计算方法的课后答案解析

1、计算方法习题答案第一章数值计算中的误差1 .什么是计算方法？(狭义解释)答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。2 . 一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤：实际问题一建立数学模型一构造数值算法一编程上机一获得近似结果3 54 .利用秦九韶算法计算多项式 P(x) x X5-所以，多项式P(x) x x x 4在x 3处的值P( 3)223。5.叙述误差的种类及来源。答：误差的种类及来源有如下四个方面： X(2

2、)观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、 4在x 3处的值，并编程获得解。解：P(x) x5 0 x(1)模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似， 即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 x3 0 x2 x 4 ,从而10-101-4-3-39-2472-2191-38-2473-223实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度 和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。（3）截断误差：理论上的精确值

3、往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。6.掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。. * . . . 答：设x是某个量的精确值，x是其近似值，则称差 e x x为近似值x的绝对误差 = - - * （简称误差）。若存在一个正数 使e x x ,称这个数 为近似值x的绝对误差限（简称误差限或精度）。*,一、， *e x

4、 x把绝对误差 e与精确值x之比e. 一称为近似值 x的相对误差，称 x x . . , * ，一 , , -r为近似值x的相对误差限er,由于真值x是未知的，所以常常用x*x x e er *来表示相对误差，于是相对误差可以从绝对误差求出。x x7 .近似值的规格化表示形式如何？m答：一般地，对于一个精确值x，其近似值x的规格化形式为x0.xx2xp 10 ,其中X0,xi0,1,2, 9 （i 1,2, p）, p为正整数，m为整数。8 .有效数字的概念是什么？掌握有效数字与误差的关系。答：若近似值x的（绝对）误差限是它的某一位的半个单位，也就是说该近似值准确到这一位，且从该位起直到前面第

5、一个非零数字为止的所有数字都称为有效数字。若近似值x的（绝对）误差限为 e x x 2 10m n,则称x为具有n位有效数字的有效数，或称它精确到 10m n位，其中的每一位数字 xi,x2, xn都是x的有效数字。设精确值x的近似值x的规格化形式为x0.x1x2 xD 10 ,右x具有n位有p效数字，则其相对误差限为er 101 n ；反之，若x的相对误差限为 2x111 n e 10,则x至少有n位有效数字。2（x1 1）9.下列各数都是对真值进行四舍五入后获得的近似值，试分别写出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数。 x10.024 (2) x250.4135(3)x3 57.5

6、0 (4)x4 60000(5)x5 8 10 ；解：（1） e(2) e(3) e(4) e(5) ex1*乂2x1x2*x3x3x4x4x5x50.0005; er0.00005; er0.005； er0.5 ； er0.5 ； erel0.0021 ；有三位有效数字。0.000121；有四位有效数字。0.000087;有四位有效数字。0.0000084；有五位有效数字。0.000000625；有六位有效数字。10.为了使J19的相对误差0.1% ,问至少应取几位有效数字?解：由V19的首位数是. ,、 . .4.设近似数x有n位有效数字，由定理 4.1可知，相对误差, *、1_ _ 1

7、 n .一 er(x )相z 101 n 0.001,解得n 3.097,即取4位有效数字，近似数的相对误差不超过0.1% 。2*11 .已知 y P(x) x x 1150, x100T,x_ _ *33，计算y100p()及 yP(33),3并求X和y的相对误差。“*100100 2100解：y p( ) ()2 () 11505.555553332y P(33) (33)2 (33) 115028e(x) x x 0.333一 一 * _ _e(y) y y 22.44444er(y)e,0.80158712 .写出误差估计的一般公式(以二元函数z f (x, y)为例)。解:二元函数z

8、 f(x,y)的绝对误差:fe(z) 一 |(x,y) xfe( * * x) |(x,y) ye( y)二元函数的相对误差:er(z)e(-z)zfle(y)|(x,y)y z一|(x,y) er ( y) y13 .用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流范围分别为V 220 2V ,I 10 0.1A,求这个电阻的阻值 R ,并估算其绝对误差和相对误差。解：e(V) 2, e(I)。- V R0.1,又 R ,I V1 Rr,TV -O所以: 12其上界。解:e(R)e(V)Ri(v,i)RV 1(V,I) e(V)er(R)誓 R*Xi21.99 10 2。*1.03 0.01, X2

