第6章离散傅里叶级数、离散时间傅里叶变换与DFT

1、第第6章章 离散傅里叶级数、离散时间傅里叶变换与离散傅里叶级数、离散时间傅里叶变换与DFT 6.1 信号抽样及抽样定理信号抽样及抽样定理6.2 周期离散时间信号的离散傅里叶周期离散时间信号的离散傅里叶级数表示及系统响应级数表示及系统响应 6.3 非周期离散时间信号的离散时间非周期离散时间信号的离散时间傅里叶变换及系统响应傅里叶变换及系统响应 6.4 离散傅里叶变换离散傅里叶变换 6 .1 信号抽样及抽样定理信号抽样及抽样定理 在许多实际问题中，常常需要将连续时间信号变为离散时间信号，这就要对信号进行抽样（取样或采样）。 对信号的抽样过程可概括为利用抽样脉冲序列 从连续时间信号 中“抽取”一系列

2、离散样值的过程，这样得到的离散信号通常称为抽样信号抽样信号或取样信号取样信号，用表示 ，如图6.1-1所示。 抽样后的信号 （6.1-1）式中，抽样脉冲序列 也称为开关函数开关函数。如其各脉冲间隔时间相同，均为 ，则称为均匀抽样均匀抽样。 称为抽样（取样）周期抽样（取样）周期， 称为抽样频率抽样频率或抽样率抽样率， 称为抽样角频率抽样角频率。)(ts)(tf)(tfs)()()(tstftfs)(tssTsTssTf1ssf2图6.1-1 连续时间信号抽样为离散时间信号 抽样信号的频谱抽样信号的频谱 (1)设抽样脉冲序列 是周期冲激函数序列 ， ，抽样冲激序列的频谱函数为 抽样后的信号为 抽样

3、后的信号的频谱则为 如果信号 的频谱 为如图6.1-2(a)所示，当时，抽样信号 的频谱函数 如图6.1-2(b)所示。 )(tsnsTnTtt)()(ssT2nsssTntFtsFss)()()()()()()()()(ttftstftfsTsnssTsnjFtFtfFjFs)(*)(21)(*)(21)(nssnssnjFTnjFT)(1)(*)(1)(tf)(jF)(tfs)(jFsms2抽样信号的频谱抽样信号的频谱 (a) (b) 图6.1-2 抽样信号 的频谱 )(tfs抽样信号的频谱抽样信号的频谱(2)如果抽样脉冲序列 是窄脉冲序列，即它是幅度为1，脉宽为的门序列，如图6.1-3所

4、示。图6.1-3 抽样脉冲序列 是门函数序列 可写为 窄脉冲序列的傅里叶变换为 )(ts)(ts)(tsssnsTTnTtgtpts2, )()()(nsssTnnSaTtpFjP)(22)()(抽样信号的频谱抽样信号的频谱 抽样后信号 是 与开关信号 的乘积： 抽样后信号 的频谱函数 为： 如果信号 的频谱 为如图6.1-4(a)所示，当 时，抽样后信号 的频谱函数 如图6.1-4(b)所示。 )(tfs)(tf)(tpT)()()()()(tptftstftfTs)(tfs)(jFsnsssnssssnjFnSaTjFnSaTjF)(2)(*)(2)()(tf)(jFms2)(tfs)(j

5、Fs抽样信号的频谱抽样信号的频谱 (a) (b)图6.1-4 信号的频谱 由此可见，抽样信号 的频谱函数 由原信号的频谱 的无限个频移所组成，其频移的角频率为 。)(tfs)(jFs)(tf)(jFsn), 2, 1, 0(n 如果信号 的频带是有限的，这样的信号称为有限频带有限频带信号信号或简称带限信号带限信号。 如果信号 的频带是有限的，就是说，信号 的频谱只在区间 为有限值，如果取样角频率 ，那么，由原信号 的频谱 的无限个频移所组成的频谱函数 中各频移的频谱不会相互重叠。如果 ，那么各频移的频谱将相互重叠，频谱重叠的这种现象称为混叠现象混叠现象。 如果由原信号 的频谱 的无限个频移所组

6、成的频谱函数 中各频移的频谱不相互重叠，则可利用低通滤波器，从 中得到 ，从而恢复原信号 。 为了从抽样后的离散信号恢复原连续信号，其系统实现框图如图6.1-5所示。 图6.1-5 从抽样后的离散信号恢复 原连续信号的系统实现框图)(tf)(tf)(tf)(tf)(tf)(tf),(mmms2)(jF)(jFsms2)(jF)(jFs)(jFs)(jF 从抽样后的离散信号频谱 中无失真地选出原连续信号的频谱 ，可用一截止频率 的理想低通滤波器。 若选理想低通滤波器的网络函数为 且选 ，如图6.1-6所示。 图6.1-6 理想低通滤波器的传输函数频谱 利用傅氏变换的对称性，得理想低通滤波器的冲激

