等腰三角形单元测试题(卷)(含答案解析)

1、A. 0B. 1C. 2D. 3ZA=30 ,求证：AB=4BD .8.如图，在 4ABC中，/ACB=90 , CD是AB边上的高,等腰三角形典型例题练习一.选择题（共2小题）1 .如图，/ C=90 , AD平分/BAC交BC于D,若BC=5cm , BD=3cm ,贝U点D至U AB的距离为（）A. 5cmB. 3cmC. 2cmD.不能确定2 .如图，已知 C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边 4ACD和等边 4BCE ,连接 AE交CD于M,连接BD交CE于N.给出以下三个结论： AE=BD CN=CM MN/AB其中正确结论的个数是（）

2、二.填空题（共1小题）3.如图，在正三角形 ABC中，D, E, F分别是BC, AC, AB上的点, DE AC, EFXAB, FD XBC,则 DEF的面积与 4ABC的面积之 比等于三.解答题（共15小题）4 .在4ABC中，AD是/BAC的平分线，E、F分别为 AB、AC上 的点，且 ZEDF+ /EAF=180 ,求证 DE=DF .5 .在4ABC中，/ABC、/ ACB的平分线相交于点 O,过点O作DE / BC,分另I交 AB、AC于点D、E.请说明 DE=BD+EC6 . 已知：如图， D是4ABC的BC边上的中点，DEAB, DFXAC, 垂足分别为E, F,且DE=DF

3、 .请判断4ABC是什么三角形？并说明理由.7 .如图，4ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长 BC至E ,使CE=CD .连接DE .（1） /E等于多少度？（2） ADBE是什么三角形？为什么？9 .如图，4ABC中，AB=AC，点D、E分别在 AB、AC的延长线上,且BD=CE , DE与BC相交于点 F.求证：DF=EF .10 .已知等腰直角三角形 ABC, BC是斜边./B的角平分线交 AC于D, 过C作CE与BD垂直且交 BD延长线于 E , 求证：BD=2CE .11 (2012?牡丹江)如图 ，4ABC中.AB=AC , P为底边BC上一点,PE AB , PFXAC

4、, CHXAB,垂足分别为 E、F、H.易证 PE+PF=CH .证明过程如下: 如图，连接AP.PE AB , PF AC, CHXAB , SAabp=1aB? PE, SAacp=1aC? PF, SAabc=1aB? CH.222又 Saabp+S AACP=S AABC ,.Tab? pe+ .Iac? pf= Iab? ch.222PE+PF=CH(1)如图,P为BC延长线上的点时，其它条件不变,PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想, AB=AC ,并加以证明：(2)填空：若“v” 或“=”).(2)特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系AE,“V”或“二

5、”).理由如下：如图 2,过点/A=30 , AABC的面积为49,点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF ,当PF=3时,则AB边上白高 CH=岚P到AB边的距离 PE=12 .数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形 ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且 ED=EC ,如图，试确定线段 AE与DB的大小关系，并说明理由” .小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答:(1)特殊情况，探索结论DB (填当点E为AB的中点时，如图1,确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEE作EF / BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论，设计新题在等边三

6、角形 ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上,求CDCAB的长(请 你直 接写 出结 果).ED=EC ,若 AABC 的边长为 1, AE=2 ,且图二F为AB延长线和CF,AB=BC , / ABC=90BE=BF ,连接 AE、EF16.已知：如图，在 4OAB中， 在 AEOF 中，/ EOF=90 , BF 问线段AE与BF之间有什么/ AOB=90 , OE=OF ,连接 关系？请说明理13 .已知：如图，AF平分/ BAC , BC AF于点E ,点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点 M.若/BAC=2/MPC,请你判断/F与/ MCD的数量关系，并说

7、明理由.14.如图，已知 4ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且 AE=CD , AD与BE相交于点 F.(1)线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论.(2)求ZBFD的度数.15.如图，在4ABC中, 上一点，点E在BC上, 求证：AE=CF .17. (2006?林洲)如图，在 4ABC中，AB=AC , D是BC上任意一点，过 D分别向AB , AC引垂线，垂足分别为E, F, CG是AB边上的高.(1) DE, DF, CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；(2)若D在底边的延长线上，(1)中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由.18.如图甲

