第9章系统的状态变量分析

1、第第9章章 系统的状态变量分析系统的状态变量分析 9.1 系统状态方程与输出方程系统状态方程与输出方程 9.2 状态方程、输出方程的时域求解方法状态方程、输出方程的时域求解方法9.3 状态方程、输出方程的变换求解方法状态方程、输出方程的变换求解方法9 .1 系统状态方程与输出方程系统状态方程与输出方程 9.1.1 状态变量与状态方程的基本概念状态变量与状态方程的基本概念9.1.2 状态方程、输出方程的建立方法状态方程、输出方程的建立方法 9.1.3 系统的可控性和可观察性系统的可控性和可观察性 9.1.1 状态变量与状态方程的基本概念状态变量与状态方程的基本概念 状态变量法不仅关心输入和输出间

2、的关系，而且可提供系统内部各变量的情况。它是用两组方程来描述系统，即：（1）状态方程，它描述了系统内部状态变量与激励之间的关系。对于线性时不变系统是一阶常系数微分方程组（连续系统）和一阶差分方程组（离散系统）；（2）输出方程，它描述了系统的响应与状态变量和激励的关系，输出方程通常是代数方程。因而特别适用于多输入、多输出系统。它不仅适用于线性时不变系统，也便于推广应用于时变系统和非线性系统。 一般而言，动态系统在某一时刻 的状态，是描述该系统所必须的数目最少的（设为n）一组数 ，根据这组数和 时的给定输入就可唯一地确定在 的任意时刻的状态 ；根据在时刻t的状态和时刻t的输入就能唯一地确定在时刻t

3、的任一输出值。 动态系统的状态变量 是描述状态随时间变化的一组变量，通常选取动态元件（连续系统）、延时元件（离散系统）的状态作为系统的状态变量，它们在 时刻的值就成了系统在该时刻的状态。 0t 0n0201txtxtx，0tt 0tt txtxtxn21， txtxtxn21，0t 状态变量方程简称为状态方程，它是用状态变量和激励表示的一组独立的一阶微分方程；而输出方程是用状态变量和激励表示的代数方程组。通常，又将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。 需要指出，状态变量的选择并不是唯一的，对同一个系统，选不同的状态变量，可得出不同的状态方程。 若将连续时间变量换为离散时间变量，则可适用

4、于离散系统。 设一个系统有个状态变量 ，用这个状态变量作分量构成向量 ，就称之为该系统的状态向量。状态向量的所有可能值的集合称为状态空间。系统在任意时刻的状态都可用状态空间的一点来表示。 txtxtxn21， tx 设有一个多输入多输出连续时间系统如图9.1-1所示。它的p个输入为 ；其个输出为 ；将系统的n个状态变量记作 。 由于在连续时间系统中，状态变量是连续时间函数，因此对因果系统，在任意瞬间，状态变量的导数是状态变量和输入的函数，写为： 图图9.1-1 多输入多输出连续时间系统多输入多输出连续时间系统 (9.1-1)式中 是由系统参数组成的系数。对于线性非时变系统，它们都是常数。 tt

5、tp21fff， tytytyq21， txtxtxn21，)()()()()()()()()(212122221112112121222211121121tftftfbbbbbbbbbtxtxtxaaaaaaaaatxtxtxpnpnnppnnnnnnnnijijba ， 用矩阵形式表达为 (9.1-2)式中 (9.1-3) (9.1-4)分别为系数矩阵，对于线性非时变系统，它们都是常量矩阵，其中A为nn方阵，常称为系统矩阵系统矩阵，B为nn矩阵，常称为控制矩阵控制矩阵。 )()()(tBftAxtxTndefTndefTndeftftftftftxtxtxtxtxtxtxtx)()()()

6、()()()()()()()()(212121nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211npnnppbbbbbbbbbB212222111211 如果系统有q个输出 ，那么，它们中的每一个都是用状态变量和激励表示的代数方程，其矩阵形式可写为 (9.1-5)上式可简记为 (9.1-6)式中 是输出矢量。 tytytyq21，)()()()()()()()()(212122221112112121222211121121tftftfdddddddddtxtxtxccccccccctytytypqpqqppnqnqqnnq)()()(tDftCxtyTndeftytytyty)()()

7、()(21而 (9.1-7) (9.1-8)分别是系数矩阵，对于线性非时变系统，它们都是常量矩阵，其中C为qn矩阵，常称为输出矩阵输出矩阵, D为qp矩阵, 常称为转转移移矩阵。 以上是线性非时变连续系统状态方程和输出方程的一般标准形式。 qnqqnncccccccccC212222111211qpqqppdddddddddD212222111211 对于线性离散时间系统状态方程和输出方程的一般标准形式，与线性非时变连续系统类似，只不过线性非时变连续系统中状态方程由一阶线性微分方程组表达，在线性离散时间系统中状态方程由一阶线性差分方程组表达；输出方程均为代数方程组。 根据电路网络直接列写系统状

