第六章单变量微分学

1、1第六章 单变量微分学郇中丹2006-2007学年第一学期2基本内容 0 微积分的创立 1 导数和微分的定义 2 求导规则 3 函数一点行为的导数刻划 4 区间上的可导函数(中值定理) 5 不定式 6 Taylor公式 7 用导数研究函数 8 割线法和切线法(Newton方法)30 微积分的创立 Isaac Newton (1642-1727) Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)4Isaac Newton (1642-1727) 1661.6 (顺治18年)入剑桥三一学院(半公费(做仆人挣钱缴交学费的)学生), 数学指导教师Isaac Barrow (163

2、0-1677),1664.1(康熙3年)获学士学位. 1664-1666英国流行黑死病(鼠疫), 1665-1666牛顿回家乡呆了18个月,其间发明了流数(Fluxion)法(变量为流,变化率为流数)、发现了万有引力定律、用实验证明了白光为各种颜色光合成. 1665年11月发明“正流数法”(微分法)，1666年5月发明“反流数法”(积分法)，1666年10月总结文稿“流数简论”，建立了微积分基本定理。5Isaac Newton (II) 1669接替Barrow的教授职位; 1687(康熙26年)出版Mathematical Principles of Natural Philosophy.

3、Newton有关流数的著作到他身后才发表(1736).6Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716) 1661入Leipzig大学学法律,1663获学士,1666具备获法学博士的资格(出于嫉妒,该校教师拒绝授予),被另一所大学授予博士和请其为教授(他拒绝了后者). 作为律师, 他被雇主们支得在四处透风的马车中四处奔波,使得他具有在任何时间、任何地点和任何条件下工作的能力，他不停地读着、写着和思考着，他的手稿至今还成捆地放在图书馆里而没有被人们整理过。有趣地是他的头颅比一般人的都小。7Leibniz (II) 1666其称作“中学生随笔”的组合艺术中立志要创造出“一般方

4、法和普适语言，其中所有推理都简化为计算，除了可能的事实错误外，只会有计算错误”，为此他创立了符号逻辑但未能完成, 发明了能做四则运算和开方的计算机。由于其才能而被种种琐事困扰。 1672-1673请求Huygens教授了他现代数学; 在英国了解到了无穷级数方法。 1675年发现了微积分基本定理，1677年7月11日将其发表，其方法主要经过James和John Bernoulli兄弟的发展而成为一种强有力而又容易运用的工具。8Leibniz (III) Leibniz建立微积分的基本记号和术语,包括微积分(Calculus,原意是鹅卵石,用于计数), 微分(原意是差的, Differential

5、),微分,求导和积分的符号. 建立了四则运算的求导规则. 1673年引入函数的术语。 提出：不能像卫道士那样：只有知识而没有判断。91.导数和微分的定义 微分和导数概念的意义 函数增量与微分和导数 连续与导数和导数的解释10微分和导数概念的意义 (I) 微分的概念源自试图刻划在一个“小”时间间隔或空间上的变化量。 导数的概念源自刻划某种现象在一个时刻或位置的变化率，典型的例子有：在一个时刻的速度、曲线在一点的斜率、物质在一点的密度等等。如何理解导数始终是个有挑战性的问题。 微分与导数的概念是密切联系着的，所涉及的范围和对其意义的理解是不断演化的。由时间到空间，由一维到高维，由有限维到无穷维。由

6、近似到线性映射。11微分和导数概念的意义 (II) 导数的物理背景: 随时间或空间的变化率(rates of change), 包括各种瞬时速度、 各种密度、浓度或强度等等。 导数的几何背景：切线的斜率、曲线的曲率、曲面切平面的确定和曲面的曲率等等。 引入导数的简单模型：由路程函数确定速度函数和由函数图像确定图像切线。 由方向导数到梯度再到一般意义上的导数。12函数增量与微分和导数 设在a的一个邻域上有定义. 增量定义: 称Dx=x-a为自变量x在a处的增量, D(x)=(x)-(a)为在a处的增量. 微分定义: 若cR使得D(x)cDx (Dx0),就称线性函数g(Dx)=cDx为D(x)(

7、也叫在a处)的微分,记做d(x)或d. Dx也记做dx.此时称在a处可微. 导数定义: 若cR使得D(x)/Dxc (Dx0), 称c为在a处的导数,记做c=(a)或d/dx(a)=D(a). 小结: 若在a处可微, D(x)=d(x)+g(Dx)Dx (a(0)=0), d(x) (a)dx. d(x)也叫做函数增量D(x)的线性部分.13连续与导数和导数的解释 可微与连续: 若在a处可微,则在a处连续. 左导数和右导数: 右导数(a+),左导数(a-). 导数与左右导数: 在a处有导数当且仅当在a处左右导数存在且相等. 切线定义: 曲线y=(x)在(a,(a)的切线定义为直线: y=(a)