8、所示，在 4ABC中，AB=AC ,在底边BC上有任意一点 P,则P点到两腰的距离之和等于定长(腰上的 高)，即PD+PE=CF ,若P点在BC的延长线上，那么请你猜想 PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你 的猜想并加以证明.等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析选择题（共2小题）1.如图,/C=90,AD平分ZBAC交BC于D,若BC=5cm , BD=3cm ,贝U点D至U AB的距离为（D,不能确定考点：w平分线的性质.分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点 的长，问题可解.解答：解：/ C=90 , AD 平分 / BAC 交 BC 于 D. D至ij AB

9、的距离即为 CD长CD=5 - 3=2故选C.C. 2cmB . 3 cmD至ij AB的距离等于 D至ij AC的距离即CD2 .如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在 AB的同一侧作等边 4ACD和 等边4BCE ,连接 AE交CD于M,连接BD交CE于N,给出以下三个结论： AE=BDCN=CMMN / AB其中正确结论的个数是（CA. 0D考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.|分析：由4ACD和4BCE是等边三角形，根据 SAS易证得 ACEDCB ,即可得正确；由 ACEDCB,可得 ZEAC= /NDC,又由 /

10、ACD= / MCN=60 ,利用 ASA,可证得 ACMA DCN,即可得 正确；又可证得 4CMN是等边三角形，即可证得 正确.解答：解：. ACD 和 4BCE 是等边三角形，Z ACD= Z BCE=60 , AC=DC , EC=BC , / ACD+ / DCE= / DCE+ / ECB ,即 / ACE= / DCB , ACEDCB ( SAS),.AE=BD ,故正确；/ EAC= / NDC, / ACD= / BCE=60DCE=60ACD= / MCN=60 , . AC=DC ,ACMA DCN (ASA), . CM=CN ,故正确；又/MCN=180 - ZMC

11、A- Z NCB=180 -60 -60 =60 , . CMN 是等边三角形，Z NMC= Z ACD=60 ,MN/AB ,故 正确.故选 D.D. 3C. 2二.填空题（共1小题）3 .如图，在正三角形 ABC中，D, E, F分别是 BC, AC, AB上的点，DEAC, EF AB, FDXBC,贝U DEF 的面积与4ABC的面积之比等于1: 3 .考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.分析：首先根据题意求得：/ DFE= ZFED= /EDF=60。，即可证得 DEF是正三角形，又由直角三角形中，30所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求

12、得DF: AB=1:夷，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果.解答:解：.ABC 是正三角形， ，/ B= / C= / A=60 , . DE AC, EF AB , FD BC, . . / AFE= Z CED= Z BDF=90 , ./ BFD= Z CDE= Z AEF=30DFE= / FED= / EDF=60 , =1,BF 2 . DEF 是正三角形，BD: DF=1 : 脏,BD: AB=1 : 3，DEFsABC,+，鲤=如,DF : AB=1 : Vs, DEF的面积与 ABC的面积之比等于 1: 3.DF故答案为：1: 3.三.解答题（共15小题）4

13、.在4ABC中，AD是/BAC的平分线，E、F分别为 AB、AC上的点，且 / EDF+ Z EAF=180 ,求证考点：DE=DF . B全等三角形的判定与性质；角平分线的定义.分析:解答:即/ EMD= / FND=90过D作DM LAB ,于M, DNAC于N,根据角平分线性质求出 DN=DM ,根据四边形的内角和定 理和平角定义求出 / AED= / CFD,根据全等三角形的判定 AAS推出EMDA FND即可.证明：过D作DM LAB ,于M, DNAC于N ,. AD 平分 /BAC, DMXAB, DNXAC, . DM=DN （角平分线性质），/ DME= / DNF=90.

