程学院 自动化492022-3-7上式两边用乘以上式两边用乘以 ，并求和，得到：，并求和，得到：000()(0)()()()kTSkTskKkTskYkT erg kT er nTgkn T ektse考虑到前面的给定，当考虑到前面的给定，当t t 0 0 时时 ，故有，故有00( )(1)( ) ()( ) (0)( )(0)( )( )()kTsTskTsTsTSkT

33、sKr T gkT er T gTr T ger T egg T er T eg kT e 0g t 同理有：同理有：00()()()()kTsnTskTskKr nT hkn T er nT eh kT e北科大 信息工程学院 自动化502022-3-7所以所以00()(0)()()kTsnTskTskkY kT err nT eh kT e采样周期与所用时间变量文字描述无关，则上式可改写为：采样周期与所用时间变量文字描述无关，则上式可改写为：000()()()kTskTskTskkkY kT er kT eh kT e即即*( )*( )*( )Y sR s G s式中式中 若令式中若令式

34、中 , , 则可知则可知 ( )( )( )Y zR z G z又因又因Tsze ZG zG sG(s) ( )g tL0*)()(kkTsekTgsG北科大 信息工程学院 自动化512022-3-7 已知开环离散控制系统如图已知开环离散控制系统如图10(10)s s r*( t ) r ( t ) C*( t )C ( t )求脉冲传递函数。求脉冲传递函数。 解解 ：由式由式 可知：可知：)(ZG)10(10ssZ1011ssZ例例7-11)(1()1 (1101010TTTezzzeezzzz ZG zG s北科大 信息工程学院 自动化522022-3-7二、采样系统的开环脉冲传递函数二、

35、采样系统的开环脉冲传递函数1、两个串联环节之间有采样开关隔开、两个串联环节之间有采样开关隔开)()()()(21zGzGzRzC 将采样开关分隔的二个线性环节串联，脉冲传递函数是两个串联环节脉冲传递函数之积。结论可推广到n个环节串联，各相邻环节之间都有采样开关隔开的情况。北科大 信息工程学院 自动化532022-3-72 2、两个串联环节之间无采样开关隔开、两个串联环节之间无采样开关隔开)()()(21zGGzRzC 无采样开关隔开的两个线性环节串联，脉冲传递函数是两无采样开关隔开的两个线性环节串联，脉冲传递函数是两个环节经采样后的单位脉冲响应个环节经采样后的单位脉冲响应 和和 的乘积的的乘积

36、的Z Z变变换。结论可推广到换。结论可推广到n n个环节直接串联的情况。个环节直接串联的情况。*2g ( ) t*2g ( ) t北科大 信息工程学院 自动化542022-3-7)(1()()()()()(1)(1)(2212211aTaTezzazzGzGzGezazzGasasGzzzGssG，得，得由由解：解：例例8-121）北科大 信息工程学院 自动化552022-3-7)(1()1 (1 )()(1)()()()()(2121121aTaTaTaTezzezeZzGGzGesGsGLassasGsG2）解：解：北科大 信息工程学院 自动化562022-3-7 3. 带零阶保持器的开环

37、系统的脉冲传递函数带零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数seTS1G1(s) r*(t) r ( t ) y*(t)y(t) 由脉冲传递函数的定义有：由脉冲传递函数的定义有： 111( )(1)( )TsTseG zZG sZeG ss 1111( )(1)( )zG zzG zG zz即即北科大 信息工程学院 自动化572022-3-7三、闭环脉冲传递函数三、闭环脉冲传递函数1、有一个采样开关的采样系统、有一个采样开关的采样系统2、有数字校正装置的采样系统、有数字校正装置的采样系统)(1)()()(zGHzGzRzC)()(1)()()()(zGHzDzGzDzRzC北科大 信息工程学院 自动

38、化582022-3-73. 有干扰作用的脉冲传递函数有干扰作用的脉冲传递函数 -假定假定d(t)=0,d(t)=0,得到如下的结构图得到如下的结构图G1(s)G2(s)H(s)r(t)r(t) e e* *(t)(t) c c* *(t)(t)c(t)c(t)北科大 信息工程学院 自动化592022-3-7根据脉冲传递函数的定义可知根据脉冲传递函数的定义可知12( )( ) ( )Y zGG z E z( )( )( )E zR zB z12( )( ) ( )B zGG H z E z整理可得到：整理可得到：12( )( )( )( )E zR zGG H zE z121( )( )1( )

