新北师大版八年级下册三角形的证明

1、三角形的证明1 / 1【知识点一：全等三角形的判定与性质】1 .判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等2证题的思路：'找夹角（SAS）已知两边|找直角（HL）找第三边（SSS） 若边为角的对边，则找任意角（AAS）已知一边一角4边为角的邻边'找已知角的另一边（SAS） 找已知边的对角（AAS） 找夹已知边的另一角（ASA）已知两角'找两角的夹边（ASA） 找任意一边（AAS）【典型例

2、题】1 .用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明NA0C=N80C的依据是（）A. SSSB. ASAC. AASD.角平分线上的点到角两边距离相等2.下列说法中，正确的是（）A.两腰对应相等的两个等腰三角形全等AC0BB.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等U两锐角对应相等的两个直角三角形全等D.面积相等的两个三角形全等3 .如图，ABC/AAOE,若N8=80。，NC=30。，ZDAC=35°,则NE4C的度数为（）A. 40°B. 35。C. 30°D.4 .己知：如图，在MPN中，H是高河。和NR的交点，且MQ=NQ.求证：HN=PM.RM

3、Q5.用三角板可按下面方法面角平分线：在已知NA08的两边上，分别取0M=0N （如图5 7）,再分别过点M、N作QA、。8的垂线，交点、为P,画射线0P,则0P平分NA08,请你说出其中的道理.【巩固练习】1.下列说法正确的是（）A. 一直角边对应相等的两个直角三角形全等B.斜边相等的两个直角三角形全等C斜边相等的两个等腰直角三角形全等D. 一边长相等的两等腰直角三角形全等2 .如图，在AABC中，D、E分别是边AC、 EDB/AEDC,则NC的度数为（A. 15° B. 20° C. 25°8c上的点，若AOBg)D. 30°3 .如图，已知aABC

4、的六个元素，则下而甲、乙、丙三个三角形中，和AABC全等的图形是（）CA.甲和乙B.乙和丙C.只有乙只有丙4 .如图4一9,已知AABCWAAHC, AD. /V。分别是AA8C和A48C的角平分线.（1）请证明 AO=A77：（2）把上述结论用文字叙述出来；（3）你还能得出其他类似的结论吗?图4-95.如图4- 10,在A8C中，ZACB=90°, AC=BC,直线/经过顶点C,过A、8两点分别作/的垂线AE、BF, E、尸为垂足.（1）当直线/不与底边AB相交时，求证：EF=AE+BF.图 4一 10（2）如图4- 11,将直线/绕点C顺时针旋转，使/与底边AB交于点。，请你探究

5、直线/在如下位置时，EF、AE.8E之间的关系.AD>BD；AD=BD； ®AD<BD.B【知识点二：等腰三角形的判定与性质】等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等（等边对等角）； 等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合; 等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等.【典型例题】1 .等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为（）A. 12B. 15C. 12 或 15D. 182 .等腰三角形的一个角是80。，则它顶角的度数是（A. 80

6、6;B. 80。或 20。C. 80。或 50。D. 20°3 .已知月8C中，AB=AC=xt BC=6,则腰长x的取值范围是（）A. 0<x<3 B. x>3 C. 3<x<6 D. x>64 .如图，NMON=43。，点A在射线OM上，动点尸在射线ON上滑动， 要使月。尸为等腰三角形，那么满足条件的点尸共有（）A.1个B. 2个 C. 3个 。4个/5 .如图，在ABC中，80平分NA8C, CO平分NAC8, OE过。且平行于8C,已知AOE的周长为1 Osn, 8c的长为5cm 求ABC的周长.6、如下图，在aABC中，NB=90。，M是

7、AC上任意一点（M与A不重合）MO_L8C,交NABC的平分线于点。，求证：【巩固练习】1 .如图，已知直线A3CO, /。尸=110。且从七二人/，则N月等于（）A 30°B. 40°C. 50°2 .下列说法错误的是（）A.顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等B.顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等C.斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等D.两个等边三角形全等3 .如图，是一个5x5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1.点A和点8 在小正方形的顶点上,点C也在小正方形的顶点上.若ABC为等腰三角形，满足条件的C点的个数为（4 .如图，在ABC中，N