8、态方程和输出方程时，对于线性非时变连续系统，通常选取动态元件状态作为系统的状态变量；对于线性位移不变离散系统，通常选取延时元件的状态作为系统的状态变量。 例如，在图9.1-2（a）只含电容的回路中，根据KVL，图9.1-2（a）中任意一个电容电压都能由其余两个电容电压求得，因而若选电容电压为状态变量，则它们之中只有两个是独立的，三个电容电压中只能选其中之二为独立的状态变量。在图9.1-2 (b)只含电容和理想电压的回路。显然，根据KVL，两个电容电压中只能选其中之一为独立的状态变量。 (a) (b)图图9.1-2 只含电容的回路只含电容的回路 又例如，在图9.1-3（a）只含自感的节点（或割集

9、），或只含自感和理想电流的节点（割集），任一电感电流都能由其余两个电流得出，因而若选电感电流为状态变量，则它们中只有两个是独立的, 三个电感电流中只能选其中之二为独立的状态变量。在图9.1-3 (b)只含电感和理想电流的节点，两个电感电流中只能选其中之一为独立的状态变量。(a) (b)图图9.1-3 只含自感的节点只含自感的节点9.1.2 状态方程、输出方程的建立方法状态方程、输出方程的建立方法 研究系统的状态变量分析，首先要建立系统的状态方程和输出方程。 建立状态方程的方法大致可分为直接法和间接法两种类型。直接编写法是根据给定的电路网络、系统的信号流图（系统框图）直接列出状态方程和输出方程。

10、间接法是根据系统的输入-输出方程、系统函数得到状态方程和输出方程。 电路网络状态方程和输出方程的直接编写，对于线性非时变连续系统，通常选取动态元件状态（各积分器输出端）作为系统的状态变量；对于线性位移不变离散系统，通常选取延时元件的状态作为系统的状态变量。 1.直接法建立状态方程：1)基于电路网络建立状态方程和输出方程的步骤为： (1)选所有的独立电容电压和电感电流作为状态变量； (2)对每一个独立电容，写出独立的节点电流方程；对每一个独立电感，写出独立的回路电压方程； (3)按上述步骤所列的方程中，若含有除激励以外的非状态变量，则应利用适当的节点电流方程或回路电压方程将它们消去，然后整理成标

11、准形式。2)基于系统的信号流图建立状态方程和输出方程的步骤为： (1)对于线性非时变连续系统，选取各积分器输出端作为系统的状态变量；对于线性位移不变离散系统，选取延时元件的状态作为系统的状态变量。 (2)对于如图9.1-4所示一般系统框图，直接建立系统状态方程和输出方程方法为：图图9.1-4 一般的一般的n阶连续系统的模拟图阶连续系统的模拟图n 可选各积分器输出端为状态变量，来列写系统的状态方程，则有 (9.1-9) 若 ，则有输出方程为： (9.1-10) 若 m=n，则有 （9.1-11） fxaxaxaxaxaxxxxxxxnnnnnnn11232211013221nm 112110mm

12、mmxbxbxbxbyfbxbabxbabxbabxbabfxaxaxaxaxabxbxbxbxbynnnnnnnnnnnnnnnnnnnn）（）（）（）（）（111222111001123221101122110 它可写为标准形式 式中各矢量为 当 时，各系数矩阵分别为 （9.1-12）)()()()()()(tDftCxtytBftAxtx）（）（）（）（）（tytytftfxxxtxTnn1111211nm 010001000010000101110111210DbbbCBaaaaAmmTnnnn 当 时，各系数矩阵分别为（9.1-13） nm nnnnnnnTnnnnbDbabbabb

13、abCBaaaaA111111001112101000100001000010）（）（2.间接法建立系统的状态方程和输出方程：1)根据系统的输入-输出方程建立系统的状态方程和输出方程。 (1)对于一般n阶常系数微(差)分方程，选取 （或 ）为状态变量，把n阶微（差）分方程化为关于状态变量的一阶微（差）分方程组。 (2)将状态变量 代入一般n阶常系数微（差）分方程，得到系统的输出方程。2)根据系统转移函数建立系统的状态方程和输出方程方法为： (1)对于一般线性时不变连续（离散）系统，根据系统函数可画出其方框图或信号流图。 (2)选积分器的输出（或延时元件的状态）为状态变量，根据方框图或信号流图写

14、出状态方程和输出方程。.)()()()2()1(，tytyty.2 1，kykyky)(tx9.1.3 系统的可控性和可观察性系统的可控性和可观察性 在状态方程中，如果系统矩阵A和控制矩阵B 都是确定的，系统输入只影响输出矩阵C。故这种动态方程称为可控标准型可控标准型或能控标准型能控标准型。 在状态方程中，如果系统矩阵A和输出矩阵C 都是确定的，系统输入只影响控制矩阵B。这种动态方程称为可观察标准型可观察标准型。 对于同一个系统而言，可控标准型与可观察标准型的系统矩阵A互为转置；两种标准型的控制矩阵B和输出矩阵C互为转置。 系统状态的可控制性，是指输入对系统的内部状态控制的能力，即在输入作用下

