第九章多元函数微分法及其应用

1、第九章多元函数微分法及其应用一、基本要求及重点、难点1. 基本要求(1) 理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。(2) 了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。(3) 理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件 和充分条件。(4) 了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。(5) 掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。(6) 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数(主要是一阶)。(7) 了解曲线的切线和法平面及曲而的切平面与法线、并会求出它们的方程。(8) 理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极

2、值的拉 格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。2. 重点及难点(1) 重点：多元函数概念，偏导数与全微分槪念，偏导数讣算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。(2) 难点：二重极限的圧义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。二内容概述多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别 注意它们之间的一些本质差别。1. 多元函数的极限和连续(1) 基本概念1) 点集和区域。2) 多元函数的泄义、迫义域。3) 二元函数的极限、连续。(2) 基本定理1) 多元初等函数在其定义域内是

3、连续的。2) 多元连续函数在有界闭区域上一泄有最大值M、最小值m：且必取到最大值 M和最小值m之间的任何值。2. 多元函数微分法(1)基本概念高等数学学习指导偏导数、全微分、髙阶偏导数的疋义。(2)计算方法偏导数：z = f(x.y)在(XoJO)处对X的偏导数空OX,就是一元函数2)3)Z = f(x.儿)在X = XD处的导数：对歹的偏导数竺x、全微分：Z = f(x.y)的全微分dz = -dx + -dyx y(同理九复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同 条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。A 设 Z = /("*),

4、H = (P(t).v = (t)9 则全导数车= + -Oat u at v atB. 设 Z = /(w,v)，H = 0(XJ)* = 0(XJ)I l Izz uz vzz uz v贝 Ih =+， =+Oxu xv xy yv y4)隐函数求导法则：A.设函数y = f(x)由隐函数F(XJ) = 0确左，则空=一空 dx FyB.设函数z = f(xyy)由隐函数F(XJZ) = 0确定,dxFZdz _ FydyF二F(X y Z) = OC.设函数y = f(z = gM由隐函数方程组确建，从G(XJZ) = O求出导数ff(gfW.E+F(x) +Fg(X) = O'

5、 Gx+Gy fx) + G:S'(x) = 0(3) 多元函数连续.可导.可微的关系22(4)基本定理第九草*元函数微分法及其应用1) 可微的必要条件：如果函数z = (xy)在点(Xj)处可微分，则函数在点 (Xj)处偏导数必泄存在，且全微分为dz = -x + -y.OX 勿2) 可微的充分条件：如果函数z = (xj)的偏导数在点(Xj)处连续，x ,则函数在该点必可微，且dz = -dx + -d.OX 莎3. 多元函数微分学的应用(1)方向导数和梯度1) 方向导数A. 宦义：Iim 炖+ 4Hg), Q = J(AX)2 +(亦QTUPB. 计算方法：=cos + -cos

6、/71 xy2) 梯度A. 定义：gradf(y) = 7 + jOX oy>B. 函数在一点的梯度grad /( y)是一个向呈:，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值。3) 方向导数和偏导数的区别和联系A. 都是多元函数的变化率，方向导数是沿任意指立方向的变化率而偏导数是 沿坐标轴方向(两个方向)的变化率：B. 方向导数是偏导数概念的推广，偏导数并不是某一方向的方向导数。(2)在几何上的应用空间曲线Mo(XoJ(PZO)为曲线上一点<X = x(t) y = y(ttTZ = Z(r)1、切线方程：罕儿=旷儿/7你)yt0)Z-(Z0)2、

7、法平而方程：x'(5)(X-XU)+ ”(5)0-儿)+ z'(g)(z-Zo) = O*F(x,y,z) = OG(x,y,z) = 01、切线方程：- Jyf = Z-ZO1yJ(M°) ZXl(Mt)2、法平而方程：(X-XO)+ yx,(M0Xy-y0) +zx,(M0Xz-Z0) = 0空间曲而Mo (XO, y), ZO)为曲而上一点z=f(,y)1、切平方面方程Z-ZO = A(o,o)(-) + y(,y0Xy-y0)2、法线方程x=2zZr(XoJo) Jy(Xoyo)TF(XJZ) = O1、切平而方程FX(M(J)(X-Xo) + Fy(MOXy