8、ABC和NACB的平分线交于点E,过点E作MNBC交A5于M,交AC于N,若5M+CN=9,则线段MN的长为（）5 .如图：E在A8C的AC边的延长线上，。点在A8边上，DE交BC于点、F, DF=EF, BD=CE,过。:作OGAC交BC于G.求证： A（1） AGDFACEF： （2） ZkABC 是等腰三角形.A【知识点三：等边三角形的判定与性质】判定：有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形：三个角都是60。的三角形是等边三角形；有两个叫是60。的三角形是等边三角形.性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60。.【典型例题】1 .下列说法中不正确的是

9、（）人有一腰长相等的两个等腰三角形全等B.有一边对应相等的两个等边三角形全等C.斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等D.斜边相等的两个等腰直角三角形全等A. 10°B. 12.5°C. 15°D. 20°2 .如图，在等边A8C中，N3AO=20。，AE=AD,则NCOE的度数是（）1 / 1D3、如右图，已知A8C和8DE都是等边三角形，求证：AE=CD.1 / 1【变式练习】1.下列命题：两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形：等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线；等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；一条线段可以看作是以它

10、的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.其中错误的有（）A,1个B. 2个C. 3个4个2.如图，AC=CD=DA=BC=DE.则 N3AE 是 NBAC 的（A. 4倍B. 3倍3.4.C. 2倍如图，等边A8C的周长是9,。是AC边上的中点,长线上.若DE=DB,则CE的长为如图，等边ABC中，点E分别为8C、CAE BD=CE,连接A。、BE交于F点、,则NFAE+NAEF的度数是（）A. 60° B. 110°C. 120° D. 135°5 .如图，已知：/MON=30。，点A】、A2, /h在射线ON上，点B、 历、B3在射线0M上，AliA、A2

11、&A3、383A4均为等边三 角形，若则686A 7的边长为（）A 6 B. 12 C. 32 D. 646 .如图，M、N点分别在等边三角形的8C、CA边上，且8M=CN, AM. 8N交于点Q.（1 ）求证：N8QM=60。；（2）如图，如果点M、N分别移动到8C、CA的延长线上，其它条件不变,（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明：若不成立，说明理由.7.如图，C为线段BD上一点、（不与点B,。重合），在BD同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于一点、F, AD与CE交于点H, BE与AC交于点、G.（1 ）求证：BE=AD； （2）求 NAFG 的度数：

12、（3）求证：CG=CH.【知识点四：反证法】反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命 题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.【基础练习】1、否定“自然数"、机c中恰有一个偶数”时的正确反正假设为（）A. “、b、。都是奇数B. a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C. “、b、。都是偶数D. a. b、c中至少有两个偶数2、用反证法证明命题”三角形的内角中至少有一个不大于60。”时，反证假设正确的是（）A.假设三内角都不大于60。&假设三内角都大于60。C.假设三内角至多有一个大于60°D.假设三内角至多

13、有两个大于60°3、证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角.【知识点五：直角三角形】1 .直角三角形的有关知识. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.2、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其 中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为 另

14、一个定理的逆定理.【典型例题】1、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果=0,那么，D, b=0：（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等2 .使两个直角三角形全等的条件是（）一个锐角对应相等B.两个锐角对应相等C. 一条边对应相等D.两条边对应相等1 / 1ACD3 .等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,它的腰长为（）A. 7B. 6C. 5D. 44.如图，矩形纸片ABC。中，A8=4, AO=3,折卷纸片使A。边与对角线80重合，折痕为QG,则AG的长为（）43A. 1 B. C. D. 23

15、25.如图，在ABC 中，ZC=90°,若CD=2,那么BD等于（）A. 6B. 4C. 3D. 2ZB=30°, AO是N8AC的平分线,6.如图，在4x4正方形网格中，则点A到边BC的距离为（A.B. 2y/2以格点为顶点的ABC的面积等于3,）C. 4D. 37 .如图，ZkACB和EC。都是等腰直角三角形，A, C,。三点在同一直线上，连接8。，AE,并延长AE交BD于F.（1）求证：AACEABCD：（2）直线AE与3。互相垂直吗？请证明你的结论.8 .如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中有一个ABC, ZkABC的三个顶点均与小正方形的顶点重合.

