超全几何模型：中点、角平分线、手拉手、半角、弦图、最短路径等.doc

1、超全几何模型：中点、角平分线、手拉手、 半角、弦图、最短路径等中点模型【模型11倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行线延长相交【模型21遇多个中点，构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中，/ ABC =60°,G是DF的中点，连接GC、GE.(1)如图1,当点E在BC边上时，若AB = 10, BF = 4,求GE的长；(2)如图2,当点F在AB的延长线上时，线段 GE、GC有怎样的数量和位置关系，写由你的猜想，并给予证明；(3)如图3,当点F在CB的延长线上时，(2)问中的关系还成立吗？写由你的猜想，并给予证明.【解

2、答】(1)延长EG交CD于点H易证明 ACHGACEG,则 GE=3,3(2)延长CG交AB于点I,易证明ZXBCEA FIE ,则ACEI是等边三角形， GE =，3GC 且 GEXGC(3)【例21如图，在菱形 ABCD中，点E、F分别是BC、 CD 上一点，连接 DE、EF,且 AE = AF, / DAE = / BAF.(1)求证：CE = CF;(2)若/ABC =120°,点G是线段AF的中点，连接DG、 EG,求证：DGLEG【解答】(1)证明 ZABEAADF 即可；(2)延长DG与AB相交于点H ,连接HE ,证明ZXHBE 匕匕EFD即可【例31如图，在凹四边形

3、 ABCD中，AB = CD, E、F 分别为BC、AD的中点，BA交EF延长线于G点，CD交 EF 于 H 点，求证：/ BGE = /CHE.【解答】取BD中点可证，如图所示：角平分线模型【模型11构造轴对称【模型21角平分线遇平行构等腰三角形【例41如图，平行四边形 ABCD中，AE平分/ BAD 交BC边于E, EFXAE交边CD于F点，交AD边于H,延 长 BA 到 G 点，使 AG = CF,连接 GF.若 BC = 7, DF=3, EH = 3AE ,则GF的长为.【解答】延长FE、AB交于点I,易得CE = CF, BA = BE ,设CE =x,则 BA = CD = 3+

4、x, BE = 7x,3+x=7x, x=2, AB = BE = 5, AE =,作 AJ ± BC , 连接AC ,求得 GF = AC=3手拉手模型【条件】OA = OB , OC = OD , / AOB = / COD【结论】AOACOBD , / AEB =/AOB = / COD （即都是旋转角）；OE平分/AED【例51 （2014重庆市A卷）如图，正方形 ABCD的边 长为6,点O是对角线 AC、BD的交点，点E在CD上，且， 连接BE.过点C作CFXBE,垂足是F,连接 OF,则OF 的长为.【答案】6,5/5【例 61 如图， AABC 中，/ BAC=90 ,

5、 AB=AC, AD ，BC于点D,点E在AC边上，连接 BE, AG，BE于F, 交BC于点G,求/ DFG.【答案】45【例7】（2014重庆B卷）如图，在边长为6,2的正方形 ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线一点，BE = DG,连接EG, CFXEG交EG于点H,交AD于点F,连接 CE、BH .若 BH = 8,则 FG=.【答案】5,2邻边相等对角互补模型【模型11【条件】如图，四边形 ABCD中，AB=AD, / BAD + / BCD = / ABC + A ADC = 180【结论】AC平分/ BCD【模型21【条件】如图，四边形 ABCD中，AB=AD, / B

6、AD = / BCD =90【结论】 / ACB =/ACD =45 ; BC+CD =，2AC例8如图，矩形 ABCD中，AB=6, AD =5, G为 CD 中点，DE = DG , FGLBE 于 F,则 DF 为.【答案】9,5/5例9如图，正方形 ABCD的边长为3,延长CB至点 M ,使BM = 1,连接 AM ,过点B作BNXAM ,垂足为 N , O是对角线 AC、BD的交点，连结 ON,则 ON的长为【答案】6V5/5【例10如图，正方形 ABCD的面积为64, ABCE是等 边三角形，F是CE的中点，AE、BF交于点G,则DG的长 为.【答案】4V3+4半角模型【模型11【