7、响应为 若选 ，则 )(jFs)(jFcmccsTjH,0,)(cm)()(tSaTthccs2smc)21()(tSaths 由于抽样后的信号抽样后的信号通过理想低通滤波器后，输出信号为 （6.1-2） 由此表明，连续信号 可以展开成正交抽样函数（Sa函数）的无穷级数，该级数的系数等于抽样值 。即，若在抽样信号 的每个样点处，画一个峰值为 的Sa的函数波形，那么其合成波就是原信号 ，因此只要知道各抽样值 ，就能唯一地确定出原信号。这也称为采样内插，这一公式中 称为内插函数内插函数。nssnsnssnTtnTfnTttfnTttftf)()()()()()()(nssnsssnssssntSa

8、nTfnTtSanTftSanTtnTfthtftf2)()(2)(2*)()()(*)()()(tf)(snTf)(snTf)(snTf)(tf)(snTf)(snTtg抽样定理抽样定理 时域抽样定理时域抽样定理： 一个频谱在区间 以外为零的有限频带信号 ，可唯一地由其在均匀间隔 上的样点值 所确定。 由时域抽样定理可知：为了能从抽样信号 恢复原信号 必须满足两个条件： 信号 必须是限带信号，其频谱函数在 时为零； 抽样频率不能太低，必须 （或 ），或者说抽样间隔不能太长，必须 。 通常把最低允许抽样频率 称为奈奎斯特频率奈奎斯特频率，把最大允许抽样间隔 称为奈奎斯特间隔奈奎斯特间隔。),(

9、mm)(tfmssfTT21)(snTf)(tfs)(tf)(tfmms2msff2msfT21msff2mmsfT21频域抽样定理频域抽样定理 频域抽样定理频域抽样定理： 一个在时间区域 以外为零的有限时间信号 的频谱函数 ，可唯一地由其在均匀频率间隔 上的样点值 所确定。且有 （6.1-3）式中 。 ),(mmtt)(tf)(jFmsstff21)(sjnFnmmntSatnjFjF)()(smft21模拟信号数字化处理系统模拟信号数字化处理系统 模拟信号数字化处理系统结构如图6.1-7所示的结构，它由模数转换、数字信号处理和数模转换三部分组成。图图6.1-7 模拟信号数字化处理系统结构模

10、拟信号数字化处理系统结构（1）模数转换：要对模拟信号实现数字化处理，首先要将模拟信号离散化。在实际中，让模拟信号通过一个A/D转换器就实现了信号数字化。A/D转换器是一个具有取样、量化和编码功能的采样保持电路。由于本书主要关心的是模拟信号转化为离散信号的问题，所认下面仅仅把A/D转换器看作一个采样器，采样器可用一个开关表示。 模拟信号数字化处理系统模拟信号数字化处理系统（2）数字信号处理： 通过A/D转换以后，模拟信号被转换为数字信号，数字信号处理由离散系统完成，包括传输、数字滤波等，输入是离散信号，输出也是离散信号。（3）数模转换： 数字信号处理输出的离散信号需要通过一个模拟恢复滤波器再转换

11、成模拟信号。一般常应用的模拟恢复滤波器有低通滤波器、零阶保持电路和RC滤波器，通常称为数模转换器（常简称D/A）。 零阶保持电路零阶保持电路 一个零阶保持电路方框图如图6.1-8所示。 图图6.1-8 零阶保持电路零阶保持电路 一个零阶保持电路就是由取样值再现为连续信号的一个粗糙的复制器，如果输入为 的取样信号 ，则其输出为一个与相似的阶梯信号，如图6.1-9所示。 图图6.1-9 零阶保持电路的输出零阶保持电路的输出)(tf)(tfs tf零阶保持电路零阶保持电路 由零阶保持电路方框图，可得： 。零阶保持电路的频率特性 即 由 幅频特性可以看出，零阶保持电路具有低通特性，如图6.1-10所示

12、。 图图6.1-10 零阶保持电路零阶保持电路 幅频特性幅频特性)()()(Ttututh2)(1)(TjTjejHjejH)2(2)2sin()cos1 (2sincos1)(TsaTTTTTTjTjH)(jH)(jH【例【例6.1-1】求对应下列信号的奈奎斯特频率。】求对应下列信号的奈奎斯特频率。(1) (2) (3) 解：根据时域抽样定理，(1) 因为 ，故 。(2) 由于 ，(3) 由于 , ； 若取3db截止角频率 ，则 。)4000sin()2000cos(1)(tttxtttx)4000sin()(2)4000sin()(tttxms24000m8000s4000|04000|)

13、()4000sin()(1AFtttx80004000sm，2)4000sin()(tttx8000|08000|)20|1 ()()(21)(11BFFF16000s800032c10000s【例【例6.1-2】 已知已知 ，现用采样频率，现用采样频率对信号进行采样，试画出采样后信号的频谱。为使采样信号通对信号进行采样，试画出采样后信号的频谱。为使采样信号通过一个理想低通滤波器后的频谱为过一个理想低通滤波器后的频谱为 ，试求，试求理想低通滤波器的传输函数。理想低通滤波器的传输函数。解: 因 ，而 ， 信号的频谱如图6.1-11所示。 又因 采样后信号的频谱如图6.1-12所示。 要求通过一个