16、（1）在图中画8CO,使BC。的面枳= ZA5C的面积（点。在小正方形的顶点上）.（2）请直接写出以A、B、C、。为顶点的四边形的周长.9 .如图，把矩形纸片ABCO沿EF折卷，使点8落在边A。上的点夕处，点A落在点4处;（1 ）求证：B，E=BF；（2）设AE=a, A8=，BF=c,试猜想“，b, c之间的一种关系，并给予证明.1 / 1【变式炼习】1 .利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是(A.已知斜边和一锐角B.已知一直角边和一锐角C.已知斜边和一直角边D.已知两个锐角形都是正方形E2 .在中，ZC=90°, AC=9, 8c=12,则点 C 到 A8 的

17、距离是(3 .如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角 直角三角形，若正方形A、B、C、。的面积分别为2, 5, 1, 2.则最大的 的面积是.4 .已知mAABC 中，ZC=90°, K BC=-AB,则 NA 等于()2A. 30°B. 45°C. 60°D.不能确定5.已知：如图，在A8C 中，NA=30。，NAC8=90。，M、。分别为A3、MB的中点.求证：CDA.AB.6.如图，在5x5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1,N8C。是不是直角？请说明理由.7.正方形网格中的每个小正方形边长都是1.每个小格的顶点叫做格点

18、,以格点为顶点分别按下列要求画三角形:(1)在图1中，画A8C,使ABC的三边长分别为3、2五、6：(2)在图2中，画使尸为钝角三角形且而积为2.【提高博习】1 .如图.矩形纸片A8CO中，己知AO=8,折叠纸片使A3边与对角线AC5落在点尸处，折痕为AE,且 “=3.则A8的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 62 .如图，直线/上有三个正方形a, b, C,若4, C的面积分别为5和11,则b的而积为（）A. 4B. 6 C. 16D. 554.如图，AC=BC=Ocm, N3=15。，AO_L8C 于点。，则 AO 的长为（）5 .如图，在ABC中，NC=90。，/8=15。,48的垂

19、直平分线交A8于E,交BC于。，5。=8,则AC=6图1、图2分别是10x8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1, A、5两点在小正方形的顶点上， /请在图1、图2中各取一点C （点。必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形分别满 足以下要求：（1）在图1中画一个A5C,使A8C为面积为5的直角三角形;（2）在图2中画一个A3C,使aABC为钝角等腰三角形.iiiiiitiaiiijjii nb1 / 17.已知，如图，AABC为等边三角形,AE=CD. AD. 8E相交于点P.(1 )求证：AAEBACDA；(2)求NBPQ的度数：(3)若于。，PQ=6, PE=2,求 5E

20、 的长.D【知识点六：线段的垂直平分线】线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。【典型例题】1 .如图，在上ABC中，ZC=90°, ZB=30°. A8的垂直平分线DE交AB于点、D,交BC于点、E,则下列结论不正确的是（A AE=BEB. AC=BEC. CE=DE2 .如图，在ABC中，分别以点A和点8为圆心，大于9AB 2的长为半径画弧，两弧相交于点M, N,作直线MN,交BC于 点。，连接AO.若AOC的周长为1

21、0, A8=7,则ABC的 周长为（）A 7B. 14C. 17D. 20D. /CAE=/B3 .三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（）X.三条中线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三条高的交点D.三条角平分线的交点AX 、/ fJ0cS-b BC6.如图所示，ZkABC中，AB=AC, N3AC=120。，AC的垂直平分线EF交AC于点£ 交BC于点F.求 证：BF=2CF.7.如图所示，在Rf/kABC中，NAC3=90。，AC=BC,。为8c边上的中点，CELAO于点£ BF/AC交CE的延长线于点F,求证：A8垂直平分OF.4 .如图，有