9、0.45 0.01 ,220101000.10.42计算2Xiex2的近似值，并估计 e(y)及y (1.03)10.45e2e(y).*(Xi1x；、/-e ) (Xi2x2).*(Xi、, *、Xi )( XiXi )1 / X； x2、2(ee)(x1x1)( x1x1)15 .已测得某场地长为e(d) d解：由可得:e(s)1101 Z X22(eex2)2.06l 110m,宽d的值为10e 0.01,已知e(l)0.1m,ld,7试求面积sd,% 二sl 1(l,d) e(l)sI(l,d) d0.2 80 0.1 30. (s)幽 s3.4 10 3。ld的绝对误差限和相对误差限

10、。e(l) l le(d)0.2m, e(d)s I(l,d) e(l )s,1(l,d) d.*、(X2,X2)e(d)16 .掌握二元函数的加、减、乘、除和开方运算的绝对误差和相对误差估计公式。解：(1 )力口、减运算:由于 xx y / y 1, x y / x 1,1,0.2m0.1me y ,erxer x y| y/ x yx/ xyer xy x/ x y er x y/ x y y/ x y er y，从而有 | er xery ,e x| |x/ xy | er x| er y |(2)乘法运算:E中 xy由于 xxyy, x,所以 e xyyexey ,er xyer x|

11、exy|y|ex | x|e y I(3)除法运算:, x由于(一)y1 e(x)yx 以 e(-) yxe(y)， yxer(-) er(x) er(y)y(4)乘方及开方运算:n 1nx ex ,ernner x由于nxn 所以exn x17 .求方程x256x 1 0的两个根,使它至少具有4位有效数字(78327.982)。解：xi56( 56)2 4 1 128 27.982 55.782x2x155.7820.01786319 .求方程x216x 1 0的较小正根,要求有 3位有效数字。解：x116( 16)2 4 1 12 18 7.937 15.937x2cx1115.9370.

12、062747所以较小正根为x20.062747 。1.n x420 .设 I n 0 x e dx,n 0,1,2,10。(1)证明：In e nIn1,n 0,1,2,104；(2)给出一个数值稳定的算法，并证明算法的稳定性。1(1)证明：1n0 xnexdx,1， 一(2 ) In 1 (e 1 n)n、一 * 一 , 设 enIn I n，则11 dn xn 1 x x de e nx e dx e n1nl00n 1a 1el 2.*.I n 1 I n 1I n 2eo当n无限大时，en越小，所以该算法稳定。1 xn21 .用递推算法计算积分I n ndx, n01 4x0,1,2,

13、10,并验证算法的数值稳定性。解：I n14xn01 4x1 dx (41xn1dx01 xn1dx)01 4x4n1II n 14设e0e2e10*I1I114e0177 e04,*I 10I 10fe。所以该算法是稳定的。12_ 2422 .设计一个计算 f (x) x 3x16x36的最小计算量的算法。122436解：f (x) x 3x 16x244 c 1212x x x x x 3 x x161224x x23 .什么是数值稳定的算法？数值计算应遵循的六条规则是什么?答：一个算法如果原始数据有误差(扰动)，而计算过程中舍入误差不增长或增长可以控制，则称此算法是数值稳定的。否则，称此

14、算法是数值不稳定的。数值计算应遵循的六条规则是：（ 1 ） 选用数值稳定的算法（计算公式）；（2） 尽量避免两个相近数相减；（3） 尽量避免用绝对值很大的数作乘数；（4） 尽量避免用绝对值很小的数作除数；（5） 防止大数“吃掉”（或“淹没”）小数（即合理安排运算顺序）（6） 简化计算步骤，减少运算次数。第二章非线性方程的数值解法1 .叙述零点定理的内容。答：设函数f (x)在闭区间a,b上连续且f (a) f(b) 0,则存在x (a,b)使一 *f(x ) 0,即f(x)在区间(a,b)内存在实的零点，称区间a,b为方程的有根区间。2 .方程求根的两个步骤是什么？确定方程有根区间的方法有哪些