15、，系统能否在有限时间内，从起始状态转移到指定状态。 对于多输入系统，通过线性变换，分析系统的可控性的步骤为： 1.如果状态方程的系统矩阵A不是对角阵，通过线性变换，利用变换矩阵P，将它化为对角阵（先根据系统的特征多项式，令 ，求出A的特征根；求对应于特征根 的特征矢量 ，其中 满足方程 ，构成一个变换矩阵 ；最后得 为对角阵）。 2.将控制矩阵B化为 ，则系统可控的充要条件是，矩阵 中没有任何一行元素全部为零。0)det( AIiTii.21Tii.210.21iiiAI122211211,.PP和APPAg1BPBg1BP1 系统状态的可观测性是指根据系统的输出来确定系统状态的情况，即通过观

16、测有限时间内的输出，能否确定（或识别）系统的各个状态。 对于多输入系统，通过线性变换，分析系统的可观测性的步骤为： 1.如果状态方程的系统矩阵A不是对角阵，通过线性变换，利用变换矩阵P，将它化为对角阵(先根据系统的特征多项式，令 ，求出A的特征根；求对应于特征根 的特征矢量 ，其中 满足方程 ；构成一个变换矩阵为 ；最后得 为对角阵)。 2.将输出矩阵C化为 ，则系统可观测的充要条件是，矩阵 中没有任何一列元素全部为零。0)det( AIiTii.21Tii.210.21iiiAI122211211,.PP和APPAg1CPCgCPCg【例【例9.1-1】根据图】根据图9.1-5，建立系统的状

17、态方程。，建立系统的状态方程。图图9.1-5 电路网络电路网络解：选电容电压 和电感电流 、 为状态变量，并令 对于连接有电容C的节点b，可列出电流方程为 cuL2iL3i12233CLLxuxixi321xxdtdxC 选包含L2的回路和包含L3的回路，列出两个独立电压方程为 将以上方程稍加整理，就得到状态方程的标准形式：)(3331221xiRdtdxLxudtdxLxuSSSSSiuLRLLxxxLRLLCCxxx3323213323211010001001110【例【例9.1-2】 写出图写出图9.1-6所示电路网络的状态方程，若以所示电路网络的状态方程，若以R5上上的电压的电压u5和

18、电流和电流i1为输出，列出输出方程。为输出，列出输出方程。解：选电感电容 和电压电流为状态变量，并令 对于接有电容的节点a，列出电流方程： 选仅包含电感L2的回路和仅包含电感L1的回路，列出电压方程为： 图图9.1-6 电路网络电路网络 注意到 的 和 的 ，都不是我们选定的状态变量，应予消去。为此，可选 组成的回路，可列出电压方程为 L2L1ii 、cu11223LLCxixixu213xxxc4431155322,iRxxLiRxxL4R4i5R5i54sR,R,u5544iRiRuS 取节点b，列出其节点电流方程为 ，通过代入化简，可解得 稍加整理后，可得电路网络的状态方程，其矩阵形式为

19、网络的输出，即 上的电压 和电源电流 为稍加整理，可得输出方程： 345xcii)(1)(124145452515544xRxRuRRixRxRuRRiSSSuRRLRRRLRxxxccLRRLRRRRLRRLRRLRRRRLRRxxx0)()(0111)()(1)()(542554143212542545425415415454154321SRsu1i41125551ixiyiRuy suRRRxxxRRRRRRRRiuyy11001554321545454541521【例【例9.1-3】 写出如图写出如图9.1-7所示电路网络的状态方程。所示电路网络的状态方程。解：图9.1-7中有理想电压

20、源 与电容组成的回路，故电容电压 中只能选其中之一为独立状态变量。图中还有只连接理想电流源 和电感 的节点，故电感电流 中只能选其中之一为独立状态变量。 选 和 为状态变量，并令 图图9.1-7 电路网络电路网络 则电容 上的电压和电感 中的电流可写为 对于节点a 和由 组成的回路，可列出方程为su31c,cc3c1u,usi42LL 、L4L2i ,ic1uL2i1122CLxuxi3c4L244133xiiixuuuSLSC4421R,L,L,c044442212333311iRdtdiLdtdxLxxRudtdxcdtdxc 通过代入，化简，可解得 将上式加以整理，就可写成标准形式的状态

21、方程为 0442244221231313311iRdtdxLdtdiLdtdxLxxRxRudtdxcdtducdtdxcsSdtdidtduLLLccciuLLRccRxxLLRLLccccRxxsSsS42431424313214244231313210000)(111)(1【例【例9.1-4】 根据图根据图9.1-8，建立系统的状态方程和输出方程。，建立系统的状态方程和输出方程。 图图9.1-8 二阶连续系统的模拟图二阶连续系统的模拟图解：选各积分器输出端为状态变量，如上图所示。列写系统的状态方程和输出方程，有 和它可写为标准形式 式中各矢量为 各系数矩阵分别为1221232xxxxxf

22、 212xxy)()()()()()(tDftCxtytBftAxtx）（）（）（）（）（tytytftfxxtxTn11112110 12 10231011211222DCBAT【例【例9.1-5】 写出图写出图9.1-9离散系统的状态方程及输出方程。离散系统的状态方程及输出方程。 图图9.1-9 二阶离散系统的模拟图二阶离散系统的模拟图解：选各延时器输出端为状态变量，如上图所示。列写系统的状态方程和输出方程，则有和 。 它可写为标准形式式中各矢量为 各系数矩阵分别为22 1 121221kfkxkxkxkxkx4221kxkxky 1kDfkCxkykBfkAxkx11112112kyky

