经典讲义等比数列及其前n项和

1、(经典)讲义：等比数列及其前n项和1 .等比数列的定义如果一个数列从第2_项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公常用字母q_表示.2 .等比数列的通项公式设等比数列an的首项为ai,公比为q,则它的通项an=ai qn1.3 .等比中项若G2=a b(abw0),那么G叫做a与b的等比中项.4 .等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an= am qn m, (n, mC N+).若an为等比数列，且 k+i=m+ n(k, l, m, nCN+),则 ak a尸am，an.(3)若an, bn(项数相同)是等比数列,则入n(后0),

2、, a, an bn,仍是等 比数列.公比不为一1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn, S2n-Sn, S3n S2n仍成 等比数列，其公比为qn.5 .等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(qw0),其前n项和为Sn,当 q = 1 时，Sn = na1;当 qw1 时，Sn= = .【注意】色利川钻位相减法推导等比数列的一前n项和;2 . n 1Sn一三 一a【_ ± auq ± aq一±一 二:± auq_同乘 _q 得二qS三.aiq.+.aq2 ± atq3 土二二土 一 a1q1两一式相一减得一 (1二一Sn三a1_二a

3、1qn1一 Sn.三(q麦1).乙L由例±1 三二qan-q王0菱丕能立即断这一an为等比数列一还要验证田一堂0.7.2在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与qwl分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.8.等比数列的判断方法有：(1)je义法： 右= q(q 为非苓吊数)或=口 (q 为非夺 吊数且 n>2 且 nCN),贝Ua n 是等比数列.(2)中项公式法：在数列an中，2门金0且a=an an+2(nC N )_,则数列an是等比数列.通项公式法：若数列通项公式可写成an = c qn(c, q均是不为0的常数，n C N3则an是等比数歹1.

4、一、知识梳理1 .等比数列前n项和公式ai(1 qn) ai anq(q 1)1探索导引:Sn1 q 1 q|求和na1(q 1)S 1 2 4 L 263说明：对于等比数列的前n项和公式：从方程观点看：由等比数列的前n项和公式及通项公式可| 知，若已知ahq,n,an,Sn中的三个即可建立方程组求其余两个，j 即“知三求二”.在运用等比数列的前n项和公式时，一定要 注意讨论公比q是否为1.'探索导引：等比数列an中，已 知，S220, S460,求S6,并考虑等式一 一 一一 一 28(a S4) (S4 S2)是否成立？2 .与前n项和有关的等比数列的性质 若等比数列an中,公比为

5、q1,依次k项和Sk,S2k &,S3k S2k,L成公比为qk的等比数列.若等比数列aj的公比为q,且项数为2n(n N )，则说明：利用性质(1)可以快速的求出某些和.但在运用此性质 时，要注意是Sk,S2k Sk,S3k S2k,L成等比数列，而不是 Sm,S2m,S3m,成等比数列.二、方法(一)等差数列前n项和公式的应用理解例题1:在等比数列中，(1)已知 ai 3,q 2,求 a6，& ;1 1(2)已知 a12.7,q a ，求 n;390(3)已知a11包64,求q和S4 ;(4)已知 a3 3 S3 9 求 a1,q ;2 2知识体验：已知等比数 列的五个量a

6、1,an,q,n,S 中的任意三个求其他两 个时，要用等比数列的 通项公式以其及前n项 和公式.分析：在等比数列中有五个重要量ahan,q,n,Sn,只要已 知任意三个，就可以求出其他两个.其中a和q两个最 重要的量，通常要先求出4和q.解：(1)Qa6 &q5 3 25 96.QS6也上 X 189.1 q 1 2 n 111 n 1(2)Q an aq,2.7 (-)903(3)Q a4 a1q3,64 q3 , q 4a3 a1q2 (1)(4)2 29S3 a1(1 q q2) 一 (2)22(2) + ( 1)得1 q2 q 3q2q2 q 1 0 q 1 或q - 2当q