8、+(a)(x-a). 导数(a)的几何解释: 曲线y=(x)在(a,(a)的切线的斜率. 导数(a)的物理解释: 若(x)为物体在时间间隔t0,a内运动的路程, (a)为在时刻a的瞬时速度. 14习题十八 (I) 1. 用定义计算下列函数在x=0点的导数: (1) (0)=0, 若x0, (x)=x2 sin 1/x; (2) (0)=0, 若x0, (x)=exp(-1/x2); (3) Dirichlet函数D(x); (4) xD(x); (5) x2D(x). 2. 证明: 若(0)存在, 则n(1/n)- (0)(0) (n). 反过来成立吗？ 3. 设(0)=0且(0)存在.计算数

9、列: xn=(1/n2)+ (2/n2)+(n/n2)的极限.计算数列极限: (1) xn=sin(1/n2) + sin(2/n2)+sin(n/n2); (2) yn=(1+1/n2)(1+2/n2) (1+n/n2).15习题十八 (II) 4. 设函数在x=0的一个邻域上有定义并且满足: xI, (x)(0). 证明: 如果 (0)存在, 则(0)=0. 若 162 求导规则 复合函数求导的链式法则 反函数求导公式 一阶微分形式的不变性 求导运算的算术性质 初等函数求导公式 双曲函数及其求导公式17复合函数求导的链式法则 定理定理: 设在a点可微,g在(a)点可微,则h=g在a点可微,

10、 并且h(a)= g(a)(a). 证明证明: 记a=(a), b= g(a). 则 (1) D(x)=a Dx + a1(Dx) Dx (a1(0)=0), (2) Dg(y)=b Dy + b1(Dy) Dy (b1(0)=0). 因此, Dh(x)= bD(x)+b1(D(x)D(x)=baDx + ba1(Dx)Dx + b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(aDx+a1(Dx) Dx)= baDx + g(Dx)Dx, 其中g(Dx)=ba1(Dx)+ b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(a+a1(Dx)满足g(0)=0. 所以, h(a)= ba = g(a)(a). #18反函数求

11、导公式 定理定理: 设C(I), g是在(I)上的反函数,这里I是区间. 若在a点可微且(a)0, 则g在b=(a)可微,并且g(b)=1/(a)=1/(g(b). 证明证明: 由在(I)上有反函数,在I上严格单调,因此, gC(I). 只要证明g(b)存在就够了.而这由(g(y)-g(b)/(y-b)= (g(y)-g(b)/(g(y)-(g(b)和复合函数的极限性质就得到结论.#19一阶微分形式的不变性 这是复合函数求导的链式法则的另外一种说法: 设的微分是d(x). 若x=g(t)有微分dx=dg(t), 则d(g(t)=(g(t)dg(t)=(x)dx=d(x). 这看似空洞的公式,许

12、多时候有意想不到作用,同类的公式在高阶导数时不再成立.20求导运算的算术性质 设何g在a点可微, cR. 则+g, c, g在a点可微, 若g(a)0, /g在a点也可微. 并且 (+g)(a)= (a)+g(a); (c)(a)= c (a); (g)(a)= (a)g(a)+(a)g(a); (/g)(a)= (a)g(a)-(a)g(a)/g(a)2. 证明: 极限性质和导数定义的应用.#21初等函数求导公式 基本初等函数求导公式: (c)=0; (x)=1; 由归纳法： (xn)=nxn-1; (exp x)=exp x;由链式法则,(ax)= ax ln a;反函数求导规则:(ln

13、x)=1/x;(loga x)=(ln a)/x;(xa)=axa-1;以及(uv)=uv (vln u +vu/u). (sin x)=cos x; 由求导运算的算术性质得到: (cos x)= -sin x; (tan x)=sec2 x; (cot x)=-csc2 x; (sec x)=tan x sec x; (csc x)=-cot x csc x. 由反函数求导规则: (arcsin x)=1/sqrt1- x2; (arccos x)=-1/sqrt1- x2; (arctan x)=1/(1+x2);(arccot x)=-1/(1+x2);(arcsec x) =1/(|x

14、|sqrtx2-1); (arccsc x)=-1/(|x|sqrtx2-1).22双曲函数及其求导公式 双曲函数定义: sinh x,cosh x,tanh x,coth x,sech x, csch x. 双曲函数求导公式: (sinh x)=cosh x; (cosh x)= sinh x; (tanh x)=sech2 x; (coth x)=-csch2 x; (sec x)=-tanh x sech x; (csch x)=-coth x csch x. 反双曲函数求导公式: (arcsinh x)=1/sqrt1+x2; (arccosh x)=1/sqrtx2-1; (arctanh x)=1/(1-x2); (arccoth x)=1/(1-x2); (arcsech x) =1/(xsqrt