第七章动态数列

1、一、动态数列的概念一、动态数列的概念 动态数列又称时间数列。它是将某种统计指标，动态数列又称时间数列。它是将某种统计指标，在不同时间上的不同数值，按时间先后顺序排列在不同时间上的不同数值，按时间先后顺序排列所形成的数列，以便于研究其发展变化的水平和所形成的数列，以便于研究其发展变化的水平和速度，并以此来预测未来的一种统计方法。速度，并以此来预测未来的一种统计方法。例例 时间，即现象所属的时间；时间，即现象所属的时间； 不同时间上的统计指标数值，即不同时间上该现不同时间上的统计指标数值，即不同时间上该现象的发展水平。象的发展水平。动态数列按照所列入指标的不同可分为：动态数列按照所列入指标的不同可

2、分为：绝对数动态数列绝对数动态数列相对数动态数列相对数动态数列平均数动态数列平均数动态数列时期数列时期数列时点数列时点数列数数列中各个指标值是可加的；列中各个指标值是可加的；数数列中每个指标值的大小随着时期的长列中每个指标值的大小随着时期的长短而变动；短而变动；数数列中每个指标值通常是通过连续不断列中每个指标值通常是通过连续不断的登记而取得。的登记而取得。数数列中各个指标值是不能相加的；列中各个指标值是不能相加的；数数列中每个指标值的大小与时间间隔列中每个指标值的大小与时间间隔的长短没有直接关系；的长短没有直接关系；数数列中每个指标值通常是按期登记一列中每个指标值通常是按期登记一次取得的。次取

3、得的。全国城乡居民储蓄存款例例单位：亿元我国各年国内生产总值增长率例例单位：%上海职工2001 - 2005年年平均工资例例单位：元具体说有以下几点：具体说有以下几点： 注意时间的长短应统一；注意时间的长短应统一；总体范围应该一致；总体范围应该一致；指标的经济内容应该相同；指标的经济内容应该相同；指标的计算方法和计量单位应该一致。指标的计算方法和计量单位应该一致。属属于现象发展的水平分析指标有：于现象发展的水平分析指标有：发展水平发展水平平均发展水平平均发展水平增长量增长量平均增长量。平均增长量。 在动态数列中，每个绝对数指标数值叫做发在动态数列中，每个绝对数指标数值叫做发展水平或动态数列水平

4、。展水平或动态数列水平。如果用如果用a a0 0，a a1 1，a a2 2，a a3 3，a an n，代表数列中，代表数列中各个发展水平，则其中各个发展水平，则其中a a0 0即最初水平，即最初水平，a an n即即最末水平最末水平。平均发展水平是对不同时期的发展水平求平平均发展水平是对不同时期的发展水平求平均数，统计上又叫序时平均数均数，统计上又叫序时平均数。某车间各月工业增加值例例二者都是将现象的个别数量差异抽象化，二者都是将现象的个别数量差异抽象化，概括地反映现象的一般水平。概括地反映现象的一般水平。-计算方法不同；计算方法不同； -差异抽象化不同；差异抽象化不同；-序时平均数还可解

5、决某些可比性问题。序时平均数还可解决某些可比性问题。不同点不同点 相同点相同点 绝对数动态数列的序时平均数绝对数动态数列的序时平均数 123123n , nnaaaaaannaa aaa LL式式中中：序序时时平平均均数数各各时时期期发发展展水水平平时时期期项项数数1. 1. 时期数列的序时平均数时期数列的序时平均数)26.5( 6293028282024万件则上半年平均月产例例(1) (1) 如果是连续时点资料，可分为二种情况：如果是连续时点资料，可分为二种情况：2)2)对对非连续变动的连续时点数列非连续变动的连续时点数列( (即分组资料即分组资料) )afaf 1)1)对对连续变动的连续时

6、点数列连续变动的连续时点数列( (即未分组资料即未分组资料) )aan 某厂7月份的职工人数自7月1日至7月10日为258人，7月11日起至7月底均为279人，则该厂7月份平均职工人数为：)(272312792125810人a例例1) 1) 对间隔相等的间断时点资料对间隔相等的间断时点资料例例现假定：每天变化是均匀的；本月初与上月末的库存量相等。则各月平均库存量为：)(2960)274029903150(31)(27402280026806)(29902268033005)(31502330030004件第二季度平均库存量件月份件月份件月份aaa)(29603274029903150 3228

