202X届高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.3二项分布与正态分布课件

1、A A组自主命题组自主命题天津卷题组天津卷题组五年高考1.(2019天津理,16,13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.23解析解析本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,重点考查数学建

2、模、数学运算的核心素养.满分13分.(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为,故XB,从而P(X=k)= ,k=0,1,2,3.所以,随机变量X的分布列为2323,33Ck23k313kX0123P1272949827随机变量X的数学期望E(X)=3=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则YB,且M=X=3,Y=1X=2,Y=0.由题意知事件X=3,Y=1与X=2,Y=0互斥,且事件X=3与Y=1,事件X=2与Y=0均相互独立,从而由(1)知P(M)=P(X=3,Y=1X=2,Y=0)=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0

3、)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=+=.2323,3827294912720243思路分析思路分析(1)观察关键词“均”“互不影响”“相互独立”,判断XB(n,p),从而利用二项分布求出分布列与期望.(2)先将“天数恰好多2”用数学语言表示,即或从而利用互斥与相互独立事件的概率计算公式求解.3,1XY2,0.XY解后反思解后反思本题关键是将实际问题转化为数学问题.2.(2012天津理,16,13分)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷

4、出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=|X-Y|,求随机变量的分布列与数学期望E.解析解析依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),则P(Ai)=.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)=.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3A4.由于A3与A4互斥,故P(B)=P(A3)

5、+P(A4)=+=.13234Ci13i423i24C21322382734C3132344C41319所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故P(=0)=P(A2)=,P(=2)=P(A1)+P(A3)=,198274081P(=4)=P(A0)+P(A4)=.所以的分布列是随机变量的数学期望E=0+2+4=.024P1781827408117818274081178114881评析评析本题考查概率知识的求解,考查互斥事件的概率公式,考查离散型随机变量的分布列与期望,属于中档题.B B组统一命题

6、、省组统一命题、省( (区、市区、市) )卷题组卷题组考点一条件概率、相互独立事件及二项分布考点一条件概率、相互独立事件及二项分布1.(2018课标理,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)P(X=6),则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3答案答案B本题考查相互独立事件及二项分布.由题知XB(10,p),则DX=10p(1-p)=2.4,解得p=0.4或0.6.又P(X=4)P(X=6),即p4(1-p)6p6(1-p)4(1-p)20.5,p=0.6,故选B.410

7、C610C评析评析本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法,独立重复事件的应用,考查转化思想以及计算能力.2.(2015课标理,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案答案A该同学通过测试的概率P=0.620.4+0.63=0.432+0.216=0.648,故选A.23C评析评析本题考查独立重复试验概率的求法,基本知识的考查.3.(2019课标理,15,5分)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利

8、时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4 1获胜的概率是.答案答案0.18解析解析本题主要考查独立事件概率的求解;考查学生的数据处理能力、推理论证能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学建模.由题意可知七场四胜制且甲队以4 1获胜,则共比赛了5场,且第5场甲胜,前4场中甲胜3场.第一类:第1场、第2场中甲胜1场,第3场、第4场甲胜,则P1=0.60.40.52=2=;第二类:第1场、第2场甲胜,第3场、第4场中甲胜1场,则P2=0.620.50.5=2=,所以甲队以

9、4 1获胜的概率为P=0.6=0.18.12C35251432512C23514950392550疑难突破疑难突破采用七场四胜制,由题意分析得若甲队以4 1获胜,则甲队在第5场比赛中必胜,且前4场比赛中胜3场.4.(2017课标理,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX=.答案答案1.96解析解析本题主要考查二项分布.由题意可知XB(100,0.02),由二项分布可得DX=1000.02(1-0.02)=1.96.评析评析本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法,判断概率类型满足二项分布是解题的关键.5.(20

10、15广东理,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=.答案答案13解析解析因为XB(n,p),所以E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得n=90,p=.13评析评析本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法,考查计算能力.6.(2019课标理,18,12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10 10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10 10平后,甲先发球,

11、两人又打了X个球该局比赛结束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.解析解析本题主要考查独立事件概率的求解.考查学生的逻辑推理及数据处理能力;考查的核心素养是数据分析和逻辑推理.(1)X=2就是10 10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.50.4+(1-0.5)(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲获胜,就是10 10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为0.5(1-0.4)+(1-0.5)0.40.50.4=0.1.思路分析思路分