23、kfkfxxkxT042 10221011211222DCBAT【例【例9.1-6】某一系统由一个三阶系统微分方程描述为】某一系统由一个三阶系统微分方程描述为 试列出它的状态方程和输出方程。试列出它的状态方程和输出方程。解：如果 和 时的输入 为已知，则系统未来的状态就能完全确定。我们选取 为状态变量。令 则 将上式代入，可得 故状态方程写为标准形式，则为 其输出方程即为 若把它写为标准形式，为 )()()()()(10)1(11)2(12)3(1tftyatyatyaty)0(),0(),0()2(1)1(11yyy)(tf)()(),()2(1)1(11tytyty和11xy(1)21xy

24、(2)31xy12112213xyxxyx（ ）（ ）fxaxaxafyayayayx32211021311110313）（）（）（ fxxxaaaxxx10010001032121032111xy fxxxy000132110t【例【例9.1-7】根据下列差分方程，建立系统该系统的状态方程和】根据下列差分方程，建立系统该系统的状态方程和输出方程。输出方程。解：因 为已知时，就能完全地确定未来的状态。 因此可选 作状态变量。 令则有 故该离散系统的状态方程写成矩阵形式，则为 其输出方程为 32 1012kfkyakyakyaky 12,3kfyyy及和 12,3kkykyy和123 3 2 1

25、x ky kx ky kx ky k 123 1 1 1,2 132211021033221kfkxakxakxakfkyakyakyakykxkxkykxkxkykx100100010321310321kfkxkxkxaaakxkxkx321310kfkxkxkxaaaky【例【例9.1-8】根据下列传输函数，建立系统的状态方程和输出方】根据下列传输函数，建立系统的状态方程和输出方程。程。解：（1）将 分解为 系统函数用串联结构形式画出其方框图，如图9.1-10(a)所示。图图9.1-10(a) 系统的串联结构形式方框图系统的串联结构形式方框图 ）（）（）（）（32142sssssH）（sH

26、322411sssssH）（ 选积分器的输出为状态变量，则有和 写成矩阵形式为fxxxxxxxxxx33322232112243）（12xy fxxxxxx100100120123321321321002xxxy（2）将系统函数展开为系统函数用并联结构形式画出其方框图如图9.1-10(b)所示。 选积分器的输出为状态变量，有和 其矩阵形式为 图图9.1-10 (b) 系统的并联结构形式方框图系统的并联结构形式方框图 24341123123sH sssssss（）（ ）（）（）（）fxxfxxfxx3322113232143xxxy fxxxxxx111300120001321321321143

27、xxxy【例【例9.1-9】某一离散系统描述的转移函数为】某一离散系统描述的转移函数为 ，试列出可控标准型、可观察标准型、并联结构形式、串联结构试列出可控标准型、可观察标准型、并联结构形式、串联结构形式形式4种形式的状态方程和输出方程。种形式的状态方程和输出方程。解：（1）先将转移函数整理为一般形式，画出描述系统的模拟图，再得到系统的可控标准型动态方程。 因 根据上述整理后的系统函数，画出描述二阶离散系统的模拟图如图9.1-11(a)所示。图图9.1-11(a) 二阶离散系统的模拟图二阶离散系统的模拟图22242zzzzH）（21212231243242zzzzzzzzH）（ 选各延时单元输出

28、端为状态变量，如上图所示。 列写系统的状态方程和输出方程，则有 和它可写为标准形式： 式中各矢量为： 32 1 121221kfkxkxkxkxkx4221kxkxky 1kDfkCxkykBfkAxkx2 1121 11 1 Tx kxxf kf ky ky k04210321011211222DCBAT（2）将转移函数 转置， 画出描述系统的转置模拟图如图9.1-11(b)所示，再得到系统的可观察标准型动态方程。 图图9.1-11(b) 二阶离散系统的转置模拟图二阶离散系统的转置模拟图 选各延时单元输出端为状态变量，如上图所示。列写系统的状态方程和输出方程，有 和 它可写为标准形式 式中各

29、矢量为 21212231243242zzzzzzzzH）（43 122 121221kfkxkxkxkfkxkx2kxky 1kDfkCxkykBfkAxkx2 1121 11 1 Tx kxxf kf ky ky k0,10,42,312011211222DCBAT(3) 将转移函数整理为 ，画出描述系统的并联结构形式模拟图如图9.1-11(c) 示，可得系统的可观察标准型动态方程。 选各延时单元输出端为状态变量，如右图所示。 列写系统的状态方程和输出方程，则有 和 图图9.1-11 (c) 系统的并联结构形式方框图系统的并联结构形式方框图 它可写为标准形 式中各矢量为 1111221612

