高等数学D1_6极限存在准则及两个重要极限

1、二、二、 两个重要极限两个重要极限 一、夹逼准则一、夹逼准则第六节极限存在准则及两个重要极限 第一章 编辑pptazynnnnlimlim)2(1. 夹逼准则夹逼准则 (准则1) ),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim证证: 由条件 (2) ,0,1N当1Nn 时,ayn当2Nn 时,azn令,max21NNN 则当Nn 时, 有,ayan,azan由条件 (1)nnnzxya a即,axn故 .limaxnn,2N2. 函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则定理定理2.,),(0时当xUxAxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(

2、lim0)0( Xx)(x)(x)(x且1sincosxxx圆扇形AOB的面积二、二、 两个重要极限两个重要极限 1sinlim. 10 xxx证证: 当即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有AOB 的面积AOD的面积xxxcos1sin1故有OBAx1DC注注当20 x时xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx例例2. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim

3、01例例3. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 则,sintx x0时，t 0原式tttsinlim0 1lim0tttsin120sinlimx2x2x21nnnR2cossinlimRn例例4. 求.cos1lim20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx212121例例5. 已知圆内接正 n 边形面积为证明: .lim2RAnn证证: nnAlimnnnnRnA2cossin2 R说明说明: 计算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx2.e)1(lim1xxx证证: 当0 x时, 设, 1nxn则xx)1 (111)1 (nnnn)1 (

4、11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnnee)1(lim1xxx(P5354)当x, ) 1( tx则,t从而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故e)1 (lim1xxx说明说明: 此极限也可写为e)1 (lim10zzz时, 令例例6. 求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt则xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1内容小结内容小结1. 数列极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则2. 两个重要极限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e)1(lim10注注: 代表相同的表达式思考与练习思考与练习填空题填空题 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim.