高等数学——空间中直线与直线之间的位置关系

1、编辑ppt编辑ppt1、熟练掌握异面直线定义；、熟练掌握异面直线定义；2、理解掌握空间两直线的位置关系、理解掌握空间两直线的位置关系;3、熟练掌握平行公理、熟练掌握平行公理4，并会简单应用，并会简单应用; 4、理解掌握等角定理及其推论、理解掌握等角定理及其推论;5、熟练掌握异面直线所成角定义；、熟练掌握异面直线所成角定义；6、掌握求两异面直线所成角的方法、掌握求两异面直线所成角的方法。编辑ppt南海万泉河立交桥南海万泉河立交桥编辑pptABCD六角螺母六角螺母编辑ppt:不同不同在在任何一个平面内任何一个平面内的两条直线的两条直线叫做异面直线。叫做异面直线。注：注：概念应理解为概念应理解为:

2、:“经过这两条直线无法作出一个平面经过这两条直线无法作出一个平面” .或或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直不可能找到一个平面同时经过这两条直线线”:不相交也不平行不相交也不平行两条直线叫做两条直线叫做 异面直线。异面直线。注意注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定分别在某两个平面内的两条直线不一定 是异面直线是异面直线, 它们可能是相交它们可能是相交,也可能是平行也可能是平行.一、异面直线一、异面直线:编辑ppt异面直线的画法异面直线的画法:Abababa编辑pptA1B1C1D1CBDA练习：如图：正方体的棱所在的直线中，练习：如图：正方体的棱所在的直线中，与直线与直线A1B异面的

3、有哪些？异面的有哪些？ 答案：答案：D1C1、C1C、CD、D1D、AD、B1C1编辑ppt探究探究:HGCADBEFGHEF(B)(C)DAAB,CD,EF,GH这四条线段所在的这四条线段所在的直线是异面直线的有几对直线是异面直线的有几对?相交直线有几对相交直线有几对?平行直线有几对平行直线有几对?编辑ppt想一想：在空间中两条直线的想一想：在空间中两条直线的位置关系？位置关系？编辑ppt二、空间两直线的位置关系：二、空间两直线的位置关系：(1)从公共点的数目来看，可分为：从公共点的数目来看，可分为：有且只有一个公共点有且只有一个公共点两直线相交两直线相交1l2lA没有公共点没有公共点两直线

4、平行两直线平行两直线为异面直线两直线为异面直线1l2l12llA记作：12/ll记作：编辑ppt(2)从平面的性质来讲，可分为：从平面的性质来讲，可分为：两直线相交两直线相交在同一平面内在同一平面内两直线平行两直线平行不在同一平面内不在同一平面内两直线为异面直线两直线为异面直线编辑ppt问题：问题：在同一平面内，平行于同一条直在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，在空间中此结论仍成线的两直线平行，在空间中此结论仍成立吗？立吗？ 编辑ppt若若ab，bc, 则则accaabc ca 公理公理4:平行于同一条直线的两条直线平行于同一条直线的两条直线互相平行互相平行.(空间平行直线的传递性空间

5、平行直线的传递性)编辑ppt空间四边形：空间四边形：如图，顺次连结不共面的四点如图，顺次连结不共面的四点A、B、C、D所组成的四边形叫做空间四边形所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.ABCD相对顶点相对顶点A与与C，B与与D的的连线连线AC、BD叫做这个空叫做这个空间四边形的对角线间四边形的对角线.编辑ppt例例1：已知：已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，的空间四边形，E，F，G，H分别是分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证求证EFGH是一个平行四边形。是一个平行四边形。解题思想：解题思想： EH是是AB

6、D的中位线的中位线 EH BD且且EH = BD同理，同理，FG BD且且FG = BDEH FG且且EH =FGEFGH是一个平行四边形是一个平行四边形证明：证明：连结连结BD2121把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题解立体几何时最主要、最常用的一种方法。解立体几何时最主要、最常用的一种方法。AB DEFGHC编辑ppt同一平面内： ABBACC/, /CAACBAABCABBAC 编辑ppt问题：在空间中，如果一个角的两边问题：在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等吗？两个角相等

7、吗？编辑ppt方向相同或相反，结果如何？方向相同或相反，结果如何？编辑ppt一组边的方向相同，而另一组边的一组边的方向相同，而另一组边的方向相反，又如何？方向相反，又如何？互补，编辑ppt等角定理等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补平行，那么这两个角相等或互补.推论：推论：如果两条相交直线和另两条如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角线所成的锐角(或直角或直角)相等相等.编辑ppt aaOObb三、异面直线所成角的定义：三、异面直线所成角的定义：直线直线a、b是异面直线是异面

8、直线,经过空间任意一点经过空间任意一点O,分别引直线分别引直线a1a,b1b,把直线把直线a1和和b1所成的所成的锐角锐角(或直角或直角)叫做叫做异面直线异面直线a和和b所成的角所成的角。平平移移法法编辑ppt 如果两条异面直线所成的角为直角，如果两条异面直线所成的角为直角，那么就称这两条异面直线垂直。那么就称这两条异面直线垂直。ba aObao900异面直线异面直线a和和b所成的角的范围：所成的角的范围：编辑ppt 强调强调:1)范围范围 2)与与0的位置无关的位置无关 ； 3)为了方便点为了方便点O选取应有利于解选取应有利于解决问题，可取特殊点决问题，可取特殊点(如如a 或或 b上上)；

9、4)找两条异面直线所成的角，找两条异面直线所成的角，要作平行移动要作平行移动(平行线平行线)，把两条异面，把两条异面直线所成的角，直线所成的角，转化转化为两条相交直线为两条相交直线所成的角所成的角. 90, 0(0编辑ppt45o例例2:(1)求直线求直线BA1和和CC1所成角的度数。所成角的度数。ABC1D1C1B1AD编辑ppt例例2:(2)哪些棱所在直线与直线哪些棱所在直线与直线AA1垂直？垂直？ABC1D1C1B1AD编辑ppt一作一作(找找)、二证、三求、二证、三求(1)通过直线平移，作出异面直线通过直线平移，作出异面直线所成的角，把空间问题转化为所成的角，把空间问题转化为平面问题。平面问题。(2)利用平面几何知识，利用平面几何知识，求出异面直线所成角的大小。求出异面直线所成角的大小。四、异面直线所成角的求法：四、异面直线所成角的求法：编辑ppt例例3:在正方体在正方体ABCD-ABCD中，棱长为中，棱长为a，E、F分别是棱分别是棱AB，BC的中点，求：的中点，求：异面直线异面直线 AD与与 EF所成角的大小；所成角的