模块五测量误差的基本知识项目5.3误差传播定律的应用

1、模块五 测量误差的基本知识 项目5.3 误差传播定律的应用2典型工作任务5.3误差传播定律的应用3/7/20225.3误差传播定律的应用误差传播定律的应用 一、误差传播定律一、误差传播定律 二、注意事项二、注意事项 三、应用举例三、应用举例3/7/20225.3误差传播定律的应用L 在实际工作中，有些未知量经常不能直接测定，必须由直接观测值间接推算出来。如多边形的内角和，而是直接测定内角，然后相加得出内角和，因此，多边形的内角和为各个独立观测角的函数。又如，对某段距离作了n次同精度丈量得，求该段长度的算术平均值，即 niinlL1用三角高程测量的方法测量地面上两点的高差h，是通过观测的水平距离

2、D和竖直角 ；，按照函数关系 tanDh 来计算的，等等。以上各式都称函数式，可以 )(xfy 测表示。显然，在直接观测的情况下，观测值的中误差和观测值表示。显然，在直接观函数的中误差存在着一定的关系。阐述独立观测值中误差和观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律，它在测量中应用十分广泛。), 2 , 1(1nil 3/7/2022一、误差传播定律一、误差传播定律 设z是独立观测量x1，x2，xn的函数，即 ),(21nxxxfz 式中： x1，x2，xn为互相独立的直接观测量，它们相应的观测值的中误差分别为m1，m 2，mn。 当x1，x2，xn分别有真误差x1，x2，xn时，则函数

3、z随之产生真误差z，因误差x（i=1,2,n）是一个微小数值，变量的误差与函数误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。把 ),(21nxxxfz微分得 nniizdxxfdxxfdxxfdxxfd 2211 如将上式中的微分量“d”改用真误差“”，则得3/7/2022nniixxfxxfxxfxxfz 2211式中 ixf代入偏导数后求出的数值，故均为常数。 根据中误差的定义，即可直接写出中误差关系式：为函数z分别对各变量 xi 的偏导数，并将观测值xi22222221212nnzmxfmxfmxfm 则观测值的函数z的中误差为:2222222121nnzmxfmxfmxfm (56)

4、 3/7/2022等于该函数对每个观测值所求得的偏导数值与相应观测值中误差乘积的平方取总和再求平方根。 从公式（56）的推导过程可以总结出应用误差传播定律时的几个步骤： （1）写出函数式，如 ),(21nxxxfz （2）对函数z进行全微分，即 nniizdxxfdxxfdxxfdxxfd 2211，分别求出 ixf（3）将 ixf、 im带入关系式（56）求出 zm 根据关系式（56）可导出下列简单函数式的中误差传播公式（见表52）。3/7/2022表表52 简单函数式的中误差传播公式简单函数式的中误差传播公式kxz xzkmm knxxxz 2122221xnxxzmmmm nnxkxkx

5、kz 22112222222121nnzxkxkxkm 函数名称函数式中误差传播公式备注倍数函数 为常数和差函数线性函数3/7/2022 二、注意事项 应用误差传播定律应注意以下两点： 1要正确列出函数式 【例53】用长30 m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为 lm =5 mm，求全长D及其中误差mD。1）函数式 D=10l按倍数函数式求全长中误差，将得出 =1030=300 mmmmmlD50102）实际上全长应是10个尺段之和，故函数式应为 1021lllD 用和差函数式求全长中误差，因各段中误差均相等，故得全长中误差为 mmmmlD1610按实际情况分析用和差公式是正确的，用倍

6、数公式是错误的。 3/7/2022 2在函数式中各个观测值必须相互独立，即互不相关。 【例54】有函数式：z=y1+2y2=1 (a) 而： y1=3x; y2=2x+2 (b) 若已知x的中误差为mx，求z的中误差mz。 1）直接用公式计算,由（a）式得：21214yyzmmm由（b）式得： xyxymmmm2,321 代入（c）式得 xxxzmmmm5)2(4)3(22（上面所得的结果是 错误） 上面的结果为什么是错误的 ？3/7/2022 因为y1和y2都是x的函数，它们不是互相独立的观测值，因此在（a）式的基础上不能应用误差传播定律。 正确的做法是：先把(b)式代入(a)式，再把同类项

7、合并，然后用误差传播定律计算。xzmmxxxz7571)22(233/7/2022 【例55】在1:500地形图上，量得某线段的平距为 dAB = 51.2 mm 0.2 mm，求AB的实地平距DAB及其中误差mD 。 解： 函数关系为：DAB = 500 dAB = 25 600 mm m d = 0.2 mm 。 代入误差传播公式中， 得：mD2 = 5002 md2 = 10000 mD = 100 mm 最后得：DAB = 25.6 0.1 m 三、应用举例3/7/2022 【例56】某建筑场地已划定为长方形，独立地测定其长和宽分别为a=30.000m,b=15.000m,其中误差分别

8、为ma=0.005m, mb=0.003m,求该场地面积A及其中误差mA。 解：函数关系式为 A=ab 属于倍数函数 该场地面积得 A=ab=450.000m2 求函数对各观测值的偏导函数得 mabAmbaA000.30,000.15转换成中误差表达式并求得值为 2222222222013725. 0)003. 0(000.30)005. 0(000.15mmambmbaAmmA117. 03/7/2022 【例57】水准测量中，已知后视读数a =1.734 m，前视读数b=0.476 m，中误差分别为ma=0.002 m，mb=0.003 m，请同学们试求两点的高差及其中误差。 解：函数关系式为h=a-b，属和差函数，得 mmmmmmbahbah004. 00036. 0003. 0002. 0258. 1476. 0734. 12222两点的高差结果可写为1.258 m0.004 m。3/7/2022 【例58】在斜坡上丈量距离，其斜距为L=247.50 m，中误差mL=0.05 m，并测得倾斜角=1034，其中误差m=3，请同学求水平距离D及其中误差mD。 解: 1）首先列出函数式 cosLD 2）水平距离 mDo303.2433410cos50.247这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分3）先求出各偏导值如下