7、条件】如图，四边形 ABCD中，AB=AD, / BAD + / BCD = / ABC + A ADC =180 , / EAF =1/2 / BAD , 点E在直线BC上，点F在直线 CD上【结 论】BE、DF、EF满足截长补短关系【模型21【条件】如图，在正方形 ABCD中，已知E、F分别是边 BC、CD上的点，且满足/ EAF = 45°, AE、AF分别与对角 线BD交于点M、N .【结论】BE+DF=EF; AH =AB ; BM2 +DN2 = MN2 ; ANM s DNF s BEM s AEF s BNA s DAM （由 AO : AH = AO : AB =

8、1:，2可得至U AANM 和 AAEF 相似比为1:，2）AOMsMDF; AAONsMBE;AAEN为等腰直角三角形， /AEN =45°,出FM为等 腰直角三角形，/AFM =45°A、M、F、D四点共圆，A、B、E、N四点共圆，M、N、F、C、E五点共圆.【模型2变形】【条件】在正方形 ABCD中，已知E、F分别是CB、DC 延长线上的点，且满足/ EAF = 45【结论】BE+EF=DF【模型2变形】【条件】在正方形 ABCD中，已知E、F分别是BC、CD 延长线上的点，且满足/ EAF = 45【结论】DF+EF=BE【例11如图，丛BC fflADEF是两个全

9、等的等腰直角 三角形，/ BAC=/ EDF = 90°, ADEF的顶点E与2BC的 斜边BC的中点重合，将 ADEF绕点E旋转，旋转过程中， 线段DE与线段AB相交于点P,射线EF与线段AB相交于 点G,与射线CA相交于点 Q.若AQ = 12, BP=3,则PG =【解答】连接AE,题目中有一线三等角模型和半角模型设 AC=x,由 ABPCsACEQ 得BP/CE=BE/CQ , 3/( (，2/2)X =(，2/2)x/(x+12),解得 x= 12设 PG=y,由 AG2 + BP2=PG2 得 32 + (12 3x)2 = x2, 解得x = 5【例12如图，在菱形 A

10、BCD 中，AB = BD,点E、F在AB、AD上，且 AE = DF.连接 BF与DE交于点 G,连接CG与BD交于点H ,若CG = 1,则S四边形BCDQ =【解答】V3/4一线三等角模型【条件】/ EDF = / B = / C,且 DE = DF【结论】 ABDE wCFD【例13如图，正方形 ABCD中，点E、F、G分别为 AB、BC、CD 边上的点，EB = 3, GC=4,连接 EF、FG、 GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边为 .【解答】如图，构造一线三等角模型，ZXEFHA FGI贝 U BC = BF+CF=HF-BH + FI - CI = GI - BH + H

11、E - CI =7,3/3弦图模型【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段【结论】新构成了同心的正方形【例14如图，点E为正方形ABCD边AB上一点，点 F在DE的延长线上，AF = AB , AC与FD交于点 G , / FAB 的平分线交FG于点H,过点D作HA的垂线交HA的延长 线于点 I.若 AH=3AI, FH = 2v2,则 DG =.【解答】17V2/4【例 15如图，AABC 中，/ BAC=90 , AB=AC, AD±BC于点D,点E是AC中点，连接BE,作AG，BE于F, 交BC于点G,连接EG,求证：AG + EG=BE.【解答】过点 C作CH，AC交AG的延长

12、线于点H ,易 证最短路径模型【两点之间线段最短】1、将军饮马2、费马点【垂线段最短】【两边之差小于第三边】【例16如图，矩形 ABCD是一个长为1000米，宽为 600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站 P, 在铁路线BC段上建一个发货站台 H ,设铺设公路 AP、DP 以及PH之长度和为1,求l的最小值.【解答】600+500点线为最短.【例17如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个 动点，满足 AE = DF,连接CF交BD于G,连接BE交AG 于H,若正方形的边长为 2,则线段 DH长度的最小值为【解答】如图，取AB中点P,连接PH、PD,易证PH> PD-PH 即 DH> V5-1 .课后练习题【练习11如图，以正方形的边 AB为斜边在正方形内作直角三角形 ABE , /AEB=90°, AC、BD交于O.已知AE、 BE的长分别为3、5,求三角形OBE的面积.【解答】5/2【练习2】已知：如图1,正方形 ABCD中，为对角线 BD上一点，过 E点作EFXBD交BC于F,连接DF, G为