8、-坯)+ 具(MlOXZ-ZO) = O2、法线方程= W zzFx(M0) Fy(Mo) F=(M极值问题1)无条件极值A. 极值的必要条件：若函数/(XJ)在点E(XO,儿)处达到极值，且偏导数都存在,则Zr(XO,儿)= 0, v(,) = 0B. 极值的充分条件：设函数f(x,y)在点R(x°,儿)的某个邻域U(PQ)内有连续的二阶偏导数,且fx(xo,yo) = O, fy(xo,yo) = 0,记-M = Zrx(XoJo), $ = q.(XoJo), C = fyy(x0,y0),则AC-BI >0AC-B2<0AC-BI =0A > 0(7,C &

9、gt; O),(xo,yo)为极小值A < 0(6,C < 0),(x° J)为极大值/(oo)不是极值无法判断2)条件极值及苴求法:A. 左义：函数f(x.y)在条件(x,y) = 0下的极值，称为条件极值。B. 计算方法：拉格朗日乘数法：将该问题化为求函数Z(,y,2) = /(Xj) +兄傾Xj)的无条件极值，因此从fx(x,y) + x(x,y) = 0 vU,) + vU,) =。中求出的(0,y0)»就是函数f(,y)在约束条件 0(x,y) = O(x,y) = O下的可能的极值点。最值问题1)设函数/(XJ)在开区间D内连续，(XOjo)是D内唯

10、一的极值点，如果该点是极大(小)点，则该点是最大(小)点，/(x0,J0)为最大(小)值。2)设函数/(x,y)在有界闭区域Q上连续，则必取到最大值和最小值，将边界上的最值和D内的可能极值点进行比较，则最大的为最大值，最小的为最小值。 在实际应用中，只有一个最值，而在讨论的范囤内所求的函数只有唯一的一个可能极值 点，则该点就是所求的最值点三、典型例题分析1. 多元函数的定义域.极限和连续1、求定义域和一元函数的立义域的求法相同，都是化为解不等式，注意求出的左义域是平而区域。JX _)，+ arc S in 丄例1：求函数Z =.一定义域In(I-X2-y2)解：由平方根内的函数不小于零，分母不

11、为零，对数函数的左义域为正，由反正弦函数的左 义域X - y2 O l-x2 - y2 > O'l-x2 - y2 1-1-1,O从而D = (x, y) -x y x,0 < x2 + y2 <,x 02. 复合函数问题在求复合函数的问题时，可适当引入中间变量。例2：求下列复合函数问题(1) 设=求 /(1,-)Jr +y-X 1(2) 设/(x + y,lnx) = (l + -) 一 ,求f(x,y)y InX解：(1)由 /(M川)=J"' r ,令 U = IV = Lf 则 /(1,上)= "、"WXX Xe +y&#

12、39;(2)令U =x + y,v = IllX » 则X = R ,y = u-R ,从而：/(w,v) = (1 + 一)! =,所以/ (x,y)=w-ev evlnev (w-ev)evv* (X-R)Ry3第九草*元函数微分法及其应用2多元函数微分法Y例 5：设 U = ()r,求ux,u,u. Oy解：y 可,My=Z(V(-4) = -, MX= ( Ing)y y yJry X例 6：设 Z = In tanXy ,求 zx9zxy9z”解：ZX = !(tan(罚)；=SCC (V) y = 2ycsc(2xy),n(Xy)tan(x>*)ZXX = 一4才(

13、csc(2jty) cot(2x) ):ZXV = 2csc(2xy)-4xycscQ)cot(2xy):ZM = -Ax2(CSCj cot(2)(由 Xj位置的对称性)。例7：求Z = (1 + x)OJ的全微分ZX = i + Xyyl (1 + X)X =才(1 + xy)yl由 InZ = yn( + xy),两边对y 求导 Z = (1 + XyyPn(I + Xy) + + »所以：dz = )'(1 + Xyy IdX + (1 + )j ln(l + Xy) + dyl + x例 8：设 “=/(XjZ) = WXFW2 Z =2 sin儿求色,Cl8x y

14、解:竺=聖+更竺x x z x3= 2x+>E +2z討知W (2XSiny) = 2xW(l + 2zsiny)QydydZ ,=2尹 gf w +2z* .(2 COSy) = 2ex y (y + x2zcosy)高等数学学习指导 例9： z = x2(2xX), /具有二阶连续偏导数，求ZpZyX解：zx=2 + 2x2- z =x2,-= 2xi,X3. 隐函数、参数方程的偏导数隐函数求导有公式法和直接法。直接法就是将方程或方程组两边对某一变量求导，此时 其它变量是该变量的函数，注意使用多元复合函数的求导法则。例 10：设xy + z = ex+=,求竺，x yAn Ar.1