14、理想低通滤波器后的信号频谱为 ，故理想低通滤波器 。) 110(cos)(101)(2tttf30scFG|),(5)(1222)5()5(sin5) 110(cos)(101)(tttttf)(515)5sin(10gtt10|010|10|1)(51)(51(521)(1010ggF)30(15)(1)(nFnFTGss)(5)()(jFjHG10,010,3/1)( jH图图6.1-11 信号的频谱信号的频谱 图图6.1-12 采样后信号的频谱采样后信号的频谱 6.2 周期离散时间信号的离散傅里叶级数周期离散时间信号的离散傅里叶级数表示及系统响应表示及系统响应 6.2.1 周期序列的离散

15、傅里叶级数表示周期序列的离散傅里叶级数表示 6.2.2 线性移位不变离散时间系统线性移位不变离散时间系统 对周期序列的响应对周期序列的响应6.2.1 周期序列的离散傅里叶级数表示周期序列的离散傅里叶级数表示 一个周期的离散时间信号满足 （6.2-1）式中N是某一正整数，是 的周期。 我们来研究复指数序列 ，因为它是周期序列，其周期为N，基波频率为 （6.2-2） 呈谐波关系的复指数序列集（6.2-3）也是周期序列，其中每个分量的频率是 的整数倍。 NkxkxkxkNje)/2(N/20,.2, 1, 0,/2nekNkjnn0 值得注意的是，在一个周期为N的复指数序列中，只有N个复指数序列是独

16、立的， 等N个是互不相同的。这是因为 。这与连续时间复指数函数集 中有无限多个互不相同的复指函数是不同的。 对于任一个基波周期为N的周期序列 可用N个成谐波关系的复指数序列的加权和表示。即 （6.2-4）式中，求和限 表示求和仅需包括N项， 。 将周期序列表示成式（6.2-4）的形式就称为离散傅里叶级数表达。而系数 则称为离散傅里叶系数离散傅里叶系数。,.,110kkkkkkkrNnNnn3,. 2, 1, 0, =k ,0tjkekxNnNnNkjnnnneCkCkx/2 Nn1,.,2 , 1 , 0NnnC离散傅里叶系数的两种求解方法离散傅里叶系数的两种求解方法 1.解联立方程法 如果已

17、知 在任一基波周期N内的N个值（样本），即 则由式（6.2-4）可得N个方程： 联解这一组方程，就可得系数 。nCkx,1.,2,1 ,0NxxxxNnNnCCCCx110.0NNjNNnNjNjnneCeCCeCx/ )1(21/210)/2( 1 NNjNNNjNnNNnjneCeCCeCNx/)1(21/ )1(210/ )1(22. 1nCnC离散傅里叶系数的两种求解方法离散傅里叶系数的两种求解方法2.正交函数系数法 与连续傅里叶系数求和类似，利用复指数序列 周期序列的正交特性，可得： （6.2-5） 式（6.2-4）和（6.2-5）确定了周期离散时间信号 和其傅里叶系数 之间的关系，

18、可记为 （6.2-6） 傅里叶系数 也称为 的频谱系数。可以简单证明：（6.2-7） 由于 ，可以说 以2为周期，或者说它是以N为周期的离散频率序列，这表明周期的离散时间函数对应于频域为周期的离散频率函数。 且当 为实序列时，对所有的n值，存在关系 。nCnNje)/2(kNjnNknekxNC)/2(1kxnCnCkxnCkxNnnCCNn/2nCkx*nnCC【例【例6.2-1】一个连续信号】一个连续信号 ，以采样，以采样频率频率 进行采样，采样后的离散时间序列为进行采样，采样后的离散时间序列为 ，试计，试计算的离散傅里叶级数系数。算的离散傅里叶级数系数。解： 以采样频率 对 进行采样后，

19、得 ， 因第一项的周期为10，因第二项的周期为4，最小公倍数为20，故 的周期为20。 将 展开为离散傅里叶级数，即 。故 的离散傅里叶级数系数为 ， ， 。 )500cos()200cos()(tBtAtxHzfs1000kxHzfs1000)(tx)2cos()5cos(kBkAkxkxkxkjkjkjkjeBeBeAeAkx1520252021820222022222kx2182ACC2155BCC其它值, 0为nCn【例【例6.2-2】分析一个周期序列】分析一个周期序列 的离散傅里叶级数。的离散傅里叶级数。解： （1）当 为一个整数时， 是一个周期为N的序列，将直接开展成复指数形式，得