7、1时，a1 3,当q 1时，为 22(二)与等差数列前n项和有关的性质的应用理解例题2:等比数列an中Sm 12 ,S2m 36,求S3m.分析：在有关等比数列的问题中，均可化成有关&、q的 关系列方程求解.本题中注意下标的关系，可考虑用等 差数列前n项和的有关性质来简化运算.解法一：由 Sm 12,S2m 36,可知 q 1(若 q 1, S2m2Sm)m、Qa1(1 q )Sm1 q2m、 ca1(1 q )S2m1 q解法二：Q Sm,S2m12解得1 qm 3,36,Sm,S3m S2m成等比数列知识体验:在学习了等 比数列前n项和的有关 性质后，我们用其来求 解有关等差数列的

8、前n项和问 题.方法提炼:求解该类问 题一般有两种方法：可化成有关a1、q的 关系列方程组求解.可利用等比数列中连 续等段和成等比的性质 即性质(1)求解.二、例题18&,止匕时 S3 S6 2s9342本题有关等 比数列前n 项和的基本 运算的考 查.转化为关于 a1,q的方程 组求解.本题考查了 等比数列前 n项和公式 的运用和分 类讨论的思 想.因不知q的 值，故对q进 行讨论.本题考查了 等比数列连 续等段和成 等比的性 质.利用等比数 列分段和成 等比.考虑是否两 解都满足条 件.建议：已知 Sn,S3n 求 S2n 时，尽量列(一) 题型分类全析1 .等比数列前n项和公式的

9、基本运算例1 :在等比数列的an中：a3 ai 8乌 a4216§ 40,求公比q, 国 及n .思路直现：由已知两个条件，可建立关于ai,q的方程组，分别解出 ai,q的值，代入Sn即可求出n .解:由已知可得总结：在求数列的基本量问题时，把条件转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.例2已知数列an是等比数列，其前n项和& ,若S3 S6 2s9 ,求该数列的公比q.思路直现：由已知两个条件，可建立关于ai,q的方程组，分别解出ai,q的值,代入&即可求出n.解:若q 1 ,则& na,S386 3a16 al 9ai,249632q q q 0,即

10、2q6 q3 1 0,即(q3 1)(2q3 1) 0故 2q3 1 0q3- q2笔记：在使用等比数列的前n项和公式时，一定要注意公式的条件 若题目中不明确，应对q进行讨论.2 .利用等差数列的性质求和例3:等比数列aj中，S2 7£ 91,求S4思路直现：注意到，下标的关系，可考虑利用等比数列的性质解决.解:Q4是等比数列，Q S2,S4 S2,S6 S4 成等比7(91 S4) (S4 7)2,故 S2 7s4 588 0故 S4 28 或 S421注意到由 a1 a2 a3 a4 a1 a2 q2(a1 比)1 q20,S2a a?a a2S4,S2 同号，S4 28笔记：遇

11、到类似下标成倍数关系的前n项和问题，一般可考虑用等比 数列中依次k项和&,S2k Sk,S3k S2k,L成等比数列来解决，可简化计 算量.在已知Sn,S3n,利用这一性质求S2n时，要考虑是否会出现增根的 问题.例4已知一个项数为偶数，首项为1的等比数列，其奇数项的和为85, 偶数项的和为170，求这个数列的公比及项数.思路:本题涉及到项数为偶数的等比数列，且奇数项和与偶数项和都 已知，由此利用等比数列的性质即可求出公比，进而求其通项.解：Q该数列是一项数为偶数的等比数列q 匹 170 2 ,又 Q 0 % S偶 85 170 255S奇85故n 8阅题笔记：利用等比数列奇、偶项数和

12、的性质简单明了，运算量较 低.方程求解， 若用性质应 考虑是否会 出现增根.本题考查了 等比数列的 性质.* S偶 迷思-qS这个性质是 在项数为偶 数这一前提 下成立的.建议：巧用 特例，熟记 等差等比数 列奇偶项的 一些性质.3.某些特殊数列的求和例5:(1)已知数列an的通项公式an 2n n ,求该数列的前n项和Sn ；已知数列an的通项公式an 2n 3n,求该数列的前n项和S.解：(1) Q Sn a a2 a3 L % Q Sn ai a2 a3 L anOn 17= 2n1 3 722笔记:分组求和法适用于某些特殊数列的求和，这些特殊数列的通项 是可写成几个等比数列或等差数列的