7、002680226803300233003000件第二季度平均库存量：上面计算可合并简化为 122 1222132132211首末折半法这种计算方法称为般公式：上面计算过程概括为一naaaaanaaaaaaannnn2311212111222nnnniiaaaaaafffaf L某城市2003年各时点的人口数)(83.257123094534524 .2593 .258323 .2581 .257421 .2572 .256万人年平均人口数为：该市则，2003 例例1. 1. 由由两个时期数列对比组成的相对数动态两个时期数列对比组成的相对数动态数列的序时平均数数列的序时平均数 banbnaba

8、c 一般公式为：某厂7-9月份生产计划完成情况 810941904601 31760128011503197813671256%./ )(/ )( 程度第三季度平均计划完成例例2222122122 321321321321nnnnbbbbaaaanbbbbnaaaabac )/()()/()(一般公式为：某厂第三季度生产工人与职工人数资料%.18825248552042 2845830826280527106956702645 全体职工的平均比重第三季度生产工人数占例例2311212123112121222222nnnnnnaaaaaafffacbbbbbbbfff LLaa cbb 连连续续

9、变变动动时时点点：用用简简单单平平均均，即即afa cbfb 非非连连续续变变动动时时点点：用用加加权权平平均均，即即122bac 321 nbbbbnan一般公式为：某商业企业商品销售额与库存额情况)(.)(.)/()(/ )(次月数月平均商品流转次数季度的商品流转次数次商品流转次数第一季度月平均3993133 133507156 142655545235324015080 例例1.1.由一般平均数组成的平均数动态数列由一般平均数组成的平均数动态数列 的序时平均数。的序时平均数。 bac 一般公式：某厂某年1-6月每一工人平均产值)(.万元人平均月产值上半年每一工62040529251 70

10、72706865603488461444439653933 例例某企业某年各季平均月产值情况)(25.2012243 3333392312317314 万元全年平均每月产值以时间为权数：可见，当时期相等时，可直接用简单算术平均法计算。可见，当时期相等时，可直接用简单算术平均法计算。 若时期或间隔不等时，应使用加权算术平均法计算若时期或间隔不等时，应使用加权算术平均法计算。例例说明某种现象在一定时期内所增长的绝对数量。说明某种现象在一定时期内所增长的绝对数量。基期水平报告期水平增长量 因为基期有两种因为基期有两种前一时期前一时期某一固定时期某一固定时期增长量增长量0aai 累计增长量：累计增长量

11、：逐期增长量逐期增长量：1 iiaa011aaaanniii )( 说明社会现象在一段时期内平均每期增加的说明社会现象在一段时期内平均每期增加的绝对数量。绝对数量。1 逐逐期期增增长长量量之之和和累累计计增增长长量量平平均均增增长长量量逐逐期期增增长长量量个个数数动动态态数数列列项项数数某省2000-2005年某工业产品产量例例单位：万台)(.)(.万台或万台年平均年增长量34439572196163110403301 344395428.6656.9508.5355.9246.8 20052000 动态数列的速度指标有动态数列的速度指标有：发展速度发展速度增长速度增长速度平均发展速度平均发展

12、速度平均增长速度平均增长速度 反映社会经济现象发展程度的动态相对指标。反映社会经济现象发展程度的动态相对指标。报报 告告 期期 水水 平平发发 展展 速速 度度基基 期期 水水 平平定定 基基 发发 展展 速速 度度 ：可可 分分 为为 ：环环 比比 发发 展展 速速 度度 ：01100%iiiaaaa 110iininaaaa 推推 理理 ：1i001 iiiaaaaaa 反映社会经济现象增长程度的动态相对指标。反映社会经济现象增长程度的动态相对指标。增增长长速速度度发发展展速速度度 - - 定定基基增增长长速速度度无无关关系系环环比比增增长长速速度度增增长长量量前前一一时时期期水水平平增增