30、3242zzzzzzzzH）（ 12 12211kfkxkxkfkxkx2621kxkxky 1kDfkCxkykBfkAxkx2 1121 11 1 Tx kxxf kf ky ky k0,26,11,100211211222DCBAT(4) 将转移函数整理为 ，画出描述系统的串联结构形式模拟图如图9.1-11(d)示，再得到系统的可控标准型动态方程。图图9.1-11 (d) 系统的串联结构形式方框图系统的串联结构形式方框图 选各延时单元输出端为状态变量，如上图所示。列写系统状态方程和输出方程，有 和 ，它可写为标准形式 式中各矢量为 11112211243242zzzzzzzzH）（2 1

31、422 122211kfkxkxkfkxkxkx1kxky, 1kDfkCxkykBfkAxkx2 1121 11 1 Tx kxxf kf ky ky k0,01,14,202211211222DCBAT【例【例9.1-10】描述某系统的动态方程为】描述某系统的动态方程为 ，输出方程为输出方程为 ，若选另一组状态变量，若选另一组状态变量 ， ，试求出用试求出用 表示的动态方程。表示的动态方程。解：状态向量 与新的状态矢量 之间的关系可写为 显然有 即即得 和 fxxxx1222652121 fxxy212121gg，21221,xxgxg21gg ，Txxx21Tggg2121211110

32、xxgg212112101111110ggggxx0111p1112222211102134101131gggffggg 11221111211101ggyffgg 【例【例9.1-11】 如有两个连续系统，其状态方程分别为如有两个连续系统，其状态方程分别为试判断系统试判断系统a和和b是否可控。是否可控。解： 对于系统a和b，因系统矩阵A相同，只有控制矩阵不同。 首先求模态矩阵P： 系统矩阵A的特征多项式为 其特征根为 。 对于 特征矢量 满足方程 即 所以有 可以任意，选 。 对于 特征矢量 满足方程 即 ，得 。)()(1001)(3012)()()(1111)(3012)(2121tft

33、ftxtxtftftxtxbbaa) 3)(2(3012det)det(AI3221，21T2111021111AI00320122211111210，11132T2212022122AI00330123221202212 选 ，则 。 于是得模态矩阵 对于系统a，有它有一行元素全为零，故系统a不可控。 对于系统b，有 它没有全为零的行，故系统b是可控的。112122101110111PP1100111110111BP1011100110111BP【例【例9.1-12】如有两个离散系统，它们的状态方程相同，为】如有两个离散系统，它们的状态方程相同，为其输出方程分别为其输出方程分别为试判断系统试

34、判断系统a和和b是否可观测是否可观测。解： 这里系统矩阵A与上例相同，故其模态矩阵P也相同， 对于系统a，有 矩阵CP中有零元素，所以系统a是不可观测的。 对于系统b，有矩阵CP中没有零元素，所以系统b是可观测的。10013012 12121kfkfkxkxkx01112121kfkxkxkykfkxkxkyba1011P01101111CP11101101CP【例【例9.1-13】某一线性非时变系数的状态方程和输出方程为】某一线性非时变系数的状态方程和输出方程为 试考察：试考察：（1）系统的可控性和可观性；）系统的可控性和可观性；（2）求系统的转移函数，并分析结果。）求系统的转移函数，并分析

35、结果。解: （1）为将系统矩阵A化为对角阵，先求模态矩阵P。 A的特征多项式其特征根为 。)(122)()()(200030121)()()(321321tftxtxtxtxtxtx)()()(112)(321txtxtxty) 3)(2)(1(200030121det)det(AI3, 21321， 对于各 ，有特征矢量 满足方程 对于 ，有 ，故有 。 对于 ，有 ，故有 对于 ，有 ，故有 所以得模态矩阵 ，其逆 )3 , 2 , 1( iii0321iiiiAI1100000004012031211110113121，选22000000050121322212，和00321222。选1

36、3221330005000001243323130240231333，。，则选212313010100111333231232221131211P05 . 0010015 . 011P 对状态方程和输出方程进行线性变换。得变换后的状态方程和输出方程为 将有关矩阵代入后，得 由于控制矩阵 有零元素，故系统不完全可控。即状态变量 的系统是不可控的。 由于输出矩阵 有零元素，故系统不完全可观。即状态变量 的系统是不可观的。)()()()()(11tfBtgAtBfPtAPgPtggg)()()(tgCtCPgtyg)(110)()()(300020001)()()(321321tftgtgtgtgt

37、gtg)()()(012)(321tgtgtgty)110(1BPBg即 tg1) 012(CPCg即 tg3（2）系统转移函数 根据系统转移函数将有关矩阵代入上式，得gggBAsICsHsH1)()()(11000( )21002010031(2)(3)0002100(1)(3)0100(1)(2)1(1)(3)1(1)(2)(3)(1)(2)(3)2sH ssssssssssssssssss 由转移函数的结果看： （1）由于转移函数的结果有极点和零点互相抵消，故系统存在不可控或不可观的情况，但仅仅从系统的转移函数不能判定系统那些状态变量不可控或不可观测。 （2） 从转移函数的最终结果 ，系

