202X年高考数学总复习4.2.1等差、等比数列与数列的通项及求和课件理

1、数列大题-2-3-4-5-1.求通项公式的常见类型求通项公式的常见类型(1)an与与Sn的关系或的关系或Sn与与n的关系的关系,利用公式利用公式(2)等差数列、等比数列求通项或转化为等差(比)数列求通项.(3)由递推关系式求数列的通项公式.形如an+1=an+f(n),利用累加法求通项.形如an+1=anf(n),利用累乘法求通项.-6-2.数列求和的常用方法数列求和的常用方法(1)公式法公式法:利用等差数列、等比数列的求和公式利用等差数列、等比数列的求和公式.(2)错位相减法错位相减法:适合求数列适合求数列anbn的前的前n项和项和Sn,其中其中an,bn一个是等差数列一个是等差数列,另一个

2、是等比数列另一个是等比数列.(3)裂项相消法裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数和即将数列的通项分成两个式子的代数和,通过累通过累加抵消中间假设干项的方法加抵消中间假设干项的方法.(4)拆项分组法拆项分组法:先把数列的每一项拆成两项先把数列的每一项拆成两项(或多项或多项),再重新组再重新组合成两个合成两个(或多个或多个)简单的数列简单的数列,最后分别求和最后分别求和.(5)并项求和法并项求和法:把数列的两项把数列的两项(或多项或多项)组合在一起组合在一起,重新构成一重新构成一个数列再求和个数列再求和,适用于正负相间排列的数列求和适用于正负相间排列的数列求和.3.数列单调性的常见题型及方

3、法数列单调性的常见题型及方法(1)求最大求最大(小小)项时项时,可利用可利用:数列的单调性数列的单调性;函数的单调性函数的单调性;导数导数.(2)求参数范围时求参数范围时,可利用可利用:作差法作差法;同号递推法同号递推法;先猜后证先猜后证法法.-7-4.数列不等式问题的解决方法(1)利用数列(或函数)的单调性.(2)放缩法:先求和后放缩;先放缩后求和,包括放缩后成等差(或等比)数列再求和,或者放缩后裂项相消再求和.4.2.1等差、等比数列与数列 的通项及求和-9-考向一考向二考向三考向四考向五等差、等比数列的通项及求和等差、等比数列的通项及求和例例1(2021全国全国,理理17)记记Sn为等差

4、数列为等差数列an的前的前n项和项和,a1=-7,S3=-15.(1)求求an的通项公式的通项公式;(2)求求Sn,并求并求Sn的最小值的最小值.解:(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.解题心得对于等差、等比数列,求其通项及前n项和时,只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可.-10-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练对点训练1等差数列等差数列an的公差不为零的公差不为零,a1=25,且且a1,a11

5、,a13成成等比数列等比数列.(1)求求an的通项公式的通项公式;(2)求求a1+a4+a7+a3n-2.解:(1)设an的公差为d. 即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去)或d=-2.故an=-2n+27.(2)令Sn=a1+a4+a7+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故a3n-2是首项为25,公差为-6的等差数列.-11-考向一考向二考向三考向四考向五可转化为等差、等比数列的问题可转化为等差、等比数列的问题例例2等比数列等比数列an的前的前n项和为项和为Sn,a1=3,且且3S1,2S2,S3成等差数列成等

6、差数列.(1)求数列求数列an的通项公式的通项公式;(2)设设bn=log3an,求求Tn=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+b2n-1b2n-b2nb2n+1.解:(1)3S1,2S2,S3成等差数列,4S2=3S1+S3,4(a1+a2)=3a1+(a1+a2+a3),即a3=3a2,公比q=3,an=a1qn-1=3n.-12-考向一考向二考向三考向四考向五解题心得无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,通过变形、整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.(2)由(1)知,bn=log3an=log33n=n,b2n-1b2

7、n-b2nb2n+1=(2n-1)2n-2n(2n+1)=-4n,Tn=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+(b2n-1b2n-b2nb2n+1)-13-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练对点训练2设设an是公比大于是公比大于1的等比数列的等比数列,Sn为数列为数列an的前的前n项和项和,S3=7,且且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列构成等差数列.(1)求数列求数列an的通项公式的通项公式;-14-考向一考向二考向三考向四考向五解:(1)由得 -15-考向一考向二考向三考向四考向五(2)由(1)得a3n+1=23n,bn=ln 23n=3nln 2.bn+1-bn=3ln