13、长长的的绝绝对对值值增增长长百百分分比比基基期期水水平平或或 1 (100%) 1%100 100 某省2000-2005年某工业产品产量例例单位：万台平均发展速度是各个环比发展速度的动态平均平均发展速度是各个环比发展速度的动态平均数数( (序时平均数序时平均数) )，说明某种现象在一个较长时，说明某种现象在一个较长时期中逐年平均发展变化的程度期中逐年平均发展变化的程度； 平均增长速度是各个环比增长速度的动态平均平均增长速度是各个环比增长速度的动态平均数，说明某种现象在一个较长时期中逐年平均数，说明某种现象在一个较长时期中逐年平均增长变化的程度增长变化的程度。 1. 1. 几何平均法，又称水平

14、法几何平均法，又称水平法。nXX nnXXXX321 nnnaaaaaaaa1231201 nnaa0 nR 某企业总产值资料例例%75.1042614. 1%75.104261385. 11 .2707 .340%75.104261268. 10571. 10251. 155555XX 1.08711.01621.0137X 或或平均发展速度 在实践中，如果长期计划按累计法制定，则要求用在实践中，如果长期计划按累计法制定，则要求用 方程法计算平均发展速度方程法计算平均发展速度。 niinaaaaa1321 niinaXaXaXaXa1030200naXXXXniinn 121解这样的高次方程

15、，用查表法。104.40%X 01.570%31.5701 .2704 .1540 1 .2707 .3403 .3224 .3142 .2898 .273 01i近似，见表中仍用前例数据：aaniXX平均增长速度平均增长速度= =平均发展速度平均发展速度-1 (100%)-1 (100%)平均发展速度大于平均发展速度大于“1”1”，平均增长速度就为正值。，平均增长速度就为正值。 则称则称“平均递增速度平均递增速度”或或“平均递增率平均递增率”。平均发展速度小于平均发展速度小于“1”1”，平均增长速度就为负值。，平均增长速度就为负值。 则称则称“平均递减速度平均递减速度”或或“平均递减率平均递

16、减率”。注意注意: 时间序列的构成因素时间序列的构成因素时间序列构成因素的组合模型时间序列构成因素的组合模型乘法模型: Y = TSCI 加法模型: Y = T + S + C + I长期趋势就是指某一现象在一个相当长长期趋势就是指某一现象在一个相当长的时期内持续发展变化的趋势。的时期内持续发展变化的趋势。( (向上或向上或向下变化向下变化) ) 把握现象的趋势变化；把握现象的趋势变化； 从数量方面研究现象发展的规律性，探求从数量方面研究现象发展的规律性，探求合适趋势线；合适趋势线； 为测定季节变动的需要。为测定季节变动的需要。 直直线趋势；线趋势；非非直线趋势，即趋势曲线。直线趋势，即趋势曲

17、线。间隔扩大法；间隔扩大法；移动平均法；移动平均法；最小平方法。最小平方法。 某工厂某年各月增加值完成情况 单位：万元例例 通过扩大时间间隔，编制成如下新的动态数列： 仍用上例资料： 趋势值项数=原数列项数-移动平均项数+1 =12-3+1=10注注1 1： 若采用奇数项移动平均若采用奇数项移动平均( (如上例如上例“三三项项”) )，则平均值是对准在奇项的居中时间，则平均值是对准在奇项的居中时间处。一次可得趋势值；处。一次可得趋势值； 若采用偶数项移动平均，则平均值也居若采用偶数项移动平均，则平均值也居中，因未对准原来的时间，还要再计算一次中，因未对准原来的时间，还要再计算一次平均数，故可以

18、的情况下一般都用奇数项移平均数，故可以的情况下一般都用奇数项移动平均。动平均。 注注2 2： 修匀后的数列，较原数列项数少。修匀后的数列，较原数列项数少。( (在在进行统计分析时，若需要两端数据，则此方进行统计分析时，若需要两端数据，则此方法不宜使用法不宜使用) )注注3 3： 取几项进行移动平均为好，一般若现象取几项进行移动平均为好，一般若现象有周期变动，则以周期为长度。有周期变动，则以周期为长度。例，季度资料可用四项移动平均；各年月资例，季度资料可用四项移动平均；各年月资料，可用十二项移动平均；五年一周期，可料，可用十二项移动平均；五年一周期，可用五项移动平均。用五项移动平均。因此移动平均

19、法可以消除周期变动。因此移动平均法可以消除周期变动。用四项移动平均后的资料作图，趋势更明显，上升得更均匀，可见修匀的项数越多，效果越可见修匀的项数越多，效果越好好, ,但丢掉的数据相应要多一些但丢掉的数据相应要多一些, ,须慎重选择。须慎重选择。仍用上例资料：404550556065123456789101112原始资料三项移动后的趋势四项移动后的趋势由此可见，该厂的增加值趋势是上升的。图示图示2c()min y ycyy 实实际际值值，即即原原数数列列值值趋趋势势值值或或理理论论值值即对原有动态数列配合一条适当的趋势线来即对原有动态数列配合一条适当的趋势线来进行修匀。这条趋势线可以是直线，也

20、可以进行修匀。这条趋势线可以是直线，也可以是曲线；这条趋势线必须满足最基本的要求。是曲线；这条趋势线必须满足最基本的要求。即：即：当现象的发展，其逐期增长量大体上相等时。当现象的发展，其逐期增长量大体上相等时。该方程的一般形式为：该方程的一般形式为：cyabt 用高等数学求偏导数方法，得到以下联立方程组： tbNay 2tbtaty为使计算方便，可设t: 奇数项奇数项：,3210123 偶数项偶数项：,531135 这样使0 t，即上述方程组可简化为：Nay 2tbty仍用上例资料：该方程配合得较好 57. 025.5457. 025.54 5724 .32612651 2ccyytybaba

21、tbtyNay)(.万元862155702554 cy若预测明年二月份增加值，则：0)( 222 tnyntbnytbyattyttnyttynb)(导出：由联立方程也可直接推 50 69 90 110 19 21 20 逐逐期期增增长长量量：二二级级增增长长量量：则则给给该该资资料料配配合合抛抛物物线线方方程程例例 当现象的发展，其二级增长量大体上当现象的发展，其二级增长量大体上相等时相等时。2c2233224yabtct (abc) yNabtcttyatbtctt yatbtct 该该方方程程的的一一般般形形式式为为：、 、 均均为为未未定定参参数数同同样样用用求求偏偏导导数数的的方方法

22、法，导导出出以以下下联联立立方方程程组组：某地区1997-2005年国内生产总值的动态数列配合抛物线计算过程如下表：例例)(.,.万元则：年若预测该地区7115523 51771165617117526741200617711661711752674117711661711756741.2a 7086048672760705376096764222 ccyGDPttycbcabca2lglglglg , lg , lg (,0)ccyatbYyAaBbYABtYNABttYAtBttt 先先对对上上述述方方程程两两边边各各取取对对数数：设设则则：应应用用最最小小平平方方法法求求得得的的联联立立

23、方方程程组组为为：同同样样设设 使使例题见教材例题见教材当现象的发展，环比增长速度大体上相等时。当现象的发展，环比增长速度大体上相等时。该方程的一般形式为该方程的一般形式为：tcaby 一、季节变动分析的意义一、季节变动分析的意义季节变动是指受自然因素或社会因素影响，季节变动是指受自然因素或社会因素影响，而形成的在一年内有规则的周期性变动。而形成的在一年内有规则的周期性变动。测定季节变动的意义 ：分析与测定过去的季节变动规律、对未来现象季节变动作出预测、消除季节变动对时间序列的影响。 测定季节变动的资料时间至少要有三个周期测定季节变动的资料时间至少要有三个周期以上，如季节资料，至少要有以上，如季节资料，至少要有1212季，月度资季，月度资料至少要有料至少要有3636个月等，以避免资料太少而产个月等，以避免资料太少而产生偶然性。生偶然性。按月平均法，不考虑长期趋势的影响按月平均法，不考虑长期趋势的影响( (假假定不存在长期趋势定不存在长期趋势) )，直接利用原始动