38、统有唯一的极点 ，这表明系统是稳定的。但是在计算 的过程中有一个在右半平面的极点 （不稳定点）和零点互相抵消了。实际上，在系统内部“潜在”着不稳定因素，而这一点仅从输出是观测不到的。 因此，仅仅利用系统的转移函数分析系统，实际是不能完全地把系统的状态表示出来的，这也是利用状态变量分析方法比利用系统的转移函数分析系统的优点所在。 21)(ssH2s sH3s 9.2 状态方程、输出方程的时域求解方法状态方程、输出方程的时域求解方法 如果列矢量的分量是时间的函数，即 （9.2-1）则称其为时变列矢量。 如果矩阵的元素是时间的函数，即 （9.2-2）则称其为时变矩阵。 时变矢量和时变矩阵的加法、数乘

39、、乘法运算满足定常矢量和矩阵的运算规律。 )()()()(21txtxtxtxn)()()()()()()()()()(212222111211tatatatatatatatatatAnnnnnn 矢量 和矩阵 可定义其导数和积分。 矢量 对时间的导数可用 ，其定义为 （9.2-3） 矩阵 对时间的导数可用 ，其定义为 （9.2-4） tx tA tx)()(txtxdtd或)()()()()(21txtxtxdttdxtxn tA)()(tAtAdtd或)()()()()()()()()()()(212222111211tatatatatatatatatadttdAtAnnnnnn 类似地，

40、可以定义矢量和矩阵的积分为 （9.2-5） （9.2-6） 如果A是mn矩阵，那么 或 也是nn矩阵，称为A的特征矩阵。 或者 是 的多项式，称为A的特征多项式。 或 称为A的特征方程，它的根称为特征根。 由定义式可知A的特征根就是特征值。21212121)()()()(21ttnttttttdttxdttxdttxdttx2121212121)()()()()(1111ttnnttnttnttttdttadttadttadttadttA）（IA）（AI ）（IAdet）（AI det0det）（IA0det）（AI 我们规定A的特征多项式为 （9.2-7）其特征方程 一般而言，nn矩阵A的特

41、征多项式 是一个 的n次多项式 （9.2-8） 这是系数为矩阵的多项式，可称为矩阵多项式。 任何nn方阵A恒满足它自己的特征方程式，即（9.2-9）上式称为凯莱-哈密顿定理。凯莱-哈密顿定理有许多推论。 ）（AIpdet)(0det）（）（AIp)(p）（AIpdet)(niiinnnnaaaaa011100)(Ap 如果A是非奇异的，则有（9.2-10） 上式表明，若已知A的特征多项式 的系数，则仅用矩阵乘法，就可求得逆矩阵 。 若A为nn方阵，可以表达为矩阵指数函数（9.2-11）同样地 （9.2-12）)(11212101nnnnAaAaAaIaaA)(p1A02!1! 21iiAAiA

42、AIe022! 2iiiAtAitAttAIe 矩阵指数函数有以下重要性质：(1)若A为nn对角阵 则(2)对任意非时变方阵，有 （9.2-13）(3) （9.2-14）nA00000021tttAtknkkneeeeA0000000000002121AeAeedtdAtAtAt2121)(AtAtttAeee(4)不论A为任何方阵， 恒有逆，且 （9.2-15）(5)如果A和B都是nn方阵，且可交换，即若 ，则（9.2-16）(6)对于nn方阵A，若有非奇异矩阵P，则（9.2-17）Ate1)(AtAteeBAAB tBAAtBtBtAteeeee)(PePePAPAPPAtAPtPkk11

43、11)( 对于一个线性非时变系统，状态方程是一组常系数一阶线性微分方程，有 （9.2-18）式中 是 时的状态矢量，即初始状态矢量。上式中的第一项只与初始状态 有关，是系统状态矢量的零输入解；第二项只与输入矢量 有关，是系统状态矢量的零状态解。 系统的输出矢量（9.2-19） 系统的输出矢量由二部分组成，上式中的第一项是输入为零时的响应，即零输入响应；括号内的项是状态为零时的响应，即零状态响应。dBfetxedBfeetxetxtttAttAttAAtttA000000）（）（）（）（）（）（）（）（)(0tx0tt ）（0tx）（tf）（）（）（）（）（）（）（）（）（tDftfBtCxtC

44、dBfeCxCetyttAAt*000 若用 表示输出矢量的零状态响应，则有 （9.2-20） 也可以写为 （9.2-21）式中 （9.2-22）称之为冲激响应矩阵，其中 是一个的对角方阵： ）（tyf）（）（）（）（tCftfBtCtyf*）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（tfthtftttfttfttyf*DBCDBC)()()(tDBtCth）（t）（）（）（）（tttt000000 对于一个离散系统动态方程的一般形式为 （9.2-22） （9.2-23） 在时域上求解矢量差分方程的方法之一是迭代法或递推法。若已知 时的状态 和 时的输入 ，则将它们代入状态方程式，并逐次迭代，可得

45、 1kBfkAxkxkDfkCxky0kk 0kx0kk kf00000020000003200001211132212.x kAx kBf kx kAx kBf kA x kABf kBf kx kAx kBf kA x kA Bf kABf kBf k00012000. 1111k kk kk kx kAx kBf kAx kABf kABf kBf k 或写为 （9.2-24） 如果 ，则 在时域上求解矢量差分方程的方法之二是求解指数函数矩阵的方法，即 （9.2-25） 系统的输出 （9.2-26）上式第一项是零输入响应，第二项是零状态响应。10100kiikkkiBfAkxAkx00k