12、析(1)X=2,即要么甲得2分,要么乙得2分,分类求出独立事件的概率,求和即可.(2)X=4且甲获胜,即又打了4个球,且后两球甲得分,前两个球甲、乙各得1分,由独立事件的概率公式可求解.解题关键解题关键某局打成10 10平后,每球交换发球权,甲先发球,求出甲得分的概率分别为0.5,0.4,0.5,0.4是解决本题的关键.7.(2019课标理,21,12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白

13、鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7),其中a=P(X=-1),

14、b=P(X=0),c=P(X=1).假设=0.5,=0.8.(i)证明:pi+1-pi(i=0,1,2,7)为等比数列;(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.解析解析本题主要考查概率与数列的综合,考查离散型随机变量的分布列,等比数列的判定及累加法的应用,考查学生灵活运用概率与数列知识去分析、解决实际问题的能力,综合考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力以及应用意识、创新意识.(1)X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-),P(X=0)=+(1-)(1-),P(X=1)=(1-).所以X的分布列为X-101P(1-)+(1-)(1-)(1-)(2)(i)由(1)得

15、a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因为p1-p0=p10,所以pi+1-pi(i=0,1,2,7)是公比为4,首项为p1的等比数列.(ii)由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+(p1-p0)=p1.由于p8=1,故p1=,所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=p1=.p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为

16、0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.84138341441312571257试题分析试题分析本题以试验新药疗效为背景,命制了一个概率与数列的综合性问题,试题很新颖,创新度高,考查学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.本题层次分明,内容丰富,区分度较高,使不同学生的理性思维的广度和深度得到了充分展示.考点二正态分布考点二正态分布1.(2015湖北理,4,5分)设XN(1,),YN(2,),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()A.P(Y2)P(Y1)B.P(X2)P(X1)C.对任意正数t,P(Xt)P(Yt)

17、D.对任意正数t,P(Xt)P(Yt)2122答案答案C由题图可知102,12,P(Y2)P(X1),故B错;当t为任意正数时,由题图可知P(Xt)P(Yt),而P(Xt)=1-P(Xt),P(Yt)=1-P(Yt),P(Xt)P(Yt),故C正确,D错.评析评析本题考查了正态分布的图象与性质,学习正态分布,一定要紧紧抓住平均数和标准差这两个关键量,结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质.2.(2015湖南理,7,5分)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附:若XN(,2),则P(-X+)=0.6826

18、,P(-2X+2)=0.9544.A.2386B.2718C.3413D.4772答案答案C由正态分布N(0,1)的密度曲线的几何意义,知题图中阴影部分的面积为P(0 x1)=0.6826=0.3413,故落入阴影部分的点的个数的估计值为0.341310000=3413.故选C.12评析评析本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量和的应用,考查曲线的对称性,属于基础题.3.(2017课标理,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零

19、件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得=xi=9.97,s=0.212,其中xi为抽取的第i

20、个零件的尺寸,i=1,2,16.用样本平均数作为的估计值,用样本标准差s作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3,+3)之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(,2),则P(-3Z+3)=0.9974.0.9974160.9592,0.09.x116161i16211()16iixx162211(16)16iixxx0.008解析解析本题考查了统计与概率中的二项分布和正态分布的性质及应用.(1)抽取的一个零件的尺寸在(-3,+3)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率为0.0026,故XB(16

21、,0.0026).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.9974160.0408.X的数学期望为EX=160.0026=0.0416.(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由=9.97,s0.212,得的估计值为=9.97,的估计值为=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(-3,+

22、3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为(169.97-9.22)=10.02,因此的估计值为10.02.=160.2122+169.9721591.134,x115161i2ix剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为(1591.134-9.222-1510.022)0.008,因此的估计值为0.09.1150.008C C组教师专用题组组教师专用题组考点一条件概率、相互独立事件及二项分布考点一条件概率、相互独立事件及二项分布1.(2015北京理,16,13分)A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单

23、位:天)记录如下:A组:10,11,12,13,14,15,16;B组:12,13,15,16,17,14,a.假设所有病人的康复时间互相独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于14天的概率;(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(3)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)解析解析设事件Ai为“甲是A组的第i个人”,事件Bj为“乙是B组的第j个人”,i,j=1,2,7.由题意可知P(Ai)=P(Bj)=,i,j=1,2,7.(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的

