计算n阶固有频率的一个简便公式

1、第23卷第3期2003年9月西安科技学院学报JOURNALOFXIANUNIVERSITYOFSCIENCEANDTECHNOLOGY文章编号:1671-1912(2003)03-0354-03计算n阶固有频率的一个简便公式郭志勇(西安科技大学基础课部,陕西西安710054)摘要:对多自由度无阻线性正定系统固有频率的特征方程利用根与系数的关系,给出了一个计算多自由度系统n阶固有频率的简便公式,并结合实例说明该式精度较高,具有一定的实用价值。关键词:振动系统;固有频率;计算方法中图分类号:O321文献标识码:A动系统,(Rayleigh)法、邓克莱(Dunkerley)法、李兹(Ritz)法、子

2、空间迭代法、1,但瑞雷法需要准确的估计主振型列阵A,导出了一个计算多自由度系统基频的近似公式。本文将文献3,给出了一个计算多自由度系统各阶固有频率的近似公式。并用实例说明了应用本公式其计算过程较瑞雷法简便,精度与瑞雷法相当。因此,本文所推出的公式在理论和实际中均有一定的实用价值。1振动系统的基本方程设有n个自由度的无阻尼线性正定振动系统,其振动微分方程为MX+KX=0(1)若以各质量的静平衡位置作为广义坐标的原点,则质量阵M为一对角阵,刚度阵K为一对称阵,X,X均为列阵。设其振型列阵为A,则振型方程为-MpA+KA=02(2)(3)式中p为系统的固有频率。频率方程为|K-Mp|=022计算固有

3、频率的近似公式将(3)式展开,则有np2n-i=12(n-1)p+mini=1j=2ijkmi2(n-2)-p+=0mimjmimj2(4)22设(4)式有n个不相等的实根,由小到大其依次为p2则由根与系数的关系有1,p2,pn。n2p12p1+2p22p2+pn=2p122i=1(5)n+pn+pn-1pn=22i=1j=2ij-mimjmimj2(6)收稿日期:2002-06-06作者简介:郭志勇(1958-),男,陕西扶风人,副教授,主要从事工程力学教学与研究.第3期郭志勇计算n阶固有频率的一个简便公式(5)式两端平方后减去(6)式两端的2倍有n3554p1+4p2+pn=(4i=1)-

4、2mini=1j=2ijn-mimjmimjn=i=1()2+2mii=1j=2ij()mimj(7)由于p1p2pnn因而可在(7)式左端依次略去前n-1项小量,得到pn=4i=1()2+2mini=1j=2ij()mimj(8)为了能一次求得最高两阶固有频率,保留(5)式和(7)式等号左边的最大两项,写为npn-1+pn=4422i=1mni=1in(9)pn-1+pn=(9)式和(10)式联立消去p4n-1,得到nk2)-2mii=1j=2ijkkkmijij(10)pn-42imini=1j=2ij-mijmimj=0(11)解(11)式得到2npn-1=2ni=1mini=1)-4m

5、ini=1j=2ij-mimjmimj(12)(12)式即为计算最高二阶固有频率的近似公式,(12)式根号前取正号为n阶,根号前取负号为n-1阶。当当n=3时,由(12)式可计算出二、三阶固有n=2时,(12)式即为二自由度振动系统固有频率的精确计算公式。频率,其近似程度很高。随着系统自由度数的增大,其更高阶固有频率的误差也随之增大,但始终与瑞雷法求基频的精度相当,而比其它近似方法的精确度高。3应用实例如图1所示,简支梁的质量不计,沿梁长均匀地作用3个集中质量,梁的跨度为l,抗弯刚度为EJ。求梁作横向振动时的各阶固有频率1。解:系统的质量阵为mM=02m系统的柔度阵为=系统的刚度阵为-1K=3

6、9117111611711923-22768EJ图1梁的横向振动Fig.1Transversevibrationofbeam-2228l3992232-22有关各量计算如下3i=1=3(23+32+23)=mi28ml28ml3356=其中328ml3西安科技学院学报2003年i=1j=2ijkk22=(2332+2323+3223)=2001mimjk22222=(-22)+9+(-22)=1049mimj23i=1j=2ij将上述各量代入(12)式解得3p1=4.9383mlml参考文献:1清华大学工程力学系振动组.机械振动(上册)M.北京:2米罗维奇L.振动分析基础(下册)M.上海:1-

7、3郭志勇.计算基频的一个简便公式J.)Asimplefn2ordernaturalfrequencyGUOZhi2yong(ofBasicCourses,XianUniversityofScienceandTechnology,Xian710054,China)Abstract:Asimpleformulaforfindingn2ordernaturalfrequencyisderivedbyuseofrelationofrootandcoef2ficient,andanexampleisenumeratedtoillustrateitsapplication.Keywords:vibrati

8、onsystem;naturalfrequency;calculationmethod(上接第353页)参考文献:1徐玉兰.非物理专业“基础物理”课程教学现代化的尝试J.大学物理,2002,21(7):36-39.2黄国良.物理实验M.西安:陕西科学技术出版社,1997.153-160.3万雄.夫兰克-赫兹实验中影响曲线形状的因素分析J.南昌航空工业学院学报,2001,3(15):82-85.4郝迎吉.煤炭铁路专线调度指挥系统的研制J.煤炭学报,2002,5(27):548-552.5陈国杰.智能夫兰克-赫兹实验测量仪J.大学物理,2002,6(21):36-39.StudyonteachingmodelofthephysicsexperimentWANGRui2ping,YANXiao2le,SHUQin(Dept.ofBasic