39、E zR zG G H z于是得到：于是得到： 北科大 信息工程学院 自动化602022-3-7输出的输出的Z Z变换响应为：变换响应为：1212( )( )( )1( )G GzY zR zG G H z于是得到闭环系统的脉冲传递函数于是得到闭环系统的脉冲传递函数GB(z)为为: : 1212( )( )( )( )1( )BG GzY zGzR zG G H z定义误差脉冲传递函数定义误差脉冲传递函数Ge(z)为为12( )1( )( )1( )eE zG zR zGG H z北科大 信息工程学院 自动化612022-3-7 已知采样系统结构如下图所示，求系统的输出脉已知采样系统结构如下图

40、所示，求系统的输出脉冲响应冲响应y(z)。b*(t)G(s)H(s) r(t) y*(t)y(t) 例例8-13解：解：由脉冲传递函数定义及串连环节的连接方式，可列写由脉冲传递函数定义及串连环节的连接方式，可列写出如下式子出如下式子 ( )( )( ) ( )B zGHR zGH z B z所以，所以， ( )( )1( )GHR zB zGH z将将B(z)B(z)代入代入Y(z)Y(z)中，有中，有( )( )( )( )1( )G z GHR zY zGR zGH z)()()()(zBzGzGRzY北科大 信息工程学院 自动化622022-3-7 有时闭环脉冲传递函数是写不出来的，当对

41、输入信号有时闭环脉冲传递函数是写不出来的，当对输入信号 或偏差处没有采样时；或偏差处没有采样时； 开关个数不同时得到的开关个数不同时得到的 不同，位置不同得到的不同，位置不同得到的 也不同；也不同； 推导过程中不能在任意地方取采样的拉氏变换，必须推导过程中不能在任意地方取采样的拉氏变换，必须在真正有采样的地方才能做采样信号的拉氏变换。在真正有采样的地方才能做采样信号的拉氏变换。 输入和输出地方，加的是虚拟采样，不是真的采样，输入和输出地方，加的是虚拟采样，不是真的采样，只有对于单独的输入输出信号（不与其它信号有相乘只有对于单独的输入输出信号（不与其它信号有相乘或叠加关系），虚拟采样才有作用。或

42、叠加关系），虚拟采样才有作用。( )cX z( )BW z( )BW z北科大 信息工程学院 自动化632022-3-78 8.6 .6 采样系统的稳定性分析采样系统的稳定性分析一、一、S域到域到Z域的映射域的映射二、线性采样系统二、线性采样系统Z平面稳定的充要条件平面稳定的充要条件三、三、 Z 域到域到W域的映射域的映射四、用劳斯判据判定采样系统的稳定性四、用劳斯判据判定采样系统的稳定性北科大 信息工程学院 自动化642022-3-7一、一、S域到域到Z域的映射域的映射在在Z Z平面上，上式表示单位圆平面上，上式表示单位圆可见可见S S平面上的虚平面上的虚轴，映射到轴，映射到Z Z平面，平面

43、，是以原点为圆心的是以原点为圆心的单位圆，且左半单位圆，且左半S S平面对应单位圆内平面对应单位圆内的区域。的区域。当当=0=0，即，即s s平面的虚轴平面的虚轴, ,对应对应Z Z平面的单位圆。平面的单位圆。 当当00，即，即s s左半平面对应左半平面对应Z Z平面的单位圆内。平面的单位圆内。根据根据Z Z变换定义，有变换定义，有 ，Tsez 假定在假定在s s平面上任有一点平面上任有一点 ，则通过，则通过Z Z变换，映射到变换，映射到Z Z平面为平面为sj Tj Tzee北科大 信息工程学院 自动化652022-3-7二、线性采样系统二、线性采样系统Z平面稳定的充要条件平面稳定的充要条件设

44、采样系统的闭环脉冲传递函数为设采样系统的闭环脉冲传递函数为)(1)()()(zGHzGzRzC系统特征方程为系统特征方程为0)(1zGH是闭环极点。，其特征根n21线性采样系统线性采样系统Z平面平面稳定的稳定的充要条件充要条件是，闭环系统是，闭环系统的全部特征根均位于的全部特征根均位于Z平面的单位圆内，即满足平面的单位圆内，即满足nii，211北科大 信息工程学院 自动化662022-3-7已知离散控制系统结构如下图所示，采样已知离散控制系统结构如下图所示，采样周期周期T=1T=1秒，分析系统的稳定性。秒，分析系统的稳定性。 解：解： 106.32(1)10.368jzGzZs szz闭环特征

45、方程闭环特征方程 1+G(z)=0 z2+4.952z+0.368=0 z1=-0.076 z2=-4.876例例8-14 系统闭环特征方程系统闭环特征方程的根有一个在单位圆的根有一个在单位圆外，该系统不稳定。外，该系统不稳定。 10(1)s s r (t) c* (t) c (t) T 北科大 信息工程学院 自动化672022-3-7在离散系统中，引进双线性映射。在离散系统中，引进双线性映射。 令令 11wzw 或或 11zwz其中其中z z和和w w可写为可写为 zxjywujv于是有于是有 1111xjyxjyw ujvxjyxjy 22222212(1)1xyyjxyxy三、三、 Z