15、？答：第一步 确定方程f(x) 0的有根区间。第二步 近似根的精确化。确定方程有根区间的方法有两种：作图法和逐步搜索法。33 .利用作图法确定方程f(x) x x 1 0的有根区间。3,f(x) x x 1解：由于f(0)1 0, f(2) 8 2 1 5 0,于是，在区间(0,2)内至少有一个根，取步长h 0.5向右进行根的搜索，即计算f(0.5), f(1,0), f (1.5)的值得到f(0.5) 0, f(1.0) 0, f (1.5) 0 ,从而，原方程的有根区间缩小为(1,1.5)4.利用逐步搜索法确定方程f(x)x3 3x2 4x 3 0的有根区间。解：由于f(0) 3 0, f

16、 ( 1)5 0,于是，方程在(1,0)内至少有一个实根， 所以,1 C从x 1,取步长h 0.5向右进行根的搜索，即计算 f ( 0.5)得到f( 0.5) 0,从8一、，一，, 1而，原方程的有根区间缩小为(1,万)。5,确定方程x3 4x2 10 0的有根区间。32解：由于函数 f(x) x 4x10的定义域为，用逐步搜索法：由于f(0)10 0, f (2) 14 0,于是，方程在(0,2)内至少有一个实根，所以，从x 0,取步长h 0.5向右进行根的搜索，即计算f (0.5), f (1.0), f (1.5)的值得到f(0.5) 0, f(1) 0, f (1.5) 0 ,从而原方

17、程的有根区间缩小为(1,1.5)6 .二分发的基本思想是什么?解：二分发的基本思想是将方程f (x) 0的有根区间逐步分半，通过判别f (x)在端点的符号以及零点定理来缩小有根区间，使在足够小的区间内使方程f (x) 0有且仅有一个根，并满足给定的精度要求为止。7 .以方程f (x) 0的有根区间为 a, b为例(f (a) 0, f (b) 0),简述二分法的具体作法。a b 解：第一步：将有根区间 a,b分半，用区间a,b的中点将a,b分为两个相等2区间，计算中点的函数值f(、b)。若f(a£b) 0,则x* 亘就是方程f(x) 0的a ba b根；否则，若f ()0,由于f(x

18、)在左半区间 a, 内不变号，所以方程的有根22a ba b a b区间变为 ab,b 。同理，若f(b) 0,则方程的有根区间变为a,b ,从而将222新的有根区间记为a1，b1,且区间a1,b1的长度仅为区间a,b的一半，即b&bac2第二步：对压缩了的有根区间a1,b1又可施行同样的方法，即用中点旦1将区2间a1,b再分为两半，然后通过根的搜索判定所求的根位于哪半个区间，从而又确定一个新的有根区间 a2,b2 ,该区间的长度是区间a1,b1的一半。如此反复可得出一系列有根区间且具有关系a,ba，biak,bk其中后一个区间长是前一个区间长的一半，因此区间ak,bk的长度bk时，区

19、间ak,bk的长度必趋于零，即这些区间最终收缩于一点* 一 * 、.一、x ,显然x就是方程f(x) 0的根。8.以方程f(x) 0的有根区间为 a,b ,精度要求为，试写出利用二分法求该方程的近似根所需二分次数k的计算公式。解：若事先给定的精度要求为一 一 一一 *0 ,则只需xxk,b a ln 2ln2此时xk就是满足给定精度要求的近似值，k为二分法的次数。9.用二分法求下列方程在给定的有限区间及精度要求下的近似值及二分次数k (编程)(1) f(x) xex 2解：xk 0.852600、342.(2) f(x) x 3x 4x解：xk 1.49999232(3) f(x) x 4x

20、10解：xk 1.3647463.(4) f (x) x x 1解：xk 1.32470710 .若应用二分法求方程 e x多少次？0.5,1k 1231,1.5k 151,2k 101,1.5k 13xn 0在区间0,1上误2JD 0.0001JD 0.00001JD 0.0005JD 0.000051 _-一八 工的近似值，应一分 25解：其近似根为0.437500,应分k 5次。11 .迭代法的基本思想是什么?解：迭代法是一种逐次逼近法，首先给定方程f(x) 0的一个粗糙的初始近似根 X0,然后用一个固定公式反复校正这个根的近似值使之逐步精确化，直到满足预先给定的精度要求为止。12 .迭

