高考复习之概率统计(理科)

1、高考复习之概率统计(理科)热点一：分布列、数学期望和方差1、分布列：-V1Xz Xi PP:Pz p. 2、分布列的两个性质：(DPi'O, i = b 2,;(2)P1+P2+-=1.3、数学期望：一般地，若离散型随机变量，的概率分布为9gX Xn ppiP2 则称为1的数学期望，简称期望. = xlPl + x2p2 + +xnPll + 性质：E(M + b) = aE§+b4、方差:=(再 一 七4)2 , Pi *2 - E4) P? (x“ - E§) p”称为随机变量，的均方差，简称为方差，式中的是随机变量&的期望.石彳 性质：(1) ； (2

2、)；5、二项分布：，B (n, p),并记=b (k： n. p).01 k npC；P%" C："E，二np, np (1-p)例1、袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个1=123,4).现从袋中任取一球.表 示所取球的标号.(I )求的分布列，期望和方差；(II)若,，试求a.b的值.小结：求期望和方差的步骤S1确定随机变量的允许值；S2计算相应的概率：S3写出分布列；S4代入期 望和方差公式求解.练习：1、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘而试，面试合格者可正式签约，甲表示只要而试合格就签约. 乙、丙则约定：两人而试都合格就一同签约，否则两人

3、都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：2(I )至少有1人面试合格的概率；(II)签约人数的分布列和数学期望.2、某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标得。分.已知某射手每次击中目标的概率为0.8,其各次射击结果互不影响.iliG = L2,3)(I )求该射手恰好射击两次的概率；(II)该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望.3、某批发市场对某种商品的周销售量(单位：吨)进行统冲，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量234频数205030(I )根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率

4、:（II）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）.若以上述 频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望.几种常见题型的解法一、从分类问题角度求概率例2 （日本高考题）袋内有9个白球和3个红球，从袋中任意地顺次取出三个球（取出的球不再放回） ,求第三次取出的球是白球的概率.二、从不等式大小比较的角度看概率例3 “幸运52”知识竞猜电视行目，为每位选手准备5道试题，每道题设“Yes”与“No”两个选 项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题， 是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得

5、1个或1个以上的商标？ 三、从“至多”、“至少”的角度看概率.例4、有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95,各取一件进行检验.（I）求恰有一件不合格的概 率；（II）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001） .四、从“或”、“且”的角度看概率例5甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或被乙解出的概率为0. 92.（1）求该题被乙独立解出的概率：（2）求解出该题的人数的数学期望和方差.相关练习1.（山东卷7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1, 2, 3,，18的18名火炬手.若从中任选3 人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率

6、为（A）（C）（D）2.（福建卷5）某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是A.B.C.D.16 96 192 256625 625 625 6253.（辽宁卷7） 4张卡片上分别写有数字L 2, 3, 4,从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片 上的数字之和为奇数的概率为（）_ _ 2 3A.B.C.d. 3 2 3 44 .甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.2 P16（I ）求乙投球的命中率：(H)求甲投球2次,至少命中1次的概率;(III)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率.5

7、 .某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5 (相互独立)， 1)求至少3人同时上网的概率：2)至少几人同时上网的概率小于0.3?6 .甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个,甲、乙二人依次各抽 一题.(I)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？(II)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？关于统计问题L (天津卷11) 一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人.为了调 查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人,2 .某公司生产三种

8、型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层 抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取, , 辆.3 .甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下1单位：t/hm2 ):品种第一年第二年第三年第四年第五年甲9.89. 910.11010. 2乙9.410.310.89.79.8其中产量比较稳定的小麦品种是.4 .一个工厂在若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进 行质量检查，若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为5 .(江苏卷)某人5次上班途中所花的时间(

9、单位：分钟)分别为x, y, 10, 11, 9.已知这组数据的平均 数为10,方差为2,则I x-y I的值为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 46 .(四川卷)甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用 分层抽样法，抽取一个容量为人的样本，应在这三校分别抽取学生(B)人,人，人 (D)人，人，人(A)人，人，人 (C)人，人，人(D) 501 8岁的男8.(重庆卷)某地区有300家商店，其中大型商店有30家,中型商店有75家，小型商店有195家.为了掌握 各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本.若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是(A)

10、 2(B) 3(C) 5(D) 13九(全国II) 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000人，并根据所得数据画了 样本的频率分布直方图(如右图).为了分析居 民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要 从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作 进一步调查，则在2500, 3000)元)月收入 段应抽出人.10.山东卷某学校共有师生2400人,现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容置为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150,那么该学校的教师人数是09年高考复习之概率统计(答案)热点一：分布列、数学期望和方差1、分布列：乂Xz pAPz P： 2、分布列的两个性