24、第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5A6A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=.(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知,C=A4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6.因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=.(3)a=11或a=18.17371049分析分析(1)设事件A1为“甲是A组的第5或第6或第7个人”,

25、由概率公式可得;(2)设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”C=A4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6,易得P(C)=10P(A4B1),易得答案;(3)由方差的公式可得.评析评析本题考查古典概型及其概率公式,涉及概率的加法公式和方差,属基础题.2.(2014北京理,16,13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;(3)记为表中10个命中次数

26、的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX与的大小.(只需写出结论)场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512xx解析解析(1)根据投篮统计数据知,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的

27、投篮命中率超过0.6”,事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”.则C=AB,A,B独立.根据投篮统计数据知,P(A)=,P(B)=.P(C)=P(A)+P(B)=+=.所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为.(3)EX=.BA3525BA3535252513251325x评析评析本题主要考查了概率的计算、数学期望,平均数,互斥事件的概率,属于中档题.3.(2014辽宁理,18,12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组

28、的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).解析解析(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6,P(A2)=0.00350=0.15,P(B)=0.60.60.152=0.108.(2)X可能取的值为

29、0,1,2,3,相应的概率为P(X=0)=(1-0.6)3=0.064,P(X=1)=0.6(1-0.6)2=0.288,P(X=2)=0.62(1-0.6)=0.432,P(X=3)=0.63=0.216.分布列为03C13C23C33CX0123P0.0640.2880.4320.216因为XB(3,0.6),所以期望E(X)=30.6=1.8,方差D(X)=30.6(1-0.6)=0.72.(2014课标理,18,12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中

30、的数据用该组区间的中x考点二正态分布考点二正态分布点值作代表);(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2),其中近似为样本平均数,2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8Z212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用(i)的结果,求EX.附:12.2.若ZN(,2),则P(-Z+)=0.6826,P(-2Z+2)=0.9544.x150解析解析(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为=1700.02+1800.09+1900.22+

31、2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200,s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150.(2)(i)由(1)知,ZN(200,150),从而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)=0.6826.(ii)由(i)知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知XB(100,0.6826),所以EX=1000.6826=68.26.xx考点一条件概率、相互独立事件及二项分布考点一条件概率、相互独立事件及二

32、项分布三年模拟A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组1.(2018天津和平二模理)甲、乙、丙均两次参加英语高考,取两次成绩中较高的为最终成绩,三人第一次成绩不低于130分的概率依次为、.甲若第一次成绩不低于130分,则第二次成绩不低于130分的概率为,若第一次成绩在130分以下,则第二次成绩不低于130分的概率为;乙若第一次成绩不低于130分,则第二次成绩不低于130分的概率为,若第一次成绩在130分以下,则第二次成绩不低于130分的概率为;丙第二次成绩不受第一次成绩的影响,不低于130分的概率为.(1)设A为事件“甲的英语高考最终成绩不低于

33、130分”,B为事件“乙的英语高考最终成绩不低于130分”,C为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”,分别求出事件A、事件B、事件C发生的概率;(2)设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X,求X的分布列与数学期望.1413122313141223解析解析(1)事件A发生的概率P(A)=+=,事件B发生的概率P(B)=+=,事件C发生的概率P(C)=+=.(2)设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X,则X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=P()=,P(X=1)=P(C+B+A)=+=,P(X=2)=P(BC+AC+AB)=+=,P(X=3)=P(AB

34、C)=,X的分布列为141141312131131223121122356ABC121316136ABACBC121356122316121316836ABC12235612135612231617361223561036X0123P13683617361036数学期望E(X)=0+1+2+3=2.136836173610362.(2018天津南开中学第五次月考)网购逐步走入百姓生活,网络(电子)支付方面的股票受到一些股民的青睐.某单位4位热爱炒股的好朋友研究后决定购买“生意宝”和“九州通”这两支股票中的一支.他们约定:每人通过掷一枚质地均匀的骰子决定购买哪支股票,掷出点数为5或6的人买“九州