46、1010kiikkiBfAxAkx11100 0 01 01 kkkkiiix kA xABf ik xki Bf ik xkBf k 0k 100101kDfkfBkCxkCkDfiBfCAxCAkykiikk0k【例【例9.2-1】一个连续系统由下列方程描述：】一个连续系统由下列方程描述：初始状态初始状态 ，输入，输入 ，求系统的状态响应，求系统的状态响应和输出响应。和输出响应。解：(1)求状态转移矩阵 由给定方程，可知系统矩阵系统的特征多项式 其特征根 。它们都是单根。 可求得状态转移矩阵 ）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（tftftxtxtytytftftxtxtxtx2

47、121212121210101101101101021110021）（）（xx）（t1021A）（）（）（111021detdetAIp1, 121ttttttAteeeeeeet010100011）（）（）（）（）（ttUtftf21(2)求状态响应 将有关矩阵代入，得 其中第一项是零输入解，第二项是零状态解。其全解为）（）（）（）（）（tfBtxttx*012101*110000*ttttttttttttttttttttttx tU tU teeeeeeeeeex ttteeeeeeeU teteeeU te （）（）（）（）（）（）（） （）（）（）22201ttteete0212222

48、1teeetxtxttt）（）（(3)求输出响应 将 和 代入到输出方程，得 其中第一项是零输入响应，第二项是零状态响应。该系统的全响应为 )(tx)(tf1122111011222011001101021211ttttttttttty tx tU tU teeey tx ttteeeeeeee （）（）（）（）（）（）（）（）0t02221teetytytt）（）（【例【例9.2-2】如图】如图9.2-1所示网络，已知所示网络，已知 ，若指定电感电压若指定电感电压 和电容电压和电容电压 为输出，求冲激响应矩阵。为输出，求冲激响应矩阵。解：(1)列出状态方程和输出方程。 选电感电流 和电容电压

49、为状态变量，令 列出节点a的电流方程和 、L、C 回路的电压方程为 图图9.2-2 一个电路网络一个电路网络 稍加整理，就得到状态方程的标准形式21121RFCHL，）（tuL）（tuC）（tiL）（tuC12Lcxixusu21212xxLuRxixxCssssiuCLIxxRCCLxx10011102121 将数值代入为 令电感电压 为输出 ，则有 令电容电压 为输出 ，有 于是得输出方程 ssiuxxxx100221202121）（tuL）（ty121xuuysL）（tuC）（ty222xy ssCLiuxxuuyy000110102121(2)求状态转移矩阵 系统矩阵 ，其特征多项式为

50、其特征根 。它们都是单根。 用指数矩阵多项式展开法，状态转移矩阵可写为 系数 和 满足 将 代入得 由上式可解得因而有 可得状态转移矩阵 ）（t2120A22212detdet2）（AI1121j，AIeAt1012ttee21210110,11, 1121jjjtjteejeej11101110,teeejeteeeetjtjtttjtjttsin2cos2110）（）（）（ttetsincos2）（）（）（）（ttetetettetetteetttttttAtsincossinsin2sincos2120sin1001sincos(3)求冲激响应矩阵 由所列方程可知，各系数矩阵 可得冲激响

51、应矩阵000110101002DCB，)sin(cossin2)sin(cossin2)()(00)(00011002)sin(cossin2sin2)sin(cos1010)()()(ttetettetetttttetetettetDBtCthtttttttt【例【例9.2-3】一个离散系统由下列方程描述，用迭代方法求系统状态响应。】一个离散系统由下列方程描述，用迭代方法求系统状态响应。 初始状态初始状态 。解：将输入 和状态逐次代入状态方程式，即： 令 ，得 令 ，得 令 ，得 如此递推可得 114/14/102/1 1 12121kfkxkxkxkx000021xxkf0k1k2k 11

52、111004/14/102/1 1 1 21xx 2/12/1011114/14/102/12221xx 4/14/10112/12/14/14/102/1 3 321xx02/12/11121kkxkxkk，【例【例9.2-4】一个离散系统由下列方程描述：】一个离散系统由下列方程描述：初态及输入为初态及输入为 ，求系统状态响应和输出响应。，求系统状态响应和输出响应。解：（1）求状态转移矩阵 由给定方程知，系统矩阵 其特征多项式 其特征根为 。故状态转移矩阵 001211105610 1 121212121kfkxkxkykykfkxkxkxkx210021kukfxx，）（）（5610A)3

53、)(2(65561detdet2）（AI111131213(2)2(3)(2)(3) 2362636(2)6(3)2(2)3(3)3(2)2(3)(2)(3)3(2)2(3)(2)(3)kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkA3221，（2）求状态方程响应 由式 ，将有关矩阵代入，得状态方程的零输入响应 状态方程的零状态响应 10kfBkxkkx111111(2)3(2)2(3)(2)(3) 023(2)2(3)(2)(3)(2)kkkkkxkkkkkx kk x 111111110(2)(3)3(2)2(3)(2)(3) 1 ( )13(2)2(3)(2)(3)(2)(3)1 (2)1 (

