第二节不定积分的计算

1、第二节第二节 不定积分的计算不定积分的计算一、第一类换元法一、第一类换元法二二 分部积分法分部积分法三三 总结总结换元积分法换元积分法 xdx2cos,2sin21Cx 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令2ux2 ,dudxxdx2cos1cos2udu1sin2uCCx 2sin21一、第一类换元法一、第一类换元法换元换元换回原变量换回原变量求导数验证结果求导数验证结果问题问题 dxxxf)()(CxFduufxu)()()( 第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法）说明： 使用此公式的目的在于化难为易CxFCuFduufdxxxfxu)()(

2、)()()()(定理定理1 1难难易易换元公式可导，则有，具有原函数设)()()(xuuFuf例例1 1 求求.2sin xdx解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解解（三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 例例2 2 求求.231dxx 解解,)23(23121231 xxxdxx 231dxxx)23(23121 duu121C|u|ln21.|23|ln21Cx baxuduufadxbaxf

3、)(1)(一般地例例3 3 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121Cu |ln21.|ln21|ln21Cx 一般地xuduufdxxxfln)(1)(ln例例4 4 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx Cxx2)1 (2111例例5 5 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa222111 axdaxa2111.1Caxarctga 例例6 6 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4

4、(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx例例7 7 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 例例9：求：求 22axdx解：原式解：原式dxaxaxa)11(21 )()(21axaxdaxaxdacaxaxa|ln|ln21caxaxa |ln21例例1212 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin

5、1cotCxx例例1313 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，可考虑当被积函数是三角函数相乘时，可考虑拆开奇次项去凑微分拆开奇次项去凑微分.例例1414 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5si

6、n101sin21Cxx 例例1515 求求解法解法一一 dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin2122cos2tan12xdxx2tan2tan1xdxCx|2tan|ln.|cotcsc|lnCxxctgxxxxxxxxxxxcscsincos12sin2cos22sin2sin22cos2sin2tan :注.)tanln(secsec Cxxxdx类似地可推出类似地可推出解法解法二二 dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu|1|1|ln21.cos1cos1l

7、n21Cxx 思考：以下几种形式的积分，如何用凑微分法求积思考：以下几种形式的积分，如何用凑微分法求积 dxcbxax21 cbxaxxdx2xdx 3sin bxdxaxcossin dxxbxa2222sincos1 dxxa221 dxax221 dxax221 dxcbxaxBAx2CarchxdxxCxdxx 11;arcsin1122例例1616 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .|2arcsin|lnCx问题问题 ?dxxex解决思路解决思路 利用两个函数乘积的求导法

8、则利用两个函数乘积的求导法则.设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数, ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部积分公式分部积分公式一、基本内容一、基本内容 ?cos xdxx ?cosdxxex ?arcsin xdx ?)1ln(2dxxx 二二 分部积分法分部积分法例例1 1 求积分求积分.cos xdxx解（一）解（一） 令令,cos xu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu ,解（二）解（二） 令令,xu dvxdx

9、dx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx 例例2 2 求积分求积分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu dvdxex 总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 , 使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)u例例3 3 求积分求积分.arctan xdxx解解令令,arcta

10、n xu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 例例4 4 求积分求积分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecCtt )tanln(secCxx )1l

11、n(2 dxxxx21arctanxx arctan12 .)1ln(2Cxx 例例5 5 求积分求积分.ln3 xdxx解解,ln xu ,443dvxddxx xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx 总结总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .u例例6 6 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(l

12、n)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 例例7 7 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式例例 8 8 已已知知)(xf的的一一个个原原函函数数是是2xe , 求求 dxxfx)(.解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 Cedxxfx dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 例例 9 9 求求nnaxdxI)(22,其中其中n为为正正整数整数. 解解即时有当用分部积分法,)()(1)1(2)()()1(2)()(1,222122122222122122dxaxaaxnaxxdxaxxnaxxaxdxnnnnnnn.arctan1,)32()()1(21),)(1(2)(111222211221nnnnnnnnICaxaIInaxxnaIIaInaxxI即得并由以此递推于是例例1