35、通”股票,掷出点数为小于5的人买“生意宝”股票,且必须从“生意宝”和“九州通”这两支股票中选择一支股票购买.(1)求这4人中恰有1人购买“九州通”股票的概率;(2)用,分别表示这4人中购买“生意宝”和“九州通”股票的人数,记X=,求随机变量X的分布列与数学期望EX.解析解析(1)由题意可知每人购买“九州通”股票的概率均为,购买“生意宝”股票的概率均为,4人中恰有1人购买“九州通”股票的概率为=.(2)X的可能取值为0,3,4,其中P(X=0)=+=,132314C1332332814134231781P(X=3)=+=,P(X=4)=.X的分布列为14C1332314C23313408124C

36、213223827X034的数学期望为EX=0+3+4=.17814081827833.(2018天津南开一模理)为弘扬中华优秀传统文化,某中学利用课余时间组织学生开展小型知识竞赛.比赛规则:每个参赛者回答A、B两组题目,每组题目各有两道题,每道题答对得1分,答错得0分,两组题目得分的和作为该选手的比赛成绩.小明估计答对A组每道题的概率均为,答对B组每道题的概率均为.(1)求小明A组题得分比B组题得分多1分的概率;(2)记小明在比赛中的得分为,按此估计的分布列和数学期望E.3423解析解析(1)设小明A组题得1分,B组题得0分为事件M,A组题得2分,B组题得1分为事件

37、N,则小明A组题得分比B组题得分多1分的概率为P(MN)=P(M)+P(N)=+=.(2)由题意知小明在比赛中的得分的可能取值为0,1,2,3,4(单位:分).则P(=0)=,P(=1)=+=,12C34314221312C2321323472423142213114412C34314221312C232132314572P(=2)=+=,P(=3)=+=,P(=4)=,的分布列为2342213231422312C2321312C343143714423412C2321312C343142235122342231401234P11445723714451214E=0+1+2+3+4=.1144

38、57237144512141764.(2019天津耀华中学第一次月考,16)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).2313解析解析用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,则P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P

39、(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=+=.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=,2313223132232313223568159291081P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3

40、)-P(X=4)=.故X的分布列为EX=2+3+4+5=.X2345P881592910818815929108188122481评析评析本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.(2019天津杨村一中高考热身数学试卷)已知随机变量服从正态分布N(3,2),若P(6)=0.8,则P(03)=.考点二正态分布考点二正态分布答案答案0.3解析解析随机变量服从正态分布N(3,2),P(6)=0.8,P(03)=P(06)=1-2(1-P(6)=0.3.1212B B组组2017201920172019年高考模拟年高考模拟专题综合

41、题组专题综合题组时间:30分钟分值:50分解答题(共50分)1.(2019天津十二重点中学二模理)为响应党中央号召,某学校以“我们都是追梦人”为主题举行知识竞赛.现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,王同学从中任取3道题解答.(1)求王同学至少取到2道乙类题的概率;(2)如果王同学答对每道甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立,已知王同学恰好选中2道甲类题,1道乙类题,用X表示王同学答对题的个数,求随机变量X的分布列和数学期望.2335解析解析(1)设“王同学至少取到2道乙类题”为事件A.P(A)=.(5分)(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.(6分)P(X

42、=0)=,P(X=1)=+=,P(X=2)=+=,P(X=3)=,(10分)故X的分布列为123644310C CCC1302C023221331524512C2321331502C221335114522C223021331512C23213354922C223021335415X0123P245114549415E(X)=0+1+2+3=.(13分)24511454941529152.(2019天津河西一模)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.虽然PM2.5只是地球大气成分中含量很少的组分,但它对空气质量和能见度等有重要的影响.我国PM2.5标准如下表

43、所示.我市环保局从市区四个监测点2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示.(1)求这15天数据的平均值(结果保留整数);(2)从这15天的数据中任取3天的数据,记表示其中空气质量达到一级的天数,求的分布列和数学期望;(3)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中大约有多少天的空气质量达到一级.解析解析(1)这15天的数据的平均值为=(25+28+31+92)=55.(3分)(2)依据条件,的可能值为0,1,2,3,P(=0)=,(4分)P(=1)=,(5分)P(=2)=,(6分)P(=3)=.(7分)所以分布列为x11503510315C CC249112510315C CC459121510315C CC209130510315C CC2910123P24914591209129