14、/EAF+ ZEDF=180 , . . / MED+ / AFD=360 180 =180 ,. Z AFD+ ZNFD=180 , . . / MED= / NFD ,在 EMD和 FND中 fZMED=ZDFN, /DME=/DNF，. EMDA FND , .-.DE=DF . 眸DM5 .在ABC中，/ABC、Z ACB的平分线相交于点 O,过点O作DE /BC,分别交 AB、AC于点D、E.请说明 DE=BD+EC .BC考点：等腰三角形的判定与性质一；平行线的性质.分析：根据OB和OC分别平分/ ABC和/ ACB ,和DE / BC,利用两直线平行， 内错角相等和等量代换， 求

15、证出DB=DO , OE=EC .然后即可得出答案.解答：解：二,在4ABC中，OB和OC分别平分/ ABC和/ ACB , ./ DBO= / OBC, /ECO=/OCB,. DE/BC, . DOB= / OBC= / DBO, / EOC= / OCB= / ECO , .DB=DO, OE=EC , DE=DO+OE , . . DE=BD+EC .6 . 已知：如图，D是 ABC的BC边上的中点，DE LAB , DF LAC,垂足分另1J为 E , F ,且DE=DF .请判断ABC 是什么三角形？并说明理由.考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质.分析：用(HL)证明E

16、BD0FCD,从而得出/ EBD= / FCD ,即可证明4ABC是等腰三角形.解答：4ABC是等腰三角形.证明：连接 AD, DE AB, DFXAC, . / BED= Z CFD=90 ,且 DE=DF ,D是4ABC的BC边上的中点，BD=DC ,Rt AEBD Rt AFCD (HL), . / EBD= / FCD, .ABC 是等腰三角形.7.如图，4ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长 BC至E ,使CE=CD .连接DE .（1） /E等于多少度？ （ 2） 4DBE是什么三角形？为什么?考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定.分析：（1）由题意可推出/ACB=60

17、 , / E=/CDE ,然后根据三角形外角的性质可知：ZACB= / E+ ZCDE ,即可推出 / E的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是 Z ABC的角平分线，即得:/DBC=30 ,然后再结合（1）中求得的结论，即可推出 4DBE是等腰三角形.解答：解：（1） .ABC是等边三角形， ，/ACB=60 , CD=CE , / E= / CDE , / ACB= / E+ / CDE , 二二工X 60“ 二30”，2 u（2） .ABC 是等边三角形，BDXAC,/ ABC=60 , /DBC二工/出030”，2/E=30 , ，/DBC=/E, .DB

18、E 是等腰三角形.8 .如图，在 4ABC 中，/ACB=90 , CD 是 AB 边上的高， /A=30 ,求证：AB=4BD .考点：含30度角的直角三角形.分析：由4ABC中，/ACB=90 , Z A=30 可以推出AB=2BC ,同理可得 BC=2BD ,则结论即可证明.解答：解：. /ACB=90 , /A=30 , AB=2BC , Z B=60 .又,CDAB, Z DCB=30 , . BC=2BD . . AB=2BC=4BD .9 .如图，ABC中，AB=AC，点D、E分别在 AB、AC的延长线上，且 BD=CE , DE与BC相交于点 F.求证: DF=EF .考点：金

19、等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.1分析：过D点作DG / AE交BC于G点，由平行线的性质得 / 1=/ 2, Z4=Z3,再根据等腰三角形的性 质可得/B=/2,则/B=/1,于是有DB=DG ,根据全等三角形的判定易得 DFGEFC,即可 得到结论.解答：证明：过D点作DG/ AE交BC于G点，如图，1 = /2, /4=/3,. AB=AC ,，/B=/2,，/B=/1, . . DB=DG ,而 BD=CE , . . DG=CE ,在 DFG和 EFC中rZ4=Z3“ ZDFG=ZEFC， DFGA EFC , DF=EF10 .已知等腰直角三角形 ABC , BC是斜边./

20、 B的角平分线交 AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证：BD=2CE .全等三角形的判定与性质.延长CE, BA交于一点F,由已知条件可证得 4BFE全BEC ,所以FE=EC ,即CF=2CE ,再 通过证明 ADBA FAC可得FC=BD ,所以BD=2CE .证明：如图，分别延长 CE, BA交于一点F.-. BE EC, Z FEB= Z CEB=90 , BE 平分 / ABC , . / FBE= / CBE ,又,.BE=BE , BFE BCE (ASA). . FE=CE . . CF=2CE .AB=AC , / BAC=90 , / ABD+ / ADB