11、质：(DPiO, i = b 2,;(2)P1+P2+-=1.3、数学期望：一般地，若离散型随机变量，的概率分布为g Xn ppiP2 则称 为；的数学期望，简称期望.石4 =内| + %，2 + +%， + 性质：E(延+ b)=aEg+b4、方差：=+ + . + + .0(为_£自)11(占一七?二必。"-)?"” 称为随机变量，的均方差，简称为方差，式中的是随机变量&的期望.E4 性质：(1) ； (2)；5、二项分布：，B (n, p),并记=bk： n, p).01 k np C：P”q°E C =np, np (1-p)例1、袋中有

12、20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个(=123,4) ,现从袋中任取一球,表 示所取球的标号.(I)求的分布列，期望和方差；(II)若,，试求a、b的值.解：本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力满分12分) 解：(I)的分布列为：001234p£21201Io32015E£> = 0x + lx + 2x + 3x + 4x = 1.5 22010205(H)由,得a2x2.75=ll,即又所以当 a=2 时，由 1 =2 X 1.5+b,得 b=-2;当 a=-2 时，由 1 =-2X 1.5+b,得 b=4

13、.a = 2,工或即为所求.”=一2 1 = 4小结：求期望和方差的步骤S1确定随机变量的允许值:S2计算相应的概率:S3写出分布列:S4代入期 望和方差公式求解.练习：1、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘而试，而试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是£否合格互不影响.求：2(I )至少有1人面试合格的概率；(II)签约人数的分布列和数学期望.解：用A, B, C分别表示事件甲、乙、丙而试合格,由题意知A, B. C相互独立, 且P (A) =P (B) =P (C)=.(I )至少

14、有1人面试合格的概率是 17 1-P(ABC) = 1-P(A)P(B)P(C) = 1-(-)311k= Ox f 1 x f2x f 3 x = 1.自的期望 88882、某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标得0分.已知某射手每次击中目标的概率为0.8,其各次射击结果互不影响.ilia = L2,3)(I )求该射手恰好射击两次的概率:=-.2 o(II)的可能取值?9% 1, 2l3.P(g = O) = P(ABC) + P(ABC) + P(ABC)=P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(

15、C)(!)y 了+(=1.=2228P® = 1) = P(ABC) + P(ABC) + P(ABC)=P(A)P(历 P(C) + P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)/ 1、3/ 1 3/ 1、3 _ 3(-)+()+()= -.2228P(g = 2) = P(ABC) = P(A)P(B)P(C)=8P© = 3) = P(ABC) = P(A)P(8)P(C) =8所以，的分布列是g00123p38381818(n)该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望.解:_(【)设环射手第次击中目标的事件为，贝IJ, P(4A)=0(4)0(A)

16、= 0.2 X 0.8 = 0.16(II)可能取的值为0, 1, 2, 3.彳的分布列为g0123P0.0080.0320.160.8瓦=0 x 0.008 +1 x 0.032 + 2x0.16 + 3x0.8 = 2.7523、某批发市场对某种商品的周销售量(单位：吨)进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量234频数205030(I )根据上而统计结果，求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;(II)已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和(单位：千元).若以上述 频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望.解：(I )周销售量为2吨,

17、3吨和4吨的频率分别为0.2, 0.5和03(II)的可能值为8, 10, 12, 14, 16,且P (=8) =0.22=0.04,P (=10) =2x0.2x0.5=02,P (=12) =0.52+2x0.2x0.3=0.37>P (=14) =2x0.5x0.3=03,P (=16) =032=0.09.4的分布列为g810121416p0.040.20.370.30.09=8x0.04+10x0.2+12x0.37+ 14x0.3+16x0.09= 12.4 (千元)几种常见题型的解法一、从分类问题角度求概率例2 (日本高考题)袋内有9个白球和3个红球，从袋中任意地顺次取出

18、三个球(取出的球不再放回) ,求第三次取出的球是白球的概率.解：设Al= "三次都是白球”，则P (A1)=A2= "一、三次白球，第二次红球”，则P (A2)=A3= "第一次红球，二、三次为白球”，则P (A3)=;A4= "一、二次红球，第三次白球”，则P (A4)=而Al、A2、A3、A4互斥，又记A= "第三次取出的球是白球”，则P (A) =P (Al) +P (A2) +P (A3) +P (A4)=.=说明：本题中关键是学会分解事件A,再由互斥事件和的概率，得出结论，主要以号连接，另外本 题也可由P=得出，请读者琢磨.二、从不等

19、式大小比较的角度看概率例3 “幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设“Yes”与“N。”两个选 项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题， 是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标？解：设甲没有获得商标的事件为A,乙没有获得商标的事件为B,则P (A)=P (B)=，甲、乙没有获得商标的事件为C,则P (C) =P (A B) =P (A) P (B).又设甲、乙两选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标的事件为D.：.P (D) =1- P (C)Ch'©。'11

