202X版高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二第1课时绝对值三角不等式课件新人教A版选修4_5

1、第1课时绝对值三角不等式第一讲二绝对值不等式学习目标1.进一步理解绝对值的意义.2.理解并掌握绝对值三角不等式(定理1)及其几何解释，理解多个实数的绝对值不等式(定理2).3.会用定理1、定理2解决简单的绝对值不等式问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点绝对值三角不等式思考思考1实数实数a的绝对值的绝对值|a|的几何意义是什么？的几何意义是什么？答案答案|a|表示数轴上以表示数轴上以a为坐标的点为坐标的点A到原点的距离到原点的距离.思考思考2代数式代数式|x2|x3|的几何意义是什么？的几何意义是什么？答案表示数轴上的点答案表示数轴上的点x到点到点2,3的距离之和的距离之和.梳理

2、梳理(1)定理定理1：如果：如果a，b是实数，那么是实数，那么|ab|a|b|，当且仅当，当且仅当 时，等号成立时，等号成立.几何解释：用向量几何解释：用向量a，b分别替换分别替换a，b. 当 当 a 与与 b 不 共 线 时 ， 有不 共 线 时 ， 有 | a b | | a | | b | ， 其 几 何 意 义 为， 其 几 何 意 义 为_；假设假设a，b共线，当共线，当a与与b 时，时，|ab|a|b|，当，当a与与b 时，时，|ab|a|b|；由于定理由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式.定理定理1

3、的推广：如果的推广：如果a，b是实数，那么是实数，那么|a|b|ab|a|b|.ab0两边之和大于第三边反向同向(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|.当且仅当 时，等号成立.几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|ac| |ab|bc|.当点B不在点A，C之间时：点B在A或C上时，|ac| |ab|bc|；点B不在A，C上时，|ac| |ab|bc|.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.(ab)(bc)0题型探究类型一含绝对值不等式的证明例例1设函数设函数f(x)x22x，实数，实数a满足满足|xa|1.求证：求证

4、：|f(x)f(a)|2|a|3.证明证明f(x)x22x，且，且|xa|1，|f(x)f(a)|x22xa22a|(xa)(xa)2(xa)|(xa)(xa2)|xa|xa2|xa2|(xa)(2a2)|xa|2a2|1|2a|2|2|a|3，|f(x)f(a)|2|a|3.证明反思与感悟两类含绝对值不等式的证明技巧反思与感悟两类含绝对值不等式的证明技巧一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用为常见的不等式证明，或利用|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、，通过适当的添、拆项证明拆

5、项证明.另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，那么特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分情况成立，那么特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明布等方法来证明.证明证明|(ABC)(abc)|(Aa)(Bb)(Cc)|(Aa)(Bb)|Cc|Aa|Bb|Cc|，|(ABC)(abc)|s.证明类型二利用绝对值三角不等式求最值例例2(1)求函数求函数y|x3|x1|的最大值和最小值；的最大值和最小值；解方法一解方法一|x3|x1|(x3)(x1)|4，4|x3|x1|4，

6、ymax4，ymin4.方法二把函数看作分段函数，方法二把函数看作分段函数，4y4，ymax4，ymin4.解答(2)如果关于x的不等式|x3|x4|a的解集为空集，求参数a的取值范围.解只要解只要a不大于不大于|x3|x4|的最小值，的最小值，那么那么|x3|x4|a的解集为空集，的解集为空集，而而|x3|x4|x3|4x|x34x|1，当且仅当当且仅当(x3)(4x)0，即，即3x4时等号成立时等号成立.当当3x4时，时，|x3|x4|取得最小值取得最小值1.a的取值范围为的取值范围为(，1.解答反思与感悟反思与感悟(1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的利用绝对值不等式求函

7、数最值时，要注意利用绝对值的性质进展转化，构造绝对值不等式的形式性质进展转化，构造绝对值不等式的形式.(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键.跟踪训练跟踪训练2(1)xR，求，求f(x)|x1|x2|的最值；的最值；解解|f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3，3f(x)3，f(x)min3，f(x)max3.解答(2)假设|x3|x1|a的解集不是R，求a的取值范围.解解|x3|x1|(x3)(x1)|4，|x3|x1|4.当当a4时，时，|x3|x1|a的解集为的解集为R.又又|x3|x1|a的解集不是的解集不是R，a4.a的

8、取值范围是的取值范围是4，).解答类型三绝对值三角不等式的综合应用(1)证明：f(x)2；证明(2)假设f(3)5，求a的取值范围.解答反思与感悟含绝对值的综合问题，综合性强，所用到的知识多，在解反思与感悟含绝对值的综合问题，综合性强，所用到的知识多，在解题时，要注意应用绝对值不等式的性质、推论及条件，还要注意配方等题时，要注意应用绝对值不等式的性质、推论及条件，还要注意配方等等价变形，同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时，还要注意等号等价变形，同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时，还要注意等号成立的条件成立的条件.跟踪训练跟踪训练3设设f(x)ax2bxc，当，当|x|1时，恒有时，恒有

9、|f(x)|1，求证：，求证：|f(2)|7.证明因为当证明因为当|x|1时，有时，有|f(x)|1，所以所以|f(0)|c|1，|f(1)|1，|f(1)|1，又又f(1)abc，f(1)abc，所以所以|f(2)|4a2bc|3(abc)(abc)3c|3f(1)f(1)3f(0)|3|f(1)|f(1)|3|f(0)|3137，所以所以|f(2)|7.证明达标检测1234解析解析|4x2y4m2n|4(xm)2(yn)|解析答案52.a为实数，那么“|a|1是“关于x的绝对值不等式|x|x1|a有解的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由解析由|a

10、|1得得a1或或a1.因为关于因为关于x的不等式的不等式|x|x1|a有解，而有解，而|x|x1|x1x|1，所以所以a1.故故“|a|1是是“关于关于x的绝对值不等式的绝对值不等式|x|x1|a有解的必要不充分有解的必要不充分条件条件.解析答案1234512345答案mn.解析123454.关于x的不等式|x1|xa|8的解集不是空集，那么a的最小值是_.解析解析|x1|xa|x1(xa)|a1|，且关于且关于x的不等式的不等式|x1|xa|8的解集不是空集，的解集不是空集，|a1|8，解得，解得9a7，即，即a的最小值是的最小值是9.解析答案9123455.以下四个不等式：|logx10lg x|2；|ab|a|b|；2(ab0)；|x1|x2|1.其中恒成立的是_.(把你认为正确的序号都填上)解析答案当ab0时，|ab|a|b|，不正确；由|x1|x2|的几何意义知，|x1|x2|1恒成立，正确.123451.求含绝对值的代数式的最值问题综合