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1、 第一章 二、二、 无穷大无穷大 三三 、 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 一、一、 无穷小无穷小 第四节无穷小与无穷大当一、一、 无穷小无穷小定义定义1 . 若0 xx 时, 函数,0)(xf则称函数)(xf0 xx 例如 :,0)1(lim1xx函数 1x当1x时为无穷小;,01limxx函数 x1x时为无穷小;,011limxx函数 x11当x)x(或为时的无穷小无穷小 .时为无穷小.)x(或说明说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为0)(lim0 xfxx,0,0当00 xx时, 0)(xf显然 C 只能是 0 !CC0 xx 时, 函数,0)(xf(或 )

2、x则称函数)(xf为0 xx 定义定义1. 若(或 )x则 时的无穷小无穷小 .其中 为0 xx 时的无穷小量 . 定理定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )Axfxx)(lim0 Axf)(,证证:Axfxx)(lim0,0,0当00 xx时,有 Axf)(Axf)(0lim0 xx对自变量的其他变化过程类似可证 .Mxf)(二、二、 无穷大无穷大定义定义2 . 若任给任给 M 0 ,000 xx一切一切满足不等式的 x , 总有则称函数)(xf当0 xx 时为无穷大, 使对0lim( )xxf x 若在定义中将 式改为Mxf)(则记作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 x

3、fxxx)(Xx )(x(lim( ).xf x (正数正数 X ) ,记作, )(Mxf总存在注意注意:1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !例如例如, 函数),(,cos)(xxxxf)2( nf)(n当2n但0)(2 nf,时所以x)(xf不是无穷大 !xxycosOxy定义出发！定义出发！例例 . 证明11lim1xx证证: 任给正数 M , 要使,11Mx即,11Mx只要取,1M则对满足10 x的一切 x , 有Mx11所以.11lim1xx11xy若 ,)(lim0 xfxx则直线0 xx 为曲线)(xfy 的铅直渐近线 .铅直渐近线说明说明:xyO1三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系若)(xf为无穷大,)(1xf为无穷小 ;若)(xf为无穷小, 且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则(自证)据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明说明:内容小结内容小结1. 无穷小与无穷大的定义2. 无穷小与函数极限的关系3. 无穷小与无穷大的关系思考与练习思考与练习P42

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