20、023=1=>1024 10241022>.>10239991000> 0.99.故有99%的把握作出如此断定.说明：本题中关键要熟悉事件D对立事件是C,则P (D) =1-P (C),主要以”号连接，本题也可由1-进行比较.三、从“至多”、“至少”的角度看概率.例4、有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95,各取一件进行检验.(I)求恰有一件不合格的概 率；(II)求至少有两件不合格的概率(精确到0.001) .解：设三种产品各抽取一件是合格产品的事件分别为A、B、C.(I)_P (A) =0.90, P (B) =P (C) =0.95, P(A) =

21、0.10, P(耳)=P(C) = 0.05 .因为A、B、C相互独立，恰有一件不合格的概率为(II)至少有两件不合格的概率答：(略).说明：本题重点考查相互独立事件积的概率，主要以“X”连接P (A)、P (B)、P (C)以及P、P、P .另外(II)也可由P=l-P (ABC) -0.176=l-P (A) P (B) P (C) -0.176得出.四、从“或”、“且”的角度看概率例5甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或被乙解出的概率为0. 92.(1)求该题被乙独立解出的概率：(2)求解出该题的人数的数学期望和方差.解：(1)记甲、乙分别解出此题的事件

22、记为A、B.设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2则P (A) =P 1=0.6, P (B) =P2P (A+B) =1-PAO. 6+P2-0. 6P2=0. 92.则0.4P2=032 即P2=0.8 (5分)(2) _P 延=1) = P(A)P(B) + P(A)P(B) = 0.6 x 0.2 + 0.4 x 0.8 = 0.44P 比= 2) = P(A)P(B) = 0.6 x 0.8 = 0.484的概率分布列：012P0.080.440.48E 片0x0.08 + 1x0.44 + 2x0.48 = 1.4D今(0-1.4) 2x0.08 + (1-1.4) 2x0.44

23、+ (2-1.4) 2x0.48=0.4或利用 D=E ( U) - (EU 2 = 2. 36-1. 96=0. 4另外如将此题中的“或”改为“且"，处理方法怎样，请同学思考.相关练习L (山东卷7)在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1, 2, 3,，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为B(A)(C)(D)2.(福建卷5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是BA.B.C.D.16 96 192 256625 625 625 6253.(辽宁卷7) 4张卡片上分别写有数字L 2, 3, 4,

24、从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片 上的数字之和为奇数的概率为(C )_ _ 2 3A.B.C,D, 3 2 7 44 .甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.2 P16(I )求乙投球的命中率：(II)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(川)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率.解：本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际 问题的能力.满分12分.(I )解法一：设“甲投球一次命中”为事件A, “乙投球一次命中”为事件B.（1-尸）2=（1-由题意得16解得或（舍去），所

25、以乙投球的命中率为.解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A, “乙投球一次命中”为事件B. 由题意得，于是或（舍去），故.3所以乙投球的命中率为.4（II）解法一：由题设和（I ）知.1-P体可、故甲投球2次至少命中1次的概率为4解法二：由题设和（I ）知C；P（A）PA）+P（4）P（A）=。故甲投球2次至少命中1次的概率为4（HI）由题设和1 I ）知，甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次 均不中，乙中2次.概率分别为C；尸尸团C；尸尸缶）=21O .P（A-A）P® 可64,6431911 + + = 所以甲、乙两人各投

26、两次，共命中2次的概率为.16 64 64 325 .某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5 （相互独立），1）求至少3人同时上网的概率：2）至少几人同时上网的概率小于0.3?解：1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率， 即.2）至少4人同时上网的概率为_ 11”C：Q5）6+*（0.5）6+C；（0.5）6-变 ;7至少5人同时上网的概率为_ 7 /&+或X。.力因此，至少5人同时上网的概率小于.6 .甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个,甲、乙二人依次各抽 一题.（I）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概

27、率是多少？（II）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解：（I）甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有个，故甲 抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为个，所以甲抽 到选择题、乙依次抽到判断题的概率为，所求概率为；（II）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为，所求概 率为.或，所求概率为.关于统计问题L (天津卷11) 一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人.为了调 查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的

28、样本，应抽取超过45岁的职工 人.102.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层 抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 6, _30, 10辆. 3甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下1单位：t/hm2 ):品种第一年第二年第三年第四年第五年甲9.89. 910.11010. 2乙9.410. 310.89. 79. 8其中产量比较稳定的小麦品种是_甲种一.4 .一个工厂在若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查，若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为16 .5 .(江苏卷)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x, y, 10, 11, 9.已知这组数据的平均 数为10,方差为2,则| x-y |的值为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4【思路】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法【正确解答】由题意可得：x+y=20, (x-10) 2+ (y-10) 2=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y,只要求出，设x=10+t, y=10-t,选D6 .(四川卷)甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学