21、=90 , / ADB= / EDC, . / ABD+ / EDC=90 .又/ DEC=90 , / EDC+ / ECD=90FCA= / DBC= / ABD .ADBAAFC . FC=DB , . . BD=2EC .11 (2012?牡丹江)如图 ，4ABC中.AB=AC , P为底边 BC上一点，PE AB , PF AC, CH LAB ,垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH .证明过程如下：如图，连接AP.PE AB , PF AC, CHXAB , /. Saabp=-AB ? PE, Saacp=-AC? PF, Saabc=-AB? CH.:又- Saabp+S

22、 ACP =S ABC , -AB? PE+ -AC? PF= -AB? CH.222 AB=AC , PE+PF=CH(1)如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：(2)填空：若/A=30 , AABC的面积为49,点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF ,当PF=3时, 则AB边上白高 CH= 7 .点P至ij AB边的距离 PE= 4或10 .图 图考点：等腰三角形的性质；三角形的面积.分析：，(1)连接AP .先根据二角形的面积公式分别表不出SaABP , Saacp, SaaBC ,再由SaaBP=S AACp

23、 + S AABC即可得出PE=PF+PH ;(2)先根据直角三角形的性质得出 AC=2CH ,再由AABC的面积为49,求出CH=7 ,由于CH PF ,则可分两种情况进行讨论： P为底边BC上一点，运用结论 PE+PF=CH ;P为BC延长线 上的点时，运用结论 PE=PF+CH .解答：解：(1)如图，PE=PF+CH .证明如下：-. PE AB , PF AC, CHXAB,1- Saabp=工AB? PE, Saacp=1aC? PF ,Sa abc=工AB? CH,222Saabp二S ACP+S AABC , .IaB? PE= IaC? PF+ .IaB ? CH , X /

24、 AB=AC , . . PE=PF+CH ;222(2) .在AACH 中，Z A=30 , . . AC=2CH . Saabc=-AB? CH, AB=AC , .-.-X 2CH? CH=49 , CH=7 .22分两种情况：P为底边BC上一点，如图. PE+PF=CH , .1. PE=CH - PF=7 -3=4;P为BC延长线上的点时，如图 .-. PE=PF+CH ,PE=3+7=10 .故答案为 7; 4或 10.图 图12.数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形 ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且 ED=EC ,如图，试确定线段 AE与DB的大 小关

25、系，并说明理由” .小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论请你直接写出结论：AEDB (填，当点E为AB的中点时，如图1,确定线段AE与DB的大小关系,“v” 或“=”).(2)特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系AEDB (填“V”或).理由如下：如图 2,过点E作(请你完成以下解答过程)AE=2 ,求 CDEF / BC,交 AC 于点 F.(3)拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点考点：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.1分析：(1)根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出/D=/ECB=30

26、。，求出Z DEB=30。，求出BD=BE即可；(2)过E作EF / BC交AC于F,求出等边三角形 AEF ,证4DEB和 ECF全等，求出 BD=EF 即可；(3)当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由(2)求出CD=3 ,当E在BA的延长线 上，D在BC的延长线上时，求出 CD=1.解答：解：(1)故答案为：=.(2)过 E 作 EF / BC 交 AC 于 F,.等边三角形 ABC , Z ABC= Z ACB= Z A=60 , AB=AC=BC ,/ AEF= / ABC=60 , / AFE= / ACB=60 ，即/ AEF= / AFE= / A=60 , .AEF

27、是等边三角形，AE=EF=AF , . /ABC= ZACB= Z AFE=60DBE= Z EFC=120 , / D+/ BED= / FCE+ / ECD=60 , .DE=EC ,D= /ECD,/ BED= / ECF ,在 DEB和 ECF中 /DEB =/ECFNDBE二NEFC, .DEBECF , BD=EF=AE ,即 AE=BD ,故答E：=.lde=ce(3)解：CD=1 或 3,A A DN 5/ 理由是：分为两种情况：如图1E 图1过 A 作 AM，BC 于 M,过 E 作 EN，BC 于 N ,则 AM / EM , ABC 是等边三角形,AB=BC=AC=1 ,