15、z FY y-Xy-Z z FX解：令Fg,z)w + -则訂-亍討Tr奈一亍苏R例11：设F(-,-) = O,其中F具有连续的一阶偏导数，证明%+ y-= ZO Z Zx y证明：写=叫,巧=E£'屋 W$)+/(-*)=土(-珥-肉)从而竺一冬専，所x FZXFX + yF y FZ xF+yF,x y4. 多元函数微分学的应用1、方向导数和梯度例12：求函数U = XyyZ+ xz在点P(1,2,3)处沿P点的向径方向的方向导数。HX (P) = 5解：在点P(l,2,3)处 <v(P) = 4, I pI= l2 +22 +32 = ¼ ,故向径O”

16、 的方向余弦 UAp) = 3COSa = 1¼为< cos0 = 2/14 ,cos / = 3/J4W向径乔的方向导数为卑=5丄+ 4丄+ 3丄=垦6114141414例13：求数量场f(x.yz) = x2 + y2+xz在点M(H)丄)的梯度、沿/ = 2-2,1的方向导 数和M处最大的方向导数。22第九草*元函数微分法及其应用A(M) = 3 解:由人(M) = O,得：gradf(M) = 3i + ki/(M) = I COSa = 2/33s-0+1r由/方向的方向余弦cos0 = -23,得方向导数:cos = 1/3M处最大的方向导数即为M点处梯度的模：ma

17、x- = m(M) = T例14：函数M = -,其中r = Jx2 +y1 +z2 ,设沿方向/ = cos,coscos的方向导 r数工=0,则/与7的关系如何？5 on112xX丄7 43 6“ y u Z解：一 =一一八=一一.=-，由对称性一=一円，一 =-r去 r2昇 jF+b+z? 3莎 r3 &Z r3 Xy1C1 Z- ?= COSa COSyy cos/ = (XCOSa+ ycos0 +zcosy) = ( ) 1 rr7rrQH一由已知 =0得r =0,从而尸垂直I2. 多元函数微分学在几何上的应用x = 4例15：在曲线½ = r53±求一

18、点(Xo,儿,z°),使该点的切线垂直于平面x + y + z = , = t22并求切线和法平而方程。解：点(x,y0,z0)处的切线的方向向量为T = (xt9yt,zf) = (tr,t),平而x + y + z = 1的法向量为亓= 1,1,1,32由已知Tlln,故T = = p 从而Z = I,(心儿,z°) = (1/4,1/3,1/2),1 1 1X歹一一 Z所以切线方程为一= 一' = 一1 1 1法平而方程为 l(x-*) + l(y-*) + l(z-*) = 0,即 + y + z = o 例16：求曲而工+y2+z2 = 1上平行于平而x-

19、y + 2z = 0的切平而方程。从而围成的立体体积为V = -abc.平而方程为- + L + L = 9故此问题化为求bc在约 6a DC2 1 1束条件二+ ； +丄=1下的条件极值问题，a b 3c2 1 1 则拉格朗日函数为La. b. Cy A） = abc - 2（- + - + ）,求QbC的偏导数，并使之为零，a b 3cL 2 Cbe += OCT Cac + -= O则 Zr,解得唯一驻点 = 6=3, c = 1,3所以所求平面方程为非专幷"四、自测题A及解答一. 选择题1极限Iim沁L=（）汙X（A）不存在 （B） O(C) 1(D) X设函数 /(Xj)

20、= arcsin则人(2 J)=(4.曲而XZ2 -XyZ一4 = 0上点(1, 0,2）处切平而方程为（2.(A) -(B) -(C) -(D)-44223. 设 (x - azy-bz) = O 贝 a- + b-=()OX y(A) a(B) b(C) 1(D) -1(A) 2x y 2z 6 = 0 (B) 2x-y + 2z + 2 = 0(C) 2x-y-2z + 2 = 0 (D) 2x 尹 + 2z 6 = O第九草*元函数微分法及其应用5.函数w = 2-z2点(2,71)处方向导数的最大值为()(A) 2z6(B) 4(C) 2(D) 6二、填空题1. 函数Z = Cv,y

21、)在点(x,j')处偏导数fx (x, >,X f (x, y)存在，是函数/(x, Iy)在点(Xj)处可微的条件。2. 设 /(X + ”工)= 2-JA 则/Cy)=3设函数"0'则夕z,4. 设 Z = RyXt),且/(M)可导，则 x + y=Xx 勿5. 设z = Q sin(x + 2y),则冬在点(0,夕)的值等于一，x46. 设H = f(x.xyXyZ).f(u.v.W)有一阶连续偏导数，则仝=。x2Z7. 设Z = XIn(Q),则 TL=。xy& 函数"=ln(x2 +y2 +z2)在点 f(l,2 ,-2)处的梯度