20、 。故 ，一个周期内有一对谱线出现在 处。（2）当 为一个有理分数时， 是一个基波周期为的序列，将 直接开展成复指数形式，得 。故 ，即一个周期内有一对谱线出现在 处。（3）当 为一个无理数时， 不是一个周期序列，不宜将展成离散傅里叶级数形式。 kkx0sin02N02N02Nkkx0sinkkx0sinkkx0sinkxjeekxkNjkNj2/ )/2()/2(,.13 , 12 , 1, 1,21,21NNNnjCjCnn1kxjeekxkNmjkNmj2/ )/2()/2(,2 ,2 ,21,21mNmNmNmnjCjCnnmkx【例【例6.2-3】已知】已知 , 式中式中N为整数，求

21、其频谱。为整数，求其频谱。解: 这个信号是周期的，其周期为N。将 直接开展成复指数形式，得 将相应项归并后，得 可得而在长度为N的周期内，其余系数均为0。)2/4cos()/2cos(3)/2sin(1NkkNkNkxkx2/ 32/ 1)/2()/2()/2()/2(kNjkNjkNjkNjeejeekx2/ )2/4()2/4(NkjNkjeekNjkNjejejkx)/2()/2()2/12/3()2/12/3(1kNjjkNjjeeee)/2(22/)/2(22/)2/()2/(*11102/12/3,2/12/3, 1CjCjCC*2222/1, 2/1CjCjC【例【例6.2-4】

22、计算图】计算图6.2-1所示周期序列的频谱。所示周期序列的频谱。解： 从图6.2-1中可见，这个序列是对 轴对称的。因此，求和时选择一个对称区间比较方便。故 令 则： 图图6.2-1 一个周期序列一个周期序列 利用有限项几何级数求和公式 ， 可得：0n11)/2(2/2/)/2(11NNnnNjkNNnnNjkkeNenxNC,1Nnm111120)/2()/2(20)(/2(11NmmNjkNNjkNmNmNjkkeeNeNC1011MmMmaaa)()(1)11(12/22/22/2/ )2/1(2/ )2/1(2)2/1(2)/2()/2()12)(/2()/2(111111NkjNkj

23、NkjNNkjNNkjNjNNjNjkNNjkNNjkkeeeeeeeNeeeNC,.2, 0,/ ) 12(,.2, 0,)/sin(/ )2/1(2sin(111NNkNNNNkNkNNkN6.2.2 线性移位不变离散时间系统对周期序列的响应线性移位不变离散时间系统对周期序列的响应 线性移位不变（LTI）离散时间系统对复指数序列的响应。与连续时间情况一样，用复指数序列作为基本信号是因为它是线性移位不变离散时间系统的特征函数。即若在线性移位不变系统输入 ，则输出 （6.2-8） 令 （6.2-9） 可见，若 是一个复指数序列 ，则输出 就是同样的复指数序列 乘以常数 。 又称为离散系统传输函

24、数，根据 的定义，也称 为 的Z变换。 kzknnknnkzzHznhzznhkxkhky)(*nnznhzH)(kxkzky)(zH)(zHnnznhzH)()(zHkhkx 如果令 ，则系统输出为（6.2-10）若 ，则 （6.2-11） 可见，系统的输出是N个成谐波关系复指数序列的加权和，每一个复指数序列的系数是相应的输入序列的系数 乘以 。 当输入信号为 ， (6.2-12) 当输入正弦序列 时，这里 ，f是输入信号频率，T是取样信号周期，系统的稳态输出为 (6.2-13)kjnjezkxez,kjjkjeeHezHky)()(NeCkxkjNnn/2,0kjjNnneeHCky)(n

25、C)/2(nNkjeHkuAekxkj)()()()(kueeHAkueeAHkuezAHkyTjeHkjjkjjkj)sin(kuTkAkxf2sinkueHTkeHAkyjwTTj稳态 可见，若当离散系统的输入是角频率为 ，取样周期为T的复指数序列（或正弦序列）时，系统的稳态响应也应该是同频率、同取样周期的复指数序列（或正弦序列），它的模被乘上了在点 上计算的 的模，它的相位增加了该信号通过系统时产生的相移 。 当系统稳定时， 就称为离散系统的频率特性，这里 称为系统在频率为 时的频率特性，或表达为 ，其中 称为在频率为 时的幅频特性， 称为在频率为 时的相频特性。jwTez jwTeHj

26、wTdeH)(jezjzHeH| )()(TjezjwTzHeH| )(T)()()(djdTjeHeH)()(jwTdeHHTjwTdeH)(T【例【例6.2-5】一个周期序列】一个周期序列 的周期为的周期为8，其离散傅里叶级数的，其离散傅里叶级数的系数系数 ，该周期序列通过系统后输出为，该周期序列通过系统后输出为 ，且有，且有 。试求。试求 的离散傅里叶级数的系数及系统传的离散傅里叶级数的系数及系统传输函数。输函数。解：因周期序列 的周期为8， 的离散傅里叶级数的系数为 ， ，其离散傅里叶级数的系数为 ， 因 ，故 的离散傅里叶级数的系数为 ， 的离散傅里叶级数的系数为 。 根据 ，可得系