28、 . AM BC, BM=CM= BC=-, / DE=CE , EN BC, CD=2CN ,22的长(请你直接写出结果). AM/EN, AMBA ENB , ,空=0,_=_?_,BE BN 2-1 BN.BN= 1, .,.CN=1 + 1=-?,CD=2CN=3 ;22 2圄2如图2,作AMBC于M,过E作EN LBC于N,则 AM / EM , ABC 是等边三角形,AB=BC=AC=1 ,-. AM BC, BM=CM= -BC=-, / DE=CE , EN BC, CD=2CN ,22工. AM/EN, .越=!, =-=, MN=1 , CN=1 1=1, . CD=2CN

29、=1AE MN 2 MN2 213.已知：如图，AF平分/ BAC , BC AF于点E ,点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点 M,若/BAC=2/MPC,请你判断/F与/ MCD的数量关系，并说明理由.考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD ,推出ZCDA= /CAD=/CPM,求出 / MPF= / CDM, / PMF= / BMA= ZCMD,在4DCM 和 4PMF 中根 据三角形的内角和定理求出即可.解答：解：/F=/MCD,理由是:AF 平分/BAC, BCXAF , . /

30、 CAE= / BAE , Z AEC= Z AEB=90 , 在 ACE和 ABE中n ZAEC=ZAEB . AE=AE , ACEA ABE (ASA)，AB=AC ,lzcae=zbae / CAE= / CDE AM 是 BC 的垂直平分线，. . CM=BM , CE=BE , . / CMA= / BMA , ,.AE=ED , CEXAD,，AC=CD ,/ CAD= / CDA , / BAC=2 / MPC ,又,：乙 BAC=2 / CAD, ./ MPC= / CAD, ./ MPC=/CDA, . / MPF= / CDM,丁./ MPF= ZCDM (等角的补角相等

31、)， . / DCM+/CMD+/CDM=180 , / F+/ MPF+ / PMF=180 , 又. / PMF= /BMA= /CMD, . / MCD= / F .14 .如图，已知 ABC是等边三角形，点 D、E分别在BC、AC边上，且 AE=CD , AD与BE相交于点 F.(1)线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论.(2)求ZBFD的度数.ABD C考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性而分析：(1)根据等边三角形的性质可知 ZBAC= / C=60 ,AB=CA，结合AE=CD，可证明ABEA CAD, 从而证得结论；(2)根据 / BFD= ZABE+ / BAD

32、, / ABE= / CAD,可知/ BFD= / CAD+ / BAD= / BAC=60 .解答：1(1)证明：.ABC 为等边三角形，BAC= /C=60 , AB=CA .在 ABE和ACAD中， fAB=AC，ZBAE=ZC ABE CAD AD=BE .kAE=CD(2)解：./ BFD= / ABE+ / BAD,又 ABECAD ,/ ABE= / CAD ,/ BFD= / CAD+ / BAD= / BAC=60 .15 .如图，在 4ABC中，AB=BC , / ABC=90 , F为AB延长线上一点，点 E在BC上，BE=BF ,连接AE、EF 和CF, 求证：AE=C

33、F .考点：全等三角形的判定与性质.分析：根据已知利用SAS即可判定4ABECBF,根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF .解答：证明：. /ABC=90 , Z ABE= Z CBF=90 ,又.AB=BC, BE=BF , /.A ABE CBF (SAS). . AE=CF .16 .已知：如图，在 4OAB 中，/AOB=90 , OA=OB ,在 EOF 中，/ EOF=90 , OE=OF ,连接 AE、BF .问 线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由.考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.分析：可以把要证明相等的线段 AE, CF放到AEO, ABFO中考虑全等的条件， 由两个等腰直角三角形得AO=BO, OE=OF,再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去ZBOE的结果，当然相等了，由此可以证明 AEOA BFO ;延长BF交AE于D,交OA于C,可证明/ BDA= / AOB=90 ，则AEBF.解答：解：AE与BF相等且垂直，理由：在AEO与ABFO中，. Rt AOAB 与 Rt OEF 等腰直角三角形， ，AO=OB , OE=OF , ZAOE=90 / BOE= / BOF , AEOA BFO, .-.AE=BF .延长BF