21、代法的具体做法如何？解：(1)将万程f (x) 0改写成等价形式 x(x)，在卞H x的附近任取一个初始近似根xo。(2)构造近似根序列：将 xo代入(x)计算得到xi(xo), 一般xixo ,再把x1作为新的近似根代入(x)得到x2(xi),重复上述步骤即可。13 .迭代法的几何意义是什么？ 即 lim xkx (k )。 一答：方程x x的求根问题在几何上就是确定曲线y x与直线y x交点p的*横坐标x 。设迭代初值为xo,曲线yx上以xo为横坐标的点为 Po,xo为Po点的纵坐标，过Po点引平行于x轴的直线，并与直线y x相交于Po ,其横坐标为xixo ,然后过点Po引平行线于y轴的

22、直线，并与曲线y x的交点记作Pi,重复上述过程可得 点列Pi,P2, , Pk,他们横坐标依次由迭代公式xk ixk , k o,i 所确定。如果. * 点列Pi,P2, , Pk,，逐步逼近P ,则迭代过程收敛，否则迭代过程发散。14 .叙述迭代过程收敛定理的内容。解：假设迭代函数满足下列两个条件(I)对任意的x a,b有a (x) b；(2)存在正数L I,使对任意x a,b有 (x) L io*则(i)对任息初值xo a,b迭代过程xk i(xj均收敛于万程x (x)的根x ,(2)误差事后估计公式为*XXkXk1 Xk 。15 .试构造收敛的迭代公式求解下列方程:/ 、 cosx s

23、in x(1) x ；(2) X解：(1 )将方程Xcosx sin x4改写为一 2sin(X ),从而得到迭代公式42sin(Xk)Xk 1k 0,1,2,。4ln(4 x),从而得到迭代公式(2)将方程x 4 2X改写为xXk 1 ln(4 Xk) k 0,1,2,。16 .判断迭代法解方程f (x) x ln(x 2) 0在0,2内的根时所用的迭代过程的收敛性。解：将方程x ln(x 2) 0改写为x ln(x 2),从而得到迭代公式 .,1.Xk 1ln(Xk 2), k 0,1,2,。则(x) ln(x 2)为迭代函数。由(x)1,x 2由定理3.2可得该迭代法是收敛的。17 .用

24、迭代法计算s 4；6 #6弋6 4/6的近似值。19 .牛顿法的基本思想是什么？具体做法如何？解：基本思想：牛顿迭代法实质上是一种线性化的方法，其基本思想是将非线性方程f(x) 0逐步归结为某种线性方程来求解的方法。具体做法：设已知方程f (x) 0有近似根Xk ,将f (x)在Xk作一阶泰勒展开，于是方程f(x)0可近似地表示为f(Xk)f (Xk)(x Xk) 0是一个线性方程，设 f (Xk) 0,则x Xk £4,于是就有牛顿迭代公式 Xk iXk0,1,2,。f (Xk)f (Xk)20 .牛顿法的几何意义是什么？解：牛顿迭代法实质上是用过点(Xk, f (Xk)的切线与X

25、轴交点的横坐标 Xk 1来逐步逼近曲线yf (x)与X轴交点的横坐标X，所以牛顿法又叫切线法。2*22 .试证：用牛顿法求万程 (x 2) (x 3) 0在1,3内的根x2是线性收敛的。f(xk)_ . _证明：由牛顿迭代公式Xk 1 Xk,k 0,1,2,可得f (Xk)f(x)2x2 3x 6(x) x (-) ，显然，(2) 0 ,所以该迭代过程是线性收敛的。f (x) 3x 423 .用牛顿法求方程 x3 a 0 ,导出求立方根 Va的迭代公式，并讨论其收敛性。解：设f(x) X3 a 0,得牛顿迭代公式为 Xk 1Xk 迎wa ,k 0,1,，牛顿3xk_3_3_2x a2x 2a

26、。 l迭代函数 (X) 2,(X) 3,(3'a) 0 1,所以该迭代公式收敛。3x3x26 .正割迭代法的基本思想是什么？具体做法如何？几何意义是什么？解：基本思想：用过两点(Xk, f (Xk) , (Xk 1, f (Xk 1)的直线的斜率这个差商来代替牛堆迭代公式中的倒数f (Xk)。具体做法：对方程f(x) 0经过k次迭代后得到近似根Xk 1 , Xk ,从而取(f (Xk)f (Xk 1)t t、(Xk Xkf(Xkf(Xk)f(Xk 1)Xk 1),此公式为正割法迭代公式。f (Xk)k, 于 是 牛 顿迭代 公 式 变 为几何意义：正割迭代法是用过两点A(Xk, f (