8、 2,数列bn为等差数列.-16-考向一考向二考向三考向四考向五求数列的通项及错位相减求和求数列的通项及错位相减求和例例3an为等差数列为等差数列,前前n项和为项和为Sn(nN*),bn是首项为是首项为2的等比数的等比数列列,且公比大于且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求求an和和bn的通项公式的通项公式;(2)求数列求数列a2nb2n-1的前的前n项和项和(nN*).-17-考向一考向二考向三考向四考向五解:(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q

9、0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=16,联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,数列an的通项公式为an=3n-2,数列bn的通项公式为bn=2n.-18-考向一考向二考向三考向四考向五(2)设数列a2nb2n-1的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)4n,故Tn=24+542+843+(3n-1)4n,4Tn=242+543+844+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1,上述两式相减,得-3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4

10、n+1-19-考向一考向二考向三考向四考向五解题心得求数列通项的根本方法是利用等差、等比数列通项公式,或通过变形转换成等差、等比数列求通项;如果数列an与数列bn分别是等差数列和等比数列,那么数列anbn的前n项和采用错位相减法来求.-20-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练对点训练3(2021浙江浙江,20)等比数列等比数列an的公比的公比q1,且且a3+a4+a5=28,a4+2是是a3,a5的等差中项的等差中项.数列数列bn满足满足b1=1,数列数列(bn+1-bn)an的前的前n项和为项和为2n2+n.(1)求求q的值的值;(2)求数列求数列bn的通项公式的通项公式.解:(1)由a

11、4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.-21-考向一考向二考向三考向四考向五(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列cn前n项和为Sn, -22-考向一考向二考向三考向四考向五-23-考向一考向二考向三考向四考向五求数列的通项及裂项求和求数列的通项及裂项求和例例4数列数列an的前的前n项和为项和为Sn,且对任意正整数且对任意正整数n,都有都有3an=2Sn+3成成立立.(1)求数列求数列an的通项公式的通项公式;解:(1)在3an=2Sn+3中,取n=1,得a1=3,且3an+1=2Sn+1+3,两式相减,得3an+1-

12、3an=2an+1,an+1=3an.a10,数列an是以3为公比的等比数列,an=33n-1=3n.-24-考向一考向二考向三考向四考向五(2)由(1)得bn=log3an=n, 解题心得对于等式中含有an,Sn的求数列通项的题目,一般有两种解题思路,一是消去Sn得到f(an)=0,求出an;二是消去an得到g(Sn)=0,求出Sn,再求an.把数列的通项拆成两项之差,求和时中间的项能够抵消,从而求得其和.注意抵消后所剩余的项一般前后对称.-25-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练对点训练4Sn为数列为数列an的前的前n项和项和.an0, +2an=4Sn+3.(1)求求an的通项公式的

13、通项公式;所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.-26-考向一考向二考向三考向四考向五(2)由an=2n+1可知 设数列bn的前n项和为Tn,那么Tn=b1+b2+bn-27-考向一考向二考向三考向四考向五涉及奇偶数讨论的数列求和涉及奇偶数讨论的数列求和例例5等差数列等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,且且a1=2,S5=30.数列数列bn的前的前n项项和为和为Tn,且且Tn=2n-1.(1)求数列求数列an,bn的通项公式的通项公式;(2)设设cn=(-1)n(anbn+ln Sn),求数列求数列cn的前的前n项和项和.对数列bn:当n=1时,b1=T1=21

14、-1=1,当n2时,bn=Tn-Tn-1=2n-2n-1=2n-1,当n=1时也满足上式.bn=2n-1.-28-考向一考向二考向三考向四考向五(2)cn=(-1)n(anbn+ln Sn)=(-1)nanbn+(-1)nln Sn. ln Sn=ln n(n+1)=ln n+ln(n+1).而(-1)nanbn=(-1)n2n2n-1=n(-2)n,设数列(-1)nanbn的前n项和为An,数列(-1)nln Sn的前n项和为Bn,那么An=1(-2)1+2(-2)2+3(-2)3+n(-2)n,那么-2An=1(-2)2+2(-2)3+3(-2)4+n(-2)n+1,-得3An=1(-2)1+(-2)2+(-2)3+(-2)n-n(-2)n+1-29-考向一考向二考向三考向四考向五当n为偶数时,Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+ln n+ln(n+1)=ln(n+1)-ln 1=ln(n+1);当n为奇数时,Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+-ln n+ln(n+