27、统传输函数为： kx4nnCCky 12) 1(1kxkykkykx 1 kxnjneC82kjkekxkx 1 1) 1()4(824njneC4nnCC 1) 1(kxknjneC82 12) 1(1kxkyknjneC82NnnNjkNnjneeHCky)/2(/2)(8282)(njnjeeH【例【例6.2-6】试求以下系统频率响应的幅频特性和相频特性。】试求以下系统频率响应的幅频特性和相频特性。解： 根据 可求得系统的频率响应为：令 ，有 115 . 011)(zzzH)(zHTjTTjTeezHeHTjTjezTjTjsin5 . 0cos5 . 01sincos15 . 011)

28、()(jjeTTTeT2222)sin5 . 0()cos5 . 01 (sin)cos1 (jTjjTjAeeBee5 . 01,1)cos1 (2sin)cos1 (22TTTBTTTAcos25. 1)sin5 . 0()cos5 . 01 (22TTarctgTTarctgcos5 . 01sin5 . 0,cos1sin 又 可得幅频特性为 相频特性为分别如图6.2-2(a)和(b)所示。 (a)幅频幅频 (b) 相频相频 图图6.2-2 由幅频和相频特性可见，它们都是以 周期重复变化的连续频谱。 )()()(djdTjeHeHTTABHdcos25. 1)cos1 (2)(TTTT

29、TTdcos1sin3arctancos5 . 01sin5 . 0arctancos1sinarctan)(T2【例【例6.2-7】某一离散系统脉冲响应】某一离散系统脉冲响应 ，当输，当输入入 ，求系统的零状态响应。，求系统的零状态响应。解：先求出 根据无穷项几何级数求和公式 ， 得到 故 设 ，N为一个整数， 是一个周期为N的序列，将 直接开展成复指数形式，得故即一个周期内有一对谱线出现在处。11,akuakhk)/2cos(Nkkx0)(kkkkkzazkhzH011mmrr111)(azzH)/2(/211| )()(/2NjezNjaezHeHNjN20kxkx2/ )()/2()/

30、2(kNjkNjeekx, 13 , 12 , 1, 1,21,21NNNnCCnn 求系统响应得 若令 ，则 若 N=4， ， 则 ， 所以 kNjNjkNjNjeeHeeHky)/2(/2)/2(/2)(21)(21kNjNjkNjNjeaeeae)/2(/2)/2(/211211121jNjreae/211jNjreae/211)/2cos(2121)/2()/2(NkrrerekyNkjNkjjaaej11114/2aararctan,112)arctan/2cos(112aNkaky【例【例6.2-8】 一个一个LTI离散系统，系统函数离散系统，系统函数 ，系，系统的输入为幅度等于统

31、的输入为幅度等于10V，频率为，频率为100Hz的正弦序列，设抽样的正弦序列，设抽样频率为频率为1200Hz，求其稳态输出。，求其稳态输出。解：因输入信号幅度 ，输入频率 ， 抽样频率 ， 故 ，输入信号表达为 。 根据系统函数 ，可得： 将 代入求出 和 。 根据系统的稳态输出为故可得系统的正弦稳态输出 。111( )0.41 0.2zH zzVA10Hzf100HzT1200/162fTT)122sin(10kukkx111( )0.41 0.2zH zz11)(2 . 01)(14 . 0)()(TjTjezTjeezHeHTj62fTT11)(2 . 01)(14 . 0)(TjTjT

32、jeeeH924. 0)(TjeH9 .21)(TjeHsinkueHTkeHAkyjwTTj稳态9 .216sin24. 9kukky稳态6.3 非周期离散时间信号的离散时间傅里叶非周期离散时间信号的离散时间傅里叶变换及系统响应变换及系统响应 6.3.1 非周期序列的离散时间非周期序列的离散时间傅里叶变换表达傅里叶变换表达6.3.2 线性移位不变离散时间系统线性移位不变离散时间系统对非周期序列的响应对非周期序列的响应 6.3.1 非周期序列的离散时间傅里叶变换表达非周期序列的离散时间傅里叶变换表达 对于一个非周期序列 ，可以看成是一个周期序列 ，其周期为N，令N 时，非周期序列和周期序列相同

33、。这样，若在周期序列的离散傅里叶级数里令N ，则此级数的极限也就是非周期序列。 因周期序列 的离散傅里叶级数对为 ， 因 ，在区间（-N/2，N/2）内，非周期序列 =周期序列 ，在极限的情况下，N ，上式可表达为（6.3-1）kxkxkx2/2/)/2(NNnkNjnneCkx2/2/)/2(1NNknNjknekxNCNk /2kxkxkkjnekxNC 我们定义 的包络 为（6.3-2）称为非周期序列 的离散时间傅里叶变换， 是周期为的连续频率函数，也称为非周期序列 的频谱密度函数。 同样，在极限的情况下， ， 。 故 （6.3-3） 显然，如果 绝对可和，即 ，则离散时间傅里叶变换的收

