高等数学及其应用电子教案（第二版）（同济大学数学系）ch(10)

1、编辑ppt第七节第七节 极限应用举例极限应用举例编辑ppt 微积分是一门以变量为研究对象、以极限方法作为基微积分是一门以变量为研究对象、以极限方法作为基本研究手段的数学学科本研究手段的数学学科. 应用极限方法研究各类变化率应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题问题和几何学中曲线的切线问题, 就产生了微分学就产生了微分学; 应应用极限方法研究诸如曲边图形的面积等这类涉及到微小用极限方法研究诸如曲边图形的面积等这类涉及到微小量无穷积累的问题量无穷积累的问题, 就产生了积分学就产生了积分学; 可以说可以说, 整个微整个微积分学是建立在极限理论的基础之上的积分学是建立在极限理论的基础之

2、上的. 由此可以理解由此可以理解为什么每本微积分教程都以极限理论作为其开始部分的为什么每本微积分教程都以极限理论作为其开始部分的内容内容.编辑ppt例例1.43 曲边三角形的面积计算曲边三角形的面积计算 解决方法解决方法: 如图如图, 求由曲线求由曲线 与与 轴围成的面积轴围成的面积.2,1yxxxy=x2yx1o 1.将区间将区间 等分等分, 分点依分点依0,1 n1 21,.nn nn次为次为编辑ppt22211121110nnSnnnnnnn 2223311(1)(21)12(1)6n nnnnn 2.以这些分点为基础以这些分点为基础, 构作构作 个矩形个矩形, 并以矩形面积并以矩形面积

3、n11112,6nn之和来代替原来的曲边三角形面积之和来代替原来的曲边三角形面积. 由此得到由此得到编辑ppt 3.为了求得曲边三角形面积的精确值为了求得曲边三角形面积的精确值, 可以让分点增可以让分点增1111limlim12.63nnnSSnn注注: 古希腊人正是用这种方法求曲边三角形的面积的古希腊人正是用这种方法求曲边三角形的面积的.加加, 从而得到的矩形面积之和与曲边三角形面积充分接从而得到的矩形面积之和与曲边三角形面积充分接近近. 由此得到曲边三角形面积由此得到曲边三角形面积S编辑ppt例例1.44 变速直线运动中的速度问题变速直线运动中的速度问题( ).s s t 这个函数称为质点

4、的位置函数这个函数称为质点的位置函数. 我们需要确定该动点我们需要确定该动点 1.匀速运动匀速运动: 在匀速直线运动中在匀速直线运动中, 我们知道路程与速我们知道路程与速 设某点沿着直线运动设某点沿着直线运动, 为动点从某一选定时刻到时为动点从某一选定时刻到时sts t刻刻 所通过的路程所通过的路程, 则则 是是 的一个函数的一个函数, 即即;在各个时刻的在各个时刻的“速度速度”（称为瞬时速度）（称为瞬时速度）.度、时间的关系为度、时间的关系为编辑ppt00000( )( ),sss ts tvtttt v经过的路程经过的路程所化的时间所化的时间这里的速度这里的速度 是一个常量是一个常量.v

5、2.非匀速运动非匀速运动: 在非匀速直线运动中在非匀速直线运动中, 上面的比值将上面的比值将0,t t不再是一个常数不再是一个常数. 为此我们考虑在时间段为此我们考虑在时间段 , 动点动点0ss从从 移到移到 , 相应的比值相应的比值编辑ppt表示在这个时间段里的平均速度表示在这个时间段里的平均速度. 可以想到可以想到: 如果时间如果时间0000 0( )( )limlim.tttts ts tvvt t到位移函数在时刻到位移函数在时刻 时的瞬时速度为时的瞬时速度为t0tt间隔间隔 很小很小, 动点的速度变化不大动点的速度变化不大, 它可以近似地它可以近似地表示动点在这一时间间隔内的表示动点在

6、这一时间间隔内的“速度速度”. 即即000( )( ),s ts tvtt而且这样的近似程度是随着而且这样的近似程度是随着 时越来越好时越来越好, 由此得由此得0tt编辑ppt例例1.45 连续复利的计算问题连续复利的计算问题 设某人以本金设某人以本金 元进行投资元进行投资, 投资的年利率为投资的年利率为 并设并设p, r以年为单位计算复利以年为单位计算复利, 则经过则经过 年后年后, 总金额为总金额为t1tpr元元;若以月为单位计算复利若以月为单位计算复利, 那么那么 年后的资金总额为年后的资金总额为t12112trp元元;若以天为单位计算复利若以天为单位计算复利, 则则 年后的资金总额为年后的资金总额为t编辑ppt3651365trp元元. 一般一般, 若以若以 年为单位计算复利年为单位计算复利, 那么那么 年后的资金总年后的资金总1nt额为额为1ntrpn元元. 以以 则则,n 编辑ppt