46、域到域到W域的映射域的映射北科大 信息工程学院 自动化682022-3-7 当当x x2 2 +y +y2 2=1=1即对应即对应Z Z平面上的单位圆平面上的单位圆; ; u=0 u=0 即即W W平面上的虚轴平面上的虚轴; ; 当当x x2 2 +y +y2 21 1 即即Z Z平面上单位圆内的部分，也即平面上单位圆内的部分，也即稳定域稳定域; ; u0 u1 1 即即Z Z平面上单位圆内外的部分，也平面上单位圆内外的部分，也即不稳定域；即不稳定域； u0 u0 即右半即右半W W平面对应不稳定域。平面对应不稳定域。北科大 信息工程学院 自动化692022-3-7图图8 8-24 Z-24

47、Z平面到平面到W W平面映射平面映射 Z1111mIeRWmIeR0 线性离散控制系统稳定的线性离散控制系统稳定的充分必要条件充分必要条件是：线是：线性离散闭环控制系统特征方程的根的模小于性离散闭环控制系统特征方程的根的模小于1 1；或者；或者其其W W变换的特征根全部位于变换的特征根全部位于W W平面的左半平面。平面的左半平面。北科大 信息工程学院 自动化702022-3-7四、用劳斯判据判定采样系统的稳定性四、用劳斯判据判定采样系统的稳定性 如图如图8 8-24-24所示，在所示，在W W平面中，离平面中，离散系统的稳定范围已经变为散系统的稳定范围已经变为W W平面的平面的左半平面，因此可

48、以应用劳斯判据左半平面，因此可以应用劳斯判据判断稳定性。判断稳定性。11wzw求使系统稳定的求使系统稳定的K K值范围。值范围。例例8-15北科大 信息工程学院 自动化712022-3-7解：解：1 1、求系统的开环脉冲传递函数、求系统的开环脉冲传递函数查表得：查表得：2 2、特征方程为：、特征方程为：3 3、对特征方程进行双线性变换，代入、对特征方程进行双线性变换，代入T=0.25sT=0.25s4114)4()(ssKssKsG)(1()1 (4)1(4)(444TTTezzzeKezzzzKzG0)1 (4)(1()(144zeKezzzGTT011158. 0368. 011111ww

49、Kwwww北科大 信息工程学院 自动化722022-3-7整理得整理得：0)158.0736.2(264.1158.02KwKw4 4、应用劳斯判据，劳斯表为：、应用劳斯判据，劳斯表为：根据劳斯判据，为使采样系统稳定，应有根据劳斯判据，为使采样系统稳定，应有2.736-0.15802.736-0.1580，得使系统稳定的得使系统稳定的K K值范围是值范围是0K17.30K0K0。对于二阶线性采样系统，当对于二阶线性采样系统，当K K大于某一值，系统将不稳定，可大于某一值，系统将不稳定，可见，加入采样开关，对系统的稳定性不利，如果提高采样频见，加入采样开关，对系统的稳定性不利，如果提高采样频率，

50、稳定性将得到改善率，稳定性将得到改善。北科大 信息工程学院 自动化732022-3-78 8.7 .7 采样系统的稳态误差采样系统的稳态误差一、采样系统的类型一、采样系统的类型二、应用终值定理求给定稳态误差终值二、应用终值定理求给定稳态误差终值三、用静态误差系数求给定稳态误差终值三、用静态误差系数求给定稳态误差终值北科大 信息工程学院 自动化742022-3-7一、采样系统的类型一、采样系统的类型 设采样系统的开环脉冲函数为设采样系统的开环脉冲函数为G(z)G(z)，当，当G(z)G(z)具有具有0 0个，个，1 1个，个，2 2个个z z1 1的极点时，系统分别为的极点时，系统分别为0 0型

51、，型，I I型，型，IIII型系统。型系统。二、应用终值定理求给定稳态误差终值二、应用终值定理求给定稳态误差终值 设采样系统是单位设采样系统是单位负反馈系统，则给定误负反馈系统，则给定误差脉冲传递函数为：差脉冲传递函数为：)(11)()(zGzRzE北科大 信息工程学院 自动化752022-3-7根据终值定理，给定稳态误差终值为：根据终值定理，给定稳态误差终值为：)(1lim)(limzEzznTeennsr系统的稳态误差取决于系统的稳态误差取决于G(G(z z) )和输入信号和输入信号R(R(z z) )。三、用静态误差系数求给定稳态误差终值三、用静态误差系数求给定稳态误差终值1 1、静态位