27、xj) , B(Xk i, f (Xk i)的直线与x轴交点. . . . . * . 的横坐标Xk 1来逐步逼近曲线 f(x)与X轴交点的横坐标X ,因此正割迭代法又叫割线法。27 .简述正割迭代法与牛顿迭代法的区别。解：牛顿迭代法在计算时只需要一个初值X0,在计算Xk 1只用到前一步的值 Xk,但要计算f (Xk)；而正割法在计算时需要两个初值X0, Xi,在计算Xk 1时要用到前两次的迭代值Xk 1 , Xk,但不用计算导数。30 .使迭代法加速的方法有哪些？并分别写出它们的迭代公式。答：使迭代法加速的方法有艾特肯加速公式和斯蒂芬森方法：艾特肯加速公式：校正： 1再校正：210,1,2,

28、2 改进： 10,1,2,斯蒂芬森方法：迭代：0,1,2,加速:第三章线性方程组的数值解法1 线性方程组的数值解法有哪两大类？并简述他们的概念。答：线性方程组的数值解法有两大类：（ 1 ）直接法：直接法就是在没有舍入误差的情况下，经过有限步算术运算可求得方程组精确解的算法。（ 2 ）迭代法：迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，即先给定一个初始解向量，然后按新的迭代公式逐步求出解的更准确值的方法。2 高斯消去法的基本思想是什么？答： 高斯消去法的基本思想是用逐次消去未知量的方法把原来方程组AX b 化为与其同解的三角形方程组，而求解三角形方程组就容易了。3 高斯主元素消去法

29、是在何种情况下提出来的？答：用高斯消去法解线性方程组AX b 的消元过程中，可能会出现以下两种情况：第一是主元素全是0 的情形，致使消元过程无法进行下去；第二即使主元素不为0， 但其绝对值很小时作除数可能会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的传播，使计算结果不可靠。所以对于一般矩阵来说，最好每一步选取系数矩阵中绝对值大的元素作为主元素。4 用高斯顺序消去法，完全主元素消去法和列主元素消去法解下列方程组，并写出高斯顺序消去法的程序。2x1 x22x3 53x1x2 4x3 71 ) 5x1 x2 x3 82)x1 2x2 2x31 。x1 3x2 4x342x1 3x2 2x30解：(1)将

30、方程组的增广矩阵进行初等变化，并利用高斯顺序消去法得:X15 -1 10 -7-8-9X21-3-4-40 -7-10-13X3255-1185-11851-1818212507890879-4 -41-3 -4-402340324利用完全主元素消去法得:5 -11 -31-1812 1X1X3X2-5利用列主元素消去法得:5 -1-1-1X1X21-3-4 -41 -3-410X3(2)将方程组的增广矩阵进行初等变化,并利用高斯顺序消去法得:-1-1 42 -2-1-1-1X1-2-2X25 -1 18X3-3 -2利用完全主元素消去法得:-1-1 42 -2-1-2-1-1-1-1-1-3

31、 -2-2-3-1-1-1X2X1利用列主元素消去法得:-1 4-1-1X1-12 -2-1-2-2X2X3-3 -2-2U11u12u13-418-16-6-20l 21l 31l 32U 220U 23U 33-248X15123X114-418-16X28 ;(2) 252X218 。-62-20X37315X3205.用矩阵的三角分解法解下列方程组，并掌握三角分解法的编程思路。解：（1）对系数矩阵A作如下的三角分解:(1)1038根据矩阵的乘法可得:1 u112U11u12u12U13U13l 21 u114 l212,l21 u12u2218u22I21 U13U2316U2332；

32、l 31U11l 313,l 31 u12l 32u22l32，l 31u13 l32u231 U3320u3376 。于是有-110-32LU ,则原方程组可表示为-1-76X1y110-32-76X2X3。解方程组Ly by2-1y3248X15解方程组Uxy ,即010-32X22 ，得X00-76X3102o29119021955根据矩阵的乘法可得：2 ）对系数矩阵A 作如下的三角分解：1 u111l 21 u11l 21 u13l 31 u12于是有l 32u11l 21u23u22u11u12u13-5-5 11410726 用追赶法解下列方程组。l 21l 31-4l 32u12

