高等数学教学 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

1、第九节第九节一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性 二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性四、小四、小 结结三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性 2/11.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处处也也连连续续在在点点则则处处连连续续在在点点若若函函数数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性定理定理1 1例如例如,),(cos,sin内内连连续续在在 xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定义义区区间间内内连连续续故故xxxx3/11二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性定理定理2 2

2、 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数. .例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy. 1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上上单单调调减减少少且且连连续续在在同同理理 xy.,cot,arctan）上单调且连续）上单调且连续在（在（ xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.4/11).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则则有有连连续续在在点点函函数数若若定理定理3 3意义意义1

3、.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;.)(. 2的的理理论论依依据据变变量量代代换换xu 例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原原式式)1(limln10 xxx eln 解解5/11例例2 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原原式式解：解：,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 6/11.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点

4、设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,), 0()0,(1内内连连续续在在 xu,),(sin内内连连续续在在 uy.), 0()0,(1sin内内连连续续在在 xy7/11三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1, 0( aaayx指指数数函函数数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对对数数函函数数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在8/11定理定理5 5 基本初等函数在基本初等函

5、数在定义域内定义域内是连续的是连续的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内内连连续续在在 ,不不同同值值讨讨论论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间定义区间是指包含在定义域内的区间是指包含在定义域内的区间. .9/111. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy, 1

6、, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.), 1上连续上连续函数在区间函数在区间注意注意注意注意2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.10/11例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定定义义区区间间 xxfxfxx11/11四、小结四、小结连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初

7、等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理; 两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.用时用时1课时课时业业作作; 6);5)(2(4);7)(5(370 P12/11思考题思考题 设设xxfsgn)( ，21)(xxg ，试试研研究究复复合合函函数数)(xgf与与)(xfg的的连连续续性性.13/11思考题解答思考题解答21)(xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上处处处处连连续续)(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上处处处处连连续续)(xfg0

8、 x是它的可去间断点是它的可去间断点 0, 10, 00, 1)(xxxxf14/11一一、 填填空空题题：1 1、 43lim20 xxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 xxx11lim0_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 )2cos2ln(lim6xx _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 xxx24tancos22lim _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .5 5、 tett1lim2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、设设,0,0,)( xxax

9、exfx 当当 a_ _ _ _ _ _时时，)(xf在在 ),( 上上连连续续 . .练练 习习 题题15/117 7、 函数函数61)(24 xxxxxf的连续区间为的连续区间为 _. _.8 8、 设设 时时当当时时当当1,11,2cos)(xxxxxf确定确定 )(lim21xfx_; ; )(lim1xfx_._.二、二、 计算下列各极限：计算下列各极限：1 1、axaxax sinsinlim； 2 2、xxxcot20)tan31(lim ；3 3、1)1232(lim xxxx；16/11三、三、 设设 0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已知已知)(xf在在 0

10、 x处连续，试确处连续，试确 定定a和和b的值的值. .四、四、 设函数设函数)(xf在在0 x处连续，且处连续，且0)0( f, ,已知已知)()(xfxg ，试证函数，试证函数)(xg在在0 x处也连续处也连续. .17/11一一、1 1、2 2； 2 2、21； 3 3、0 0； 4 4、0 0；5 5、)11(212 e； 6 6、1 1；7 7、), 2(),2 , 3(),3,( ；8 8、22, ,0 0, ,不不存存在在. .二二、1 1、acos； 2 2、1 1； 3 3；21e. .三三、eba , 1. .练习题答案练习题答案18/11).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则则有有连连续续在在点点函函数数若若定理定理3 3证证,)(连连续续在在点点auuf .)()(, 0,