34、敛条件为序列绝对可和。 nNC)(jeXkkjjekxeX)(kx)(jeX2kxdN200ndeeXkxkjj)(21kxkkx一个周期序列和一个非周期序列的关系一个周期序列和一个非周期序列的关系 一个非周期序列 可以看成是周期序列 中的一个周期，即： 。 若周期序列 ，非周期序列 ，即非周期序列 的离散时间傅里叶变换 是周期序列 的离散傅里叶系数 的包络函数，周期序列 的离散傅里叶系数 是非周期序列 的离散时间傅里叶变换 的抽样值。即（6.3-4）kxkx1, ,0NMkMkxkx周期序列其他nCkx)(jeXkxkx)(jeXkxnNCkxnCkx)(1jeXNNnjneXNC/2)(1

35、 表示周期序列的频谱。此频谱是离散的、周期的，其频谱周期为N 。 表示非周期序列 的频谱密度函数。此频谱是连续、周期的、其频谱周期为 。 当然，一个周期内周期序列 ，因 ， 的一个周期内离散傅里叶频谱也可表达为频谱密度函数的形式： （6.3-5） nC)(jeXkx22/2/)/2(NNnkNjnkeCkx)/2(2)/2(NnjenNjkkx)/2(2)(2/2/NnCeXnNNnj【例【例6.3-1】求图】求图6.3-1(a)所示序列的频谱。所示序列的频谱。解： 从图中可见，这个序列是对称的非周期方波序列， ， 故该非周期方波序列的频谱如图6.3-1 (b)所示。 (a) (b) 图6.3

36、-1 21N)2/sin()2/1(sin()(122NeeXnnjjnx)(jeX【例【例6.3-2】计算序列】计算序列 的频谱密度函数，并简述其的频谱密度函数，并简述其幅频及相频特性。幅频及相频特性。 解： 其中振幅频谱为 相位频谱为 振幅频谱和相位频谱如图6.3-2 (a)和 (b)所示。kuakxk)(0| )(|)sin(cos1111)(jjjkkjkkkjkjeeXjaaeeaekuaeXcos211| )(|2aaeXjcos1sin)(aaarctg (a) (b) 图图6.3-2【例【例6.3-3】求周期序列】求周期序列 的频谱，的频谱， ，且，且为一个整数，并画出周期序列

37、的频谱及频谱密度函数。为一个整数，并画出周期序列的频谱及频谱密度函数。解： 因 是一个周期为N的序列，将其直接开展成复指数形式，得 ，故周期序列的频谱 。即一个周期内有一对谱线出现在 处。 周期序列的频谱密度函数的形式可表达为 周期序列的频谱及频谱密度函数分别如图6.3-3(a)和(b)所示。 kxkkx0cos02Nkkx0cos)(21cos000kjkjeekkx211C1)2()2()(00nneXnj(a) (b)图图6.3-3【例【例6.3-4】计算周期信号】计算周期信号 的频谱密度函数的频谱密度函数.解： 根据 ，可得 。其频谱密度函数如图6.3-4所示。图图6.3-4 周期序列

38、的频谱密度函数周期序列的频谱密度函数 nnNkkxnnNkkxNCn1)/2(21)(NnNeXnj【例【例6.3-5】 试证明非周期的离散序列试证明非周期的离散序列 的时域求和。的时域求和。 ； 。 kx，时当对于0| )(, 0jnmeXmx)1/()(jjeeX其频谱为时，当0| )(0jeXnjjjneXeeX)2(| )()1 ()(0其频谱为解：令 则 将上式两边取傅里叶变换，得 显然，当 时， 虽然存在 ，不存在直流分量，故频谱为 ； 当 时， 存在直流分量， ，其频谱密度函数存在无限个冲击。故频谱为)(, ),(jkmjeYkymxkyeXkx 11kxmxmxkykykmkm

39、)1 ( / )()(),()()(jjjjjjjeeXeYeXeYeeY0| )(0jeX)(jeY00)1 ( / )(jjeeX0| )(0jeX)(jeY0| )(jeYkjjjkeXeeX)2(| )()1/()(0【例【例6.3-6】 试求试求 的频谱。的频谱。解： 因 ， 则 故 。kmmku1)(jeXkkx1| )(0jeXnjneku)2()1 ( 16.3.2 线性移位不变离散时间系统对线性移位不变离散时间系统对非周期序列的响应非周期序列的响应 根据线性移位不变（LTI）离散时间系统对复指数序列的响应，当系统的单位抽样响应为 时，当输入时，则系统输出为 令 ， 为数字频率

40、，可得系统输出为 （6.3-6） 当输入信号为 ，可得系统输出为 （6.3-7） khkjkezkxnnknnkznhzznhkxkhky*jez kjjkjeeHezHky)()(njjedeX)(21kjjjeeHdeXky)()(216.3.2 线性移位不变离散时间系统对线性移位不变离散时间系统对非周期序列的响应非周期序列的响应 当输入信号为 时，可得系统输出为（6.3-8）式中令 ，则 称为输出 的频谱。 deeXkxnjj)(21deeHeXkjjj)()(21)()()(jjjeHeXeY)(jeYky【例【例6.3-7】一个离散系统的单位脉冲响应】一个离散系统的单位脉冲响应 ，求