52、置误差系数、静态位置误差系数)(1 lim1zGKpz2 2、静态速度误差系数、静态速度误差系数)() 1(lim1zGzKvz北科大 信息工程学院 自动化762022-3-73 3、静态加速度误差系数、静态加速度误差系数)() 1(lim21zGzKaz单位阶跃输入时，采样系统的稳态误差终值为单位阶跃输入时，采样系统的稳态误差终值为psrKe1单位斜坡输入时，采样系统的稳态误差终值为单位斜坡输入时，采样系统的稳态误差终值为vsrKTeT T为采样周期为采样周期单位加速度输入时，采样系统的稳态误差终值为单位加速度输入时，采样系统的稳态误差终值为asrKTe2北科大 信息工程学院 自动化7720

53、22-3-7采样系统如图，零阶保持器的传递函数为采样系统如图，零阶保持器的传递函数为 ，被控对象的传递函数，被控对象的传递函数 ，采，采样周期样周期T=0.5sT=0.5s，确定系统的类型，并求出斜坡输入作用下，确定系统的类型，并求出斜坡输入作用下的稳态误差。的稳态误差。sesGTsh1)() 15 . 0 (4)(sssGo例例8-16北科大 信息工程学院 自动化782022-3-7查表得与上式对应的查表得与上式对应的Z Z变换。系统的开环脉冲传递函数变换。系统的开环脉冲传递函数)368. 0)(1()264. 0368. 0(2368. 0212) 1(2)1 ()(21zzzzzzzzz

54、zzGGoh解：解：1 1、求系统的开环脉冲传递函数求系统的开环脉冲传递函数15 . 0124)1 ()()(2sssesGsGTSoh根据系统的开环脉冲传递函数，系统有一个根据系统的开环脉冲传递函数，系统有一个Z=1Z=1的极点的极点，所以为，所以为I I型系统。型系统。北科大 信息工程学院 自动化792022-3-72 2、求出斜坡输入作用下的稳态误差求出斜坡输入作用下的稳态误差1lim ()lim( )0.25srnnzee nTE zz21( )( )1( )(1)(0.368)(1)(0.368)2(0.3680.264) 2(1)hoE zR zG Gzzzzzzzz由终值定理可得

55、到：由终值定理可得到：北科大 信息工程学院 自动化802022-3-78 8.8 .8 采样系统的暂态特性分析采样系统的暂态特性分析 北科大 信息工程学院 自动化812022-3-7 通常离散控制系统的闭环脉冲传递函数可表示为如下形式通常离散控制系统的闭环脉冲传递函数可表示为如下形式 (为简单起见，假设没有重根为简单起见，假设没有重根)： 11()()miiBnkkzzP zGzkKQ zzP当系统输入为单位阶跃时，其系统输出当系统输入为单位阶跃时，其系统输出Y(z)Y(z)为：为： 11()( )1()miiBnkkzzzY zGz R zkzzP北科大 信息工程学院 自动化822022-3

56、-7展开成部分分式，有展开成部分分式，有 1111nKKkPC zzY zKQzzP 式中式中.()(1) ()kkkkP PCKPQ p于是可以通过于是可以通过Z Z反变换得到反变换得到y(k)y(k)，即得到时域解，并以此进，即得到时域解，并以此进行采样系统的时域分析行采样系统的时域分析北科大 信息工程学院 自动化832022-3-7 北科大 信息工程学院 自动化842022-3-7振荡周期为：振荡周期为： 即经过次采样后输即经过次采样后输出振荡一个周期，或出振荡一个周期，或者说是输出在一个振者说是输出在一个振荡周期内采样了次。荡周期内采样了次。 22 ,iikk图图8 8-25 -25

57、闭环实极点分布与瞬态响应闭环实极点分布与瞬态响应babamIeR|iijjiiiiZZeZZe复平面上的极点全为共轭：复平面上的极点全为共轭： ( )2| cos()kkkiiiiiiiiAiy kAZA ZAZkiiAiAA和决定iiiZZ和决定北科大 信息工程学院 自动化852022-3-7北科大 信息工程学院 自动化862022-3-7例例8-18采样系统如图，零阶保持器的传递函数为采样系统如图，零阶保持器的传递函数为 ， 被控对象的传递函数被控对象的传递函数 ，采样周期，采样周期T=0.25sT=0.25s，确定系统的时域性能指标。，确定系统的时域性能指标。sesGTsh1)() 15 . 0 (4)(sssGo北科大 信息工程学院 自动化872022-3-72(0.3680.264)( )(1)(0