33、l 21u 23l32- 24u125，-4- 24x1x2x3Ux用追赶法解下列方程组。-1x11418u 220u12u22u 23 。u33u133u133；l 31 u11l 31 u13LU ，则原方程组可表示为20u221l 31l32 u23u335则原方程组可表示为O解方程组Lyu3324。y1y2123x114101-4x210 ，得 x200-24x372331-5y3即O-1x11418 ，得20-11)0-1x2-1解： （ 1 ）由-1-1x32）-1x2-1x4LU 得：-2-3x3-3x4于是有从而Ly-12,4-1-1-1-1-131,21,231,于是有-1L

34、U得:-12,y1-1-2-1X1X2X3X4-1-3-1y2y3V4解得-352,21,Ux163,251535543164341620003从而Ly7.设X1,X2,解：X 1Xi8 .已知X解：X1-11516 1X2max Xi2Xi2X2-216V2y3x1X2X3X4,Xn-3351683435V41423574解得35973435Rn,掌握常用向量范数的定义式Xnmax X1 , X2,2xnXi,Xn1Xi2)2 ;（又叫最大范数）1,1 P、PXi )P。1,3,0 TX1X2maX Xi,Xi22X2PXi1)P计算X1，X2, XXnmax X1, X2,2xn1 (2

35、3P)P 。Xi,Xn3;85383435。Ux y 为x 1, X风风。9.设A (aj)nn Rn n,掌握常用矩阵范数的定义式|A1,|A ,|A|2,|AFn|x|maxaij ；j iA2max(ATA)n 1Af(a。2)2 °i.j 12 -11。.已知 a 30 ,计算 |a|1，|A ,|Al2,11 Alf °30n解：1Ali max aij 5； i 1n|x|maxaij 3；j 1|A|2) max(ATA)71 2J10 ；n 1|A|f(aj2)2i,j 112 .解线性方程组的迭代法有哪三种方法?答：(1)雅可比迭代法(Jacobi )(2

36、 )高斯赛德尔迭代法(G-S )(3)超松弛迭代法(SOR)5x1 2x2 x31213 .设有方程组x1 4x2 2x3 202x1 3x2 10x33(1)写出用Jacobi迭代法解此方程组迭代公式的分量形式和矩阵形式。(2) Jacobi迭代法是否收敛？为什么？解：该方程组可化为：(k x11)x10.4x2 0.2x3 2.4x20.25x1 0.5x3 5 ，从而得到Jacobi 迭代法的公式：x30.2x10.3x2 0.30.4x(2k)0.2x3(k)x2(k 1)0.25x1(k) 0.5x3(k)x3(k1)0.2x1(k) 0.3x(2k)2.45 ，其矩阵形式为： 0.

37、3X(k1)D 1(U L)X(k) D 1b，500其中： D 0 4 0 ， U0 0 100210 0 2， L000000-1 00 ， b2-3 0122035212 ）用 Jacobi 迭代法解此方程组是收敛的。因为系数矩阵-1 4 2 是严格对角2 -3 10Jacobi 迭代法收敛。20x1 2x2 3x32414 设有方程组x1 8x2 x3 122x1 3x2 15x330（ 1 ）写出用G-S 迭代法解此方程组迭代公式的分量形式。2 ） G-S 迭代法是否收敛？为什么？x10.1x2 0.15x3 1.2解：该方程组可化为：x2 0.125x1 0.125x3 1.5，从

38、而得到G-S 迭代法的公式：x30.133x1 0.2x2 2x1(k1)0.1x2(k)0.15x3(k) 1.2x2(k 1)0.125x1(k 1)0.125x3(k) 1.5，(k 1) x3(k 1)(k 1)0.133x10.2x22202 32 ）用 G-S 迭代法解此方程组是收敛的。因为系数矩阵A 181 是严格对角占2 -3 15优阵，所以G-S 迭代法收敛。x115 .设有方程组x18x20 x20 x379x389xi X2x37怎样改变方程的顺序使Jacobi迭代法和G-S迭代法均收敛。解：将方程组变化成格对角占优矩阵，所以16 .设方程组a11x1a12x19x1x1