41、，求该系统对任一输入离散信号时的响应。该系统对任一输入离散信号时的响应。解： 因 故 可见该系统输出的频谱对输入的响应的频谱仅仅产生一个相移。 输出 为 可见该系统输出的时域响应对于输入信号仅仅产生一个时移。mkkh)(,jmjeXkxemkkhmjjjjjeeXeHeXeY)()()()(ky).(21)(mkxdeeXkymkjj【例【例6.3-8】已知某因果】已知某因果LTI系统的系统的 ， (1) 求系统的频率响应求系统的频率响应 ；(2) 求输入为求输入为 时系统的响应。时系统的响应。解：(1) (2)根据 ，我们分别考虑 两种情况。 ) 1|(|akuakhk)(jeH) 1|(|

42、bkubkxk) 1(11)()(00bbebeebekxeXjkkjkkjkkkjj)1)(1 (1)()()(jjjjjbeaeeXeHeY) 1|(|11)()(00aaeaeeaekheHjnkjkkjkkkjj)1)(1 (1jjbeaebaba 和 ， 系统响应 ， 系统响应ba )1)()1)()1)(1 (1)(jjjjjbebabaebaabeaeeYkubbabkuabaakykkba daedeajaeeYjjjj11)1 (1)(2) 1(kuakkyk6.4 离散傅里叶变换离散傅里叶变换6.4.1 DFT的定义的定义 6.4.2离散傅里叶变换的应用离散傅里叶变换的应用

43、 6.4.1 DFT的定义的定义 在我们实际生活中，经常遇到的是有限长的非周期序列。由于非周期序列 的傅里叶变换是个连续的频率函数 ，不方便进行数字处理。若把给定的有限长序列 ，作周期开拓得 ，则就是一个以N为周期的离散时间序列，其傅里叶系数为 。 是一个离散的、周期的频谱，其周期为N。取 中的一个周期，记以 ，则得N点 序列 （6.4-1）为了计算方便，我们引入符号 （6.4-2） （6.4-3）称为有限长序列的离散傅里叶变换, 简称为DFT。kx)(jeXNkkx0,kxNkkNjnnekxNC)/2(1nCnCnXnX1,.,1 , 0,1)(10)/2(NkekxNCnXNknNjkn

44、NjeW/21,.1 , 0,110NkWkxNnXNkkn 则序列 可表达为：（6.4-4） DFT变换对也可写成矩阵形式，即 （6.4-5） （6.4-6） kx1,.,1 , 0,10NnWnXkxNnkn 1 1 0 1. 1 02)1(1)1(0)1(1110000NXXXWWWWWWWWWNxxxNNN 1 1 01 1 1 02)1(1)1(0)1(1110000NxxxWWWWWWWWWNNXXXNNN 从DFT的定义可以看到，对于一个周期序列的 ，取其中的一个周期作DFT可得到一个N点 序列，以 作周期开拓可得到周期序列 的 。对于一个有限长非周期序列的作一个周期开拓，取其中

45、的一个周期作DFT可得到一个N点序列，以 作离散傅里叶反变换可得一个N点的有限长非周期序列 。 离散傅里叶变换与离散傅里级数以及离散时间傅里叶变换之间有紧密联系，离散傅里叶变换的很多性质在离散傅里叶级数和离散时间傅里叶变换中都找到对应的性质。并且其性质与连续傅里叶变换与傅里级数相似，详见教材P175表6.4-1。kxnXnXkxnCkxnXnXkx【例【例6.4-1】 计算周期序列计算周期序列 的的DFT。解： N=4， ，得令 依次代入上式，可得即 1 , 1 , 1 , 1kxjeWj4/2)()()(1 4113210nnnNkknjjjWkxNnX3 , 2 , 1 , 0n0)11

46、(4130) 1111 (412011 41 1 1 1111 410jjXXjjXXnnX【例【例6.4-2】 计算周期序列计算周期序列 的的DFT。解： N=4， ，得 0 , 1 , 2 , 1kxjeWj)4/2(4 32 1 041 32 1 09630642032100000 xxxxWWWWWWWWWWWWWWWWXXXX2021012111111111111141jjjjjj6.4.2离散傅里叶变换的应用离散傅里叶变换的应用 1. DFT对称性质的应用 (1) 用N点复序列DFT同时计算两个N点实序列DFT 通常要求计算DFT的原始序列都为实序列，如果应用DFT对称性质，可以只

47、用一次点序列的DFT计算，同时算出两个点实序列的DFT系数，从而提高一倍计算效率。具体做法如下： 令 和 是两个要求计算DFT系数的N点实序列，设它们的DFT系数分别为 和 。现在再按以下公式组成一个新序列 ， 为一个复序列，可以按公式 (5.4-2 )计算出它的DFT系数 。从 出发，通过简单的运算推出要求计算的 和 。 kx1 kx2 nX1 nX2 21kjxkxky ky nY nY nX2 nX1 根据DFT 线性性质有 按对称性质可得 从上面四个方程以 和 的实部和虚部为已知数， 和 的实部和虚部为未知数，可以解出 ： njXnXWkjxkxnYknNk211021 nXnXnNY