22、gradu =三、计算题L 已知Z = Ay ,求在x = l,y = t = 0.1,y = -0.1处的全增量和全微分。2. f (x - y,xy) = X2 + y2,求 Z = /(x, y)的全微分。3. 设z = f(-) + ys(-)t其中f, g是可微函数，求竺,冬。Xyx y4. 设 Z = ysin xy + X2xy5. x-az = f(y-bz.),求 dz。四. 应用题x = t-sint1. 求曲线T = I_cosr，在点(y-l,l,2r2)处的切线与法平而方程。Z =4sin-22. 求函数U = XyZ点(5,1,2)沿从点(5,1,2)到点(9,4,

23、14)的方向的方向导数。3. 求函数 f(x,y) =-X- y)(a 0)的极值。五、证明题设“ =Sin X + F(Sin y -SUl x), 证明cosy+ cosx = COSXCOSy xy自测题A参考答案一. 选择题(B) . (A). (C). (D). (A)二、填空题1. 必要32.解:x + y = U y=v=>UX =1 + V z« ZZ 1 V 2flJ /(w,v) =HUV1 + v= T77所以心七宀3. 解:铁 2歼, = 2 ' lnxa.z r V' COZ r CULz OZ OZC4. 解：- = yf- j、 =

24、 Xfyf所以 + y = 2ZOoxXCyox,5. 解：ZX = -e"x Sin(X + 2y) + e'v COS(X + 2y) t zj(厨=一1丁6. = 1÷,j + /?CX7. 解：Z =丄，Z = oy y高等数学学习指导7222歹X，+才 +Z，2z三.计算题1.解：z = (x + x)O + Af)-罚，Z = (I + 0.1)(1-0.1)-Il = -0.01dz = ydx + Xdy dz = (0.1) +1 (-0.1) = Oo2.解：*"，/(,v) = (x-y)2 +2Xy = Ir +2v,所以/(Xj)

25、 = X'+2y W = V所以：dz = ZXdX+ Zydy = 2xdx + Idy Q3.ZtZJ z r V rr . z C X .解：忘=八杉7'矿Q严4.z °2z1 .=)厂 COS(Xy) + 2x t = 2y cos(y) 矿 Sin 卩xxy解：令F(Xyy.Z) = f(y-bz) + az-x, 尸、 1 x6z齐F= a-bfi y FZ a-bfIf,所以："冷-曲四、应用题I.解：，由题意可知心彳，由XF = I-COSr yr =SinrZt = 2cos(Z2)Xr = 1yr = 1 所以 E = 1 丄 V5 7r

26、 =近法平而：l(x + l-2) + l(y-l) + (z-2) = 0, Rp： x + y + z-4-r2 = 0。2.解：7 = 9-5,4-14一2 = 4,3,12, 42 +32 +122 = 13,COSa = ±,COS7 = A COS/ = ,因为= 2!LCOSaAOS Aos71313131 x勿z= 2×±÷1O×A + 5x = 2!<5.L2)13131313第九草*元函数微分法及其应用33.=> (0,0),(3,3),(,0),(0,)为驻点,fx =ay-2xy-y2 =O fy=ax-x2

27、- 2xy = 0A = fxx = 一2M = fxy = - 2x - 2” C = fyy = -2x驻点ABCAC-BI极值(0, 0)OaO-a2 <0否(3g3)2一 a3丄32一 a3-a2 >03是(Go)O-a-2a-a2 <0否(0,)2a-aO-a2 <0否在点(3,3),当>O时A<O9/极大=开；片 V °时力 °，九小=五、证明题证明：t =CoSX+ 耳(-COSX)My =耳COSy ,.uu故一COS y + COS X = COS XCOS &莎五、自测题B及解答一、选择题L Iim 上=()2

28、 卩+ 1-1(A)不存在(B) 3(C) 6(D) 2. 函数Z = !一的所有间断点是()SinXSiny(A) X = y = 2t(B) X =尹=”兀,( =1,2,3,)(C) X = y = m.(Tn = 0,±l,±2, )(D) X = IlTry = m.(JI = (±l,±2,，2 = 0,±l,±2,)3. 函数z = f(,y)在点(°,儿)处的偏导数 (，儿),厶(，儿)存在，是函数/(, y)在点(x(),儿)处连续的()条件(A)充分非必要(B)必要非充分(C) 充分必要(D)非充分且非必

