必修5解三角形知识点归纳总结

1、第一章解三角形.正弦定理:接圆的直径，即上上 sin A sin B1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 并且都等于外上2R （其中R是三角形外接圆的半径） sin C2.变形:1）一 sinsinsin Csinsinsin C2）化边为角:a : b : c sin A: sin B :sin C 7asin A.bsin Basin A;bsin Bcsin Ccsin C3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC4 ）化角为边:5 ）化角为边:sin A a . -; sin B ba sin A 2Rsin Bb sin Aas

2、in Cc ' sin Cc 'bsin B , sin C 2R2R3 .利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题:4 .已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=18°0,求角A,由正弦定理gsn公；- "B;b sin B c sin Ca sin A t;求出b与cc sin C已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理a snA求出角B,由A+B+C=18t出角C,再使用正 b sin B弦定理a瓯公求出c边Ac sin C4. AABO,已知锐角A,边b,则a

3、bsinA时，B无解；a bsinA或a b时，B有一个解;bsinA a b时，B有两个解。如：已知A 60 ,a 2,b 2并，求B (有一个解)已知A 60 ,b 2,a 2/3，求B (有两个解)注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。二.三角形面积1 1 , . A 11. S abc absinC bcsin A acsin B 22212. S abc 1(a b c)r,其中r是二角形内切圆半径. 21 ,、3. S abc p P(P a)(P b)(P c),其中 p (a b c),24. Sabc 生c,R为外接圆半径4R5. S ABC 2R2sin Asin Bsin

4、 C ,R 为外接圆半径 三.余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2 ab22 c2倍，即,22b c 2bccos A22a c 2accos Ba2 b2 2abcosC2.变形：cos AcosB222c a2bc22, 2a c b2accosC2,22abc2ab注意整体代入，如：a2 c2 b2 ac1 cosB 一23 .利用余弦定理判断三角形形状:设a、b、c是 C的角、C的对边，则:c2 +2工 > 1二 a cos A => 0 <=> J < 90°若，如，所以上为锐角若c

5、2 b2 a2A为直角m 口 ：c7 +A2 口2 =c。号卅二 < O«-j4 > 900若'沏,所以工为钝角，贝叱C是钝角三角形4 .利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：1）已知三边，求三个角2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角四、应用题1.已知两角和一边（如A、B C）,2 .已知两边和夹角（如a、b 先求较短边所对的角，然后利科3 .已知两边和其中一边的对角 线、c视线+B+C=冗求 C, 。隔i余弦定理求c由正弦定理求a、b. 边；再应用正弦定理B+C =兀.求另一角水平线社工b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C求C,再由正弦定理或余

6、弦定翌求 c边，要注意解可能有多种情况.4 .已知三边a、b、c,应用分弦定理）5 .方向角一般是指以观测者的位置为中心; 旋转到目A、B,再由A+B+C =兀，求角C.将正北或正南方向作为起始方向 视线标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东XX度, 北偏西XX度，南偏东XX度，南偏西XX度.6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角.五、三角形中常见的结论1）三角形三角关系：A+B+C=180; C=18（° （A+B）;2）三角形三边关系：两边之和大于第三边：席a+ob ,。十以；两边之差小于第

7、三边：厘T a , s 亡 , c-h二值；3）在同一个三角形中大边对大角：A B a b sin A sin B4） 三角形内的诱导公式：sin( A B) sin C, cos(A B) cosC, tan(A B) tanC,tanA + 8一 k C、Csin= 5m()= cos2/21 / Ctan(- 25）两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin( a ± B) = sin a cos B ± cos a sin(2)cos( a ± (3) = cos a cos (3 ? sins sin (3 .(3)tan(tan a ±tan B“ 一B) 1? tan a tan B .6）二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2 a =2sin a cos a .(2)cos 2 sin2a = cos2 a sin 2 a = 2cos2 a 1=1 2sin 2 a .1 cos2 2 ;cos21 cos22(4)tan 22tan