54、3)11(2)(3)1 21 32211 (2)1 (3)(21 21 3kkkkkkfkkkkkkkkkkkkx kkBf ku ku k 11,012)(3)2kkk（3）求输出响应 由式 ，将有关矩阵代入，得零输入响应零状态响应 10kDfkfBkCxkCky111(2)3(2) 0,0210(2)kkxky kCk xk1111(2)(3)11022 1 21110(2)(3)221 3(2)2(3),011(3)22kkfkkkkkykCkBf kDf ku kk 或者，由单位响应矩阵 求系统的零状态响应1111111)3()3(4)2(30010)3()2()3(2)2(3)3()

55、2()3(2)2(31211 1kkkkkkkkkkkkkDBkCkh11113(2)4(3) (3)1 (2)1 (3)341 3(2)2(3)1 21 3,011(3)1 (3)221 3kkfkkkkkkkykh kf ku kk 9.3 状态方程、输出方程的变换求解方法状态方程、输出方程的变换求解方法 对于线性非时变连续系统，其的状态方程是由一组常系数一阶线性微分方程表达的，单边拉普拉斯变换是求解线性微分方程的有力工具，它把微分方程变成代数方程求解。 对状态方程式取拉普拉斯变换，得 即 （9.3-1） 上式是状态矢量 的拉普拉斯变换。由式可见，其第一项的逆变换将是状态矢量的零输入解，第

56、二项的逆变换是状态矢量的零状态解。 取上式第一项的拉普拉斯逆变换，考虑到 是常数矩阵，得状态矢量的零输入解 （9.3-2） 取上式第二项的拉普拉斯逆变换，得状态矢量的零状态解 （9.3-3） ）（）（）（）（sBFsAXxssX0）（）（）（）（）（sBFAsIxAsIsX110)(tx)0( x）（）（）（）（）（）（000)(1111xAsIxAsIxttxx)()(11sBFAsItxf）（ 对输出方程式取拉普拉斯变换，得 （9.3-4） 取拉普拉斯逆变换，输出矢量的零输入响应为 （9.3-5）其中 。 输出矢量的零状态响应为 （9.3-6）其中 。 对于线性位移不变离散系统，其的状态方

57、程是由一组常系数一阶线性差分方程表达的，Z变换是求解线性差分方程的有力工具，它把差分方程变成代数方程求解。）（）（）（sDFsCXsY)0()()(1xsCtyx1)(）（）（AsIts)()()(1fsFsHtyDBsCsH)()( 则状态方程的Z变换为 （9.3-7） 上式第一项是状态矢量 零输入解的象函数，第二项是零状态解的象函数。 对上式第一项，取逆Z变换，考虑到 是常量矩阵，得状态矢量 零输入响应 （9.3-8） 状态矢量 零状态响应 （9.3-9） 输出方程的Z变换为 （9.3-10）)()(0)()(11zBFAzIzxAzIzXkx0 xkx0)(0)(01111xzAzIzx

58、AzIxkkxxkx)()(11ZBFAzIkxf)()()(zDFzCXzY 定义 （9.3-11）输出方程的Z变换为（9.3-12） 上式的第一项是输出零输入响应象函数矩阵，第二项是输出零状态响应象函数矩阵。 输出矢量的零输入响应为 （9.3-13）输出矢量的零状态响应为 （9.3-14）其中 。 对于线性非时变连续系统，我们知道，如果系统函数的极点都在左半开平面，则系统是稳定的。判断特征根是否在左半平面可以用罗斯-霍尔维兹准则。 zAzIkz1)()()()(0)()()(0)()()()(0)()(111zFzHxzCzFDBzCzxzCzDFzBFAzICzxAzICzY0)(1xz

59、Ckyx)()(1zFzHkyfDBAzICDBzCzzH11)()()()(sH 在用状态变量分析系统时，系统函数矩阵 （9.3-15） 由于 所以 （9.3-16） 所以 的极点是 的根，就是系统状态方程的特征根，也是系统的固有频率（自然频率）。 如果系统函数矩阵 在 轴上收敛，则系统的频率响应矩阵 （9.3-17） 对于线性位移不变离散系统，我们知道，如果系统函数的极点都在单位圆内，则系统是稳定的, 判断特征根是否在单位圆内可以用朱里准则。DBAsICDBsCsH1)()()(）（）（）（AsIAsIAsIdetadj1）（）（）（）（AsIAsIDBAsICsHdetdetadj(s)

60、H0det）（AsI)(sHjDBAIjCsHjHjs1)()()( 在用状态变量分析系统时，系统函数矩阵 是一个 矩阵，它是单位响应矩阵 的Z变换。 系统函数矩阵 的极点是特征方程 的根。也是系统的固有频率（自然频率）。 如果系统函数矩阵 在单位圆上收敛，则系统频率特征矩阵 DBAzICDBzCzzH11)()()(pqkh)(zH0)det( AzI)(zHDBAIeCzHeHTjezTjTj1)()()(【例【例9.3-1】 某线性非时连续变系统的状态方程和输出方程为某线性非时连续变系统的状态方程和输出方程为试求状态转移矩阵试求状态转移矩阵 和冲激响应矩阵和冲激响应矩阵 。解： 用变换法