29、要4. 已知函数"= (f,x,y),x = 0(s,f),0(s,/)均有一阶连续偏导数，则?=()Ct(A)fr+fx<pt+fyt(B)fxt+fyr(C)f + ft(D)ft+ft+ft5. 设函数Z = (,j在(Xojo)处取得极小值，则函数y) = fy)在几处()(A)取得最小值(B)取得极大值(C)取得极小值(D)取得最大值二、填空题1. 函数Z = In(X In尹)的泄义域为。3?2. 设z(x. y)由方程2xz, 一 2x)7. + h(xyz) = O所确立的函数，则一=。x3. 设 Z = Xsinv,则 dz =04. 设/(x,y) = x

30、+ (y-l)arcsin£,则 f；(XA) =。Ql5. 设 Z = e'x Sin y + y2 则-T-F 在点(O,的值为.OXOy6. xy面上的曲线3+y2=i6绕着y轴旋转一周的曲面在点(1, 1, 2)处的法线方程为O7. 已知曲而Z = 4-，一于上的点M处的切平而平行于已知平而2x-3y-z + 5 = 0,则M点的坐标是。& 函数Z = x2y在点(1, 2)沿点(2, 1)到(1, 2)方向上的方向导数为。三、计算题1. 设 Z = (X+ 2y)"2v,求Ox y12z2. z = - f(y) + y( + j)» /

31、,卩具有二阶连续偏导数，求一 。Xxy3. 设U = /(x,>,z) = xyz',英中 Z = z(x,>')由方程X3 + y3 + z3 -XyZ = O 确泄，求/；(-!Al)O4. Ii = (, y, z),z = g(,刃,y = (x) = ()'求淫。ax5. 已知y = erv+,而t由y2 +t2 -X2 = 1确左的x, y的函数，求©。dx四、应用题1. 求椭球而3x2+2+z2 =16上点(-1-2,3)处的切平而与My而的夹角的余弦。2. 设函数 f(x,y,z) = axy 2 +byz2 +czx2,若/(x,

32、y,z)在点(1,1,-1)处沿Z 轴正方向有最大增长率18 ,求a、b、c的值。3. 求函数 f (y) = xyyj -x -y2 在区域 D = (x,y)x2 +y2 ,x 0,y 上的最大 值。五、证明题6h 6U6H6”设u = F(x,y)可微，而X = J COS.y = rshy,求证(一)2 +()'=(一)2 +(一)drr xy自测题B参考答案一、选择题(B). (D). (D). (A). (C)二、填空题1. 解：Z) = (x,y)lx>O,y >lu(x,y)lx v0,0 vy vl。&F2z-2,yz + -2. 解： 令F(x,

33、y,Z) = 2xz-2xyz + h(x)z), 则二=一丄=一YdxF'2x-2>÷l第九草*元函数微分法及其应用3.4.5.6.7.8.1.2.3.22解：dz = ZXdX + ZVd) = Sin y 疋"7 6r-I-XSln-V - cosy Inx Qy解：,LJ)=l + (y-l) r-J J"-1I “"-S 2石77 yAi解：ZX=-VSiny t Zxy =Y-XCOS八 ZJ(Ojn=O解：旋转曲而为 3(2 +z2) + y2 =16 ,令 F(XyZ) = 3(/ +z2) + y2 -16 ,Fx=6x,

34、Fy =2y.Fz =6z,在点(1 1, 2)处亓=6 1,2 1,6 2 = 23丄6,故法 线方程为! = Z! = zo3 16解：z = 4 牙2 _ F => 亓=-2x,-2y,-l): 2牙_3y _z + 5 = 0 => 亓2 = 2,_3厂1由_ 2x _ _ 2y _ _ 1Z = 4-X2 -y13 3=> (Xj,z) = (-1, ,)解：/ =l-2,2-l) = -LlCOSa =-y=,cos7 =12HX Il n2 =>2-3-1fz - zCI4I1 3=COS CtF COS B = COS Ct 2XV + COS P x = 4 4= 1 =-p= o 6IdXdy，2241 计算题 解：InZ = (x + 2y) In(X + 2y),1 ro = In(X + 2y) + 1, = (x÷ 2y)+2v (1 + ln(x + 2y):Z xx丄竺=2(In(X + 2y) + l), = 2(x + 2y)x+2y (1 + In(X + 2y) Q Z xx解：$=-亠/+丄/Q+