13、和的形式.例6:已知数列an的通项公式an n 2n ,求该数列的前n项和Sn ; 思路:写出数列的前n项和注意其与等比数列形式类似，考虑用推导 等比数列求和的方法来求其前n项和.解：Q Sn 2 2 22 3 23 L n 2n考查数列的 分组求和问 题.等差等比数 列各自分组 求和.不同公比的 等比数列按 公比各自分 组求和建议：熟记 几种常见的 数列求和类型及其对应 方法.笔记:错位相减法适用与求一个等差数列与一个等比数列的积组成 的新数列的前n项和.(二)重点突破例 7： (2007天津)在数列 an 中，ai 2 , a01 4% 3n 1 , n N* .(I)证明数列an n是等

14、比数列；(n )求数列an的前n项和Sn ；(m)证明不等式Sn 1 < 4Sn ,对任意n N皆成立.思路直现：(1)由递推关系式构造出数列an n,并证明其是等比数列.利用分组求和法求出an的前n项和.考虑用作差法证明.(I )证明：由题设an 1 4an 3n 1 ,得an 1 (n 1) 4(an n) , n N .所以数列an n是首项为劣1 1,且公比为4的等比数列.(H)解：由(I )可知 an n 4n 2、 c -(3n n 4)< 0 .所以不等式Sn 1 W 4Sn ,对任意n N皆成立.笔记:本题实际上第一步的证明起到一个提示的作用，即应从递推关 系出发构

15、造出an n的形式，并证明其为等比数列.例8: (2007辽宁)已知数列an, bn满足a1 2 , b1 1,且1bn 114, n> 2 bn 11 ,an 4n 1 n .(田)证明：对任意的n N , j 1nS41 (n 1)(n 2) 4 4 1 n(n 1)Sn 1 4Sn(I)令Cnan bn,求数列g的通项公式;(II)求数列an的通项公式及前n项和公式Sn.思路:(1)由于要构造Cn,故把已知两式相加，即可得出规律.考查数列的 错位相减法 求和的问题。建议：错位 相减法是高 !考的一个常 考点，平时 训练给予重 视.本小题考查 等比数列的 概念、等比 数列的通项 公式

16、及前n 项和公式、 不等式的证 明利用递推关 系式证明数 列成等比.利用分组求 和法求和 利用作差比 较法证明不3an -an 141bn an 14建议：学会 解题的技 巧，有时候 题目的提示 往往在问题 当中.本小题主要3232(2)由(I)提示，可考虑两式相减.(I )解：由题设可得a, 即 Cn g 12 ( n > 2 )易知品是首项为a bicn 2n 1 .bn(an 1 bn 1)2(n > 2),3 ,公差为2的等差数列(II)解：由题设得an1人bn(an 1bn 1 )(n > 2) , d dnan2bn,则1 dn d2易知dn是首项为a1 b11,

17、公比为2的等比数列dn -2an由anbnbn阅题:这是2n 1,1 解得2n1道创新题，题目较为新颖，遇见题目不要慌乱，其实(1)问考查等差数 列、等比数 列等基础知 识，考查基 本运算能力 两式相加构 造 an bn 两式相减构 造 an bn列方程组求an分组求和求已经提示解答本题的方法，应整体考虑.Sn建议：在学 习中重视整 体思想的训 练.四、习题一、选择题1. (2008福建)设an是公比为正数的等比数列,若a 1,a5 16,则数列an前7项的和为A.63B.642.3.(2008浙江)已知an是等比数列，a2A.16(1 4n)B.16(1 2 n)C.32(1 4n)D.32

18、(1 2n) 33(2008海南)设等比数列an的公比q一_ 15A.2B.4C.-2C.12712, a5 -,贝 1 Qa2 a2a3 L42 ,前n项和为S ,则&a2D.128anan 1 =4.(2007陕西)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn ,若Sn2,S3n 14则S4n等于A.80B.30C.26D.165. (2006辽宁)在等比数列an中,& 2,前n项和为&,若数列a01也是等比 数列，则Sn等于A. 2n 1 2B.3nC.2nD. 3n 1121C.2(n n 2) 了iiD n(n 1) 2(1)223234 n. 2了 L 2T，