48、nXnXnNYnXnXnY212121ReIm-ImImReReReImIm nYnNX nX1 nX2 (6.4-7) (6.4-8) (6.4-9) (6.4-10) 这样只需作一次复序列的DFT，通过公式( 6.4-7) (6.4-10) 的组合就可以得到两个实序列的DFT系数了。 2)Re()Re(Re1nNYnYnX 2)Im()Im(Im1nNYnYnX 2)Im()Im(Re2nYnNYnX 2)Re()Re(Im2nYnNYnX(2)利用N点复序列的DFT计算2N点实序列的DFT 利用DFT的对称性质，也可以用N点复序列的DFT来计算2N点实序列的DFT。为此，令 是一个2N点

49、实序列，并把它分解为两个N点实序例 和 ： (6.4-11)即 是 中偶数序列号的点组成的序列， 是 中奇数序号的点组成的序列。把 和 组成N点复数序列 ： 。 kx kx1 kx2 1,.,1 , 0,12,221Nkkxkxkxkx kx1 kx kx2 kx kx1 kx2 ky kjxkxky21 令令 的的DFT为为 。一旦。一旦 计算出以后，按上面的方法计算出以后，按上面的方法从公式从公式( 6.4-7) -(6.4-10)( 6.4-7) -(6.4-10)可以推出可以推出 和和 的的DFT DFT 和和 。这样。这样 的的DFT DFT 可以按下面公式计算：可以按下面公式计算：

50、 (6.4-13)(6.4-13)式中式中 , , 。 离散傅里叶变换在数字信号处理的理论和实践中有着重要离散傅里叶变换在数字信号处理的理论和实践中有着重要的意义，就实践而言，面临的是如何把它具体算出来的问题。的意义，就实践而言，面临的是如何把它具体算出来的问题。研究这类算法称为快速傅里叶变换算法，简称研究这类算法称为快速傅里叶变换算法，简称FFTFFT。 ky nY nY kx1 kx2 nX1 nX2 kx nX 1,.1 , 022110221011202NknXWnXWkxWWkxWkxnXnNnkNNknNNknkNNknkNeNjNW2eNjNW22. 利用DFT方法计算信号的频谱

51、(1)若 是一个以N为周期的离散时间序列，其离散傅里叶级数系数为 。其中傅里叶系数 也称为 的频谱系数。 从DFT的定义可知，因 是以N为周期的离散频率序列，取 中的一个周期，记以 。故对于一个周期序列的 ，取其中的一个周期作DFT可得到一个N点序列 ，可得 （6.4-14） 故周期序列的频谱 是一个离散的、周期的频谱，其周期为N。kx10)/2()/2(11NknNjkNknNjknekxNekxNCnCkxnCnCnXkxnX1,.1 , 0,NnnXCnnC(2)若 是一个有限长非周期的离散时间序列，对于非周期序列 的离散傅里叶变换，是把周期序列在周期的 极限情况下导出的。 因此，对于一

52、个有限长非周期序列 的作一个周期开拓，取其中的一个周期作DFT可得到一个N点序列 ，又因 ，则有 （6.4-15） 故非周期序列 的频谱 是 的包络，是一个连续、周期的的频谱，其周期为 。 kxkxNkxnXnXCn1,.,1 , 0,/2NnnNXeXNnjkxjeXnNX2(3)对于一个周期模拟信号 ，其频谱就是连续傅里叶级数系数 ，是一个离散谱。在满足取样定义的条件下，可对 在 时采样，得到一个周期序列，其中一个周期内 。 这里 ， ， T、 分别代表时域和频域的取样间隔。取其中的一个周期作DFT可得到一个N点序列 ，则频谱 （6.4-16）故周期模拟信号 的频谱 是一个离散的非周期的的

53、频谱。 tXnF tX nt kttXkX) 1,.,1 , 0(Nk20N0TnX1,.,1 , 0,)(0NnnXFknk一个周期 tXkF(4)对于一个非周期有限长度的模拟信号 ，其频谱 是一个连续谱。在满足取样定义的条件下，可对 在 时采样，得到一个非周期有限长度序列，其中一个周期内 。 对于一个有限长非周期序列的 作一个周期开拓，取其中的一个周期作DFT可得到一个N点 序列，若用T、 分别代表时域和频域的取样间隔，若模拟信号的有限长度为L，则 。故有 （6.4-17） 故非周期模拟信号 的频谱 是一个周期的 的包络，是一个连续的非周期的频谱。 tX)(jX tX kt kttXkX) 1,.,1 , 0(NkkX)(nXTNL 1,.,1 , 0,| )(NnnNXjXn一个周期 tX)(jXnNX3. 利用DFT 求离散系统响应(1)若