39、Jacobia12x2a22x2x2x38x20x10 x2迭代法和”(a11 b2-1-1x37 ,此时系数矩阵9x38G-S迭代法均收敛。a220),迭代公式为(k 1,2,)。求证：由上述迭代公式产生的向量序列证明：由题设知:a11a12迭代矩阵B-1-10为严a22代法收敛的充要条件(B)a21a12a11a221。a21a22a110a22a12a21a21a22(k) x1(b1a11(b2 a22a12x2k 1)(k a21x11)x(k)收敛的充要条件是a12a11a211 ,可得，上述迭代公式产生的向量序列18 .简述迭代法的基本定理的内容。答：设有方程组X BX f ,对

40、于任意初始解向量X(k 1) BX(k)f收敛的充要条件是(B) 1。a21a12a11a22a12一,所以:0a12a21一士1 ,所以由迭a11a22x(k)收敛的充要条件X(0)及任意f ,迭代公式19 .设A为非奇异矩阵，则 A的条件数的计算公式如何？掌握常用条件数的计算公式。解：Cond(A) |A |A 1|20 .已知A2-10-13-1,求 1Alp ， Cond(A)P (P 1,2,)和 0-12(A)的值limCond(An)。解：11Ali 5;由(A AT) 1,4,16。所以 |A24;II Al 5。因为：A5118 4 8111一一一一-，所以 Cond(A)1

41、 5,Cond(A)2 16,Cond(A) 5。424115848(A) 1,2,4(A) 4。11121 .设 An1 ( n 为正整数)，计算 An , Cond(An) , lim Cond (An) (n )。1 1 n11 n n解：An, Cond (An)4n , lim Cond (An)(n )。n - n22 .分析方程组1.0001.0001.001 X11.000 X22.001的性态，并求其精确解；当右端项扰动2.000为(2.000,2.000)T时，求其精确解，并计算解的相对误差。解：由Cond (A)20001,所以该方程组为病态方程组。其精确解为(1,1)二

42、当右端项扰动为(2.000,2.000)T时，其精确解为(2,0)T，解的相对误差为er(X) A Ae (b) 20000 (b)。第四章 插值法1 .简述插值法方法的概念。答：设函数y f (x)在区间a, b上有定义，且已知在点a x0x1xn b上的函数值yo，yi,yn,如存在一个简单函数 P(x)使P(xl y. (i 0,1,n)成立，则称P(x)为f(x)的插值函数，点 xo, xi, , xn称为插值节点，区间a,b称为插值区间，满 足的条件P(xi) yi (i 0,1, ,n)称为插值条件，求插值函数P(x)的方法称为插值方法。(简称插值法)。2 .求一个次数不高于 3的

43、多项式P(x)使之满足插值条件：P(1) 2,P(2) 4,P(3) 12, P (2) 3.23解：设P(x)ao ax a?xa3x ,则根据条件得：a06a115a29aoaia2 a3ao 2a1 4a2 8a34,解得:ao 3ai 9a227a312ai 4 a2 12a33a3223所以：P(x) 6 15x 9x 2x3.已知数据表xi-112f(xi)-3o4求f (x)的2次插值多项式 P(x)。 2解：设P(x) ao ax a?x ,则根据条件得:aoa 0 a1 a23ao a a2 0,保ao 2a1 4a247 3所以：P(x)x3 24.已知数据表a1a2xio

44、235f (xi)1-3-42(1) 写出f(x)的3次拉格朗日插值多项式L3(x)；(2) 写出f (x)的3次牛顿插值多项式 N3(x)。解：(1) L3(x) yolo(x) yl1(x) y2"x) y3b(x),其中(x x1)(x x2)(x x3)lo (x)(xox)(xox2)(xo x3);l1(x)(x xo)(x x2)(x x3)(x xo)(x1x2)(x1 x3)5.12(X)(x Xo)(X Xi)(X X3)(x Xo)(X Xi)(X X2)；l 3( X)(X2 Xo)(X2 Xi)(X2X3)(X3 Xo)(X3 Xi)(X3 X2)1 32 2所以：L3(x) -x -x 5322X15(2)N3(x)f(0) f 0,2 (x 0)f 0,2,3 (x 0)(x 2)f0,2,3,5(x 0)(x 2)(x 3)111 31 2221 2x x(x 2) x(x 2)(x 3) x