19、工B X A.2n 12n* 2n二、填空题二2D工.一n 1 八 n. n2228.等比数列an共2n项，其和为240,且奇数项的和比偶数项的和大n80,则公6.数列引4，31，45的前n项和为()1211a. 2m n 2)2，B.2n(n 1) 19 . (2007全国I )等比数列an的前n项和为&,已知G , 23, 30成等差数列, 则an的公比为10 .若等比数列an的前n项和为&满足包31,则此数列的公比q为S532三、解答题11 .( 2007全国H)设等比数列an的公比q 1,前n项和为Sn .已知a32,S45S2,求an的通项公式.12 .(2008全国

20、 I ).在数列 an 中，a1 1, % 1 2a02n.(I)设bn碧.证明：数列bn是等差数列;2(n )求数列an的前n项和Sn .13.已知数列an, bn满足：01心3a 一8,且 n13bn17an2anbn , n 28bn,(1)令Cn an bn ,求 Cn的通项公式；(2)求数列an, bn的通项公式；(3)求数列an的前n项和Sn习题答案1.C.分析：由a1 1,a5 16及an是公比为正数得公比q 2 ,所以S72c分析：Qan为等比数列,a5请，1 2q3 q 11 271 2127设bn anan1 ,。是首项为8,公比为1的等比数列.4aa2a2a33c分析：t

21、1 n81 (-)n 32anan1 b1 b2 Lbn 1 32(1 4n),1 -4国(1 q4)1 q 1 24 15aq224.B分析：Qan为等比数列,Sn，S2nSn，S3nS2n，S4n S3n 成等比Sn(S3nS2n)(&nSn)2 即 2(14&n)(&n 2)2S2n6 或&n4Q4各项均为正数，故 S2n Sn,故S2n 6,2,4,8,S4n S3n 成等比，所以 S4n S3n 16,S4n 305 .D分析:解：依题意，f(n)为首项为2,公比为23 8的前n4项和，根据等比数列的求和公式可得D6 . C分析：因数列an为等比，则a

22、n2qn1,因数列an 1也是等比数列，则2(an 1 1) (an 1)(a22 1)an 12an 1anan 2 an an 2an an 2 2an 1an(1 q2 2q) 0 q 1 ,即 an 2 ,所以 Sn7 .A 分析：Sn112-314L (n 二)2481628 .B分析:设S工刍g L二，则S 2 222222n ,故选择答案Co1 1(1 2 3 L n)(2 421 n 1 nL2221下)(1 )两式相减得1S 1L二3 22nrS 22二22 222n 2. 12n 122nI -29. 2分析:由题意可知240,80,80,160,因为等比数列共2n项,21

23、0.3分析：假设塔每层有an盏，塔尖有0盏,由题意知道数列an为公比为2的等比数列，a1(1 27)一S7 127a1 381 , a1 31 21八11. -分析：4s2Si3s3,即 4(a1a2)a13(a1a2 a3)a23a3.3解得an的公比q曳1a2312. 1分析Q数列an为等比数列，故S5,S10 S5,S15 S10成公比为q5的等比数 2列,故有5§0 S531,11q 111,q一S53232213 .分析：Qa1 S,a2 S2 S1, q确定，等比数列an唯一确定.由 S3a1a2a3也a2a2q得 q 1 0 即 q2(1 包)q1 0qqa2a2不能唯一确定q,从而该数列不能唯一确定qn1曳，n为奇数时，n 1为偶数，q不唯一，而该数列不能唯一确定 a1a1粤1唯一确定，等比数列an唯一确定 q故满足题意.14 .分析：由条件列出关于arq的方程组求解ahq进而得出结论.解：由题设知 ai 0,q 1, & a1(1 q ) , 1 q2 aiq2,则 ai(1 q4)ai(1 q2) 5 1 q1 q由得 1 q4 5(1 q2), (q2 4)(q2 1) 0 , (q 2)(q 2)(q 1)(q 1) 0, 因为q 1