22、A、8、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A.在AC, 8c两边高线的交点处B.在AC, 8c两边中线的交点处C.在AC,两边垂直平分线的交点处D.在NA, N8两内角平分线的交点处 5.如图，A。为N5AC的角平分，线段A。的垂直平分线交A8于M,交AC于N,试说明MDAC.c【变式练习】1.如图，在m/XABC中，ZB=90°, EO是AC的垂直平分线，交AC于点D,交8c于点£ 已知N8AE=10。，则NC的度数为（A. 30°B. 40°C. 50°D. 60

23、°5 .如图，A、8表示两个仓库，要在A、8一州的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置？你能画图说明吗？A.B6 .如图，在ABC 中，AB=AC,。是 A5 的中点，且 OE_LA8, ZXBCE 的周长为 8c?，且 AC-BC=2c,求AB. 8C的长.【提高练习】1.如图，在A8C中，。石垂直平分A8,分别交A3、BC于D、E点.MN垂直平分AC,分别交AC、BC于M、N点.(1)若N8AC=100。，求NE4N的度数:(2)若NBAC=70。，求NE4N的度数:(3)2.如图2,则NO等于A. 50°3.如图3,凌2点。为线段A8与线段

24、8c的垂直平分线的交点，NA=35。,B. 65°C. 55°D. 70°在ABC中，AB=a, AC=b, BC边上的垂直平分线DE书D若N8AC=a （"90。），直接写出用a表示NEAN大小的代数式.BC、BA分别于点。、E,则AEC的周长等于（B.C. 2a+bD. a+2h4 .如图有一块直角三角形纸片，NAC8=90。，两直角边AC=4,BC=8,线段。E垂直平分斜边A8,则CD等于（）A. 2B. 2.5C. 3D. 3.55 .如图，ZABC=50°, A。垂直平分线段8C于点O, NABC的平分线交AO于E,连接EC：则NAE

25、C等于（）A. 100°B. 105°C. 115°D. 120°【知识点七：角平分线】角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。【典型例题】1 .如图，/POA = /POB,PDLOA 于点。二12, PD=5,则 PE=(A.13B. 12D. 12 .三角形内有一点，它到三边的距离相等,PELOB 于点 E, OP=13,则这点是该三角形的（A.三条中线交点B.三条角平分线交点C.三条高线交点D.三条高线

26、所在直线的交点3 .如图，RfZkABC中，ZC=90% NA8C的平分线8。交AC于£）,若CD=3cm9则点。到AB的距离DE是（D. 2cm4 .如图，OP 平分 NAO8, PA LOA. PBJ.OB,垂足分别为 A, B.下列结论中不一定成立的是（A. PA=PBB. PO 平分 NAP8C. OA=OBD. AB垂直平分OP5.如图，直线4、c,表示三条相互交叉的公路，现拟建一个1 / 1货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可以供选择的地址有（）A. 一处B.四处C.七处。,无数处6-求作一点P,使PC=P。，且点P到月C, A8的距离相等.（要求保留作图痕迹，

27、不必写出作法）7. （ 1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）.设计了如下方案：< I）NA08是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线。A、。8之间，移动角尺使角尺两边相 同的刻度与M、N重合，即尸"=PN,过角尺顶点P的射线。尸就是NA08的平分线.（II ） NA08是一个任意角，在边。A、08上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线。A、 08之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN,过角尺顶点P的射线0P就是NA08的平分线.（1）方案（I ）、方案（II ）是否可行？若可行，请证明：若不可行，请说明理由;（2）在方案（I ）

28、 PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM10A, PN10B.此方案是否可行？清 说明理由.8 .如图，AD为ABC的角平分线，DELAB, DFA.AC,垂足分别为E, F,连接EF, EF交A。于点G、 试判断线段A。与七厂的位置关系，并证明你的结论.9 .如图，ZkABC中，0是8C的中点，。是N8AC平分线上的一点，且OOJ.8C,过点。分别作OM_LA8 于 M, DNA.AC 于 N.求证：BM=CN.【变式炼习】1 .如图，0P平分/MON, PARLON于点A,点。是射线0M上的一个动点，若PA=2,则尸。的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 40A2 .如图所示，点E是NAOB的平分线上一点，EC