高等代数北大版第章习题参考答案

1、1. ?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是:1) ?在线性空间V中，A，其中V是一固定的向量;2) ?在线性空间V中，A3) ?在 P3 中，A(Xl，X2，x3)其中V是一固定的向量;2 22、(Xi,X2 X3,X3).4) ?在 p3 中，A(X1,X2,X3) (2x1X2,X2X3, Xi).5) ?在 Px中，Af (x) f(X 1);6) ?在PX中，Af (幻f(X。)，其中X0 p是一固定的数;7) ?把复数域上看作复数域上的线性空间，A8) ?ft Pn n, AX=BXCM中B,C Pnn是两个固定的矩阵.解1)当0时，是；当0时，不是。2)当0时，是；当 0时

2、,不是。3)不是.例如当 (1,0,0), k 2 时，kA( ) (2,0,0) ,A (k ) (4,0,0),A(k ) kA( )04)是.因取(Xi,X2,X3),(yi,y2,y3)，有A() =A( Xi yi ,X2 y2, X3 y3)= (2Xi 2y1 X2 y2,X2 y X3 y3,Xi y) =(2Xi X2, X2 X3,Xi) (2yi 丫2,丫2 y3, yi) =A +A ,A(k ) A( kxi, kx2, kx3)= kA( ),故A是P3上的线性变换。5)是.因任取 f(x) Px,g(x) Px,并令 u(x) f (X) g(x)则A(f (x)

3、g(x)=Au(x) =u(x 1) = f (x 1) g(x 1) =Af (x)+A(g(x),再令 v(x) kf (x)则 A(kf (x) A(v(x) v(x 1) kf (x 1) k A( f (x), 故A为Px上的线性变换。6)是.因任取 f(x) Px,g(x) Px则.A(f(x) g(x)=f(X0 ) g(X0) A(f(x) A(g(x),A(kf(x) kf (x0) k A(f(x) o7)不是，例如取 a=1,k=I ,则 A(ka)=-i,k( Aa)=i, A(ka) kA(a) 0AX +AY ,8)是，因任取二矩阵 X,YPnn,则 A(X Y)

4、B(X Y)C BXC BYCA(k X)= B(kX) k(BXC) k AX ,故 A是 Pn n 上的线性变换2.在几何空间中，取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变 换，以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：A4 =B4 =C4 =E,AB BA,A2 B2 =B2 A2 ,并检验(A 2 =A2 B2是否成立。解任取一向量a=(x,y,z) ，则有1) 因为Aa=(x,-z,y),A2a=(x,-y,-z)，A3 a=(x,z,-y),A4 a=(x,y,z)，Ba=(z,y,-x),B2

5、a=(-x,y,-z)，B3 a=(-z,y,x),B4 a=(x,y,z)，Ca=(-y,x,z),C2a=(-x,-y,z)，C3 a=(y,-x,z),C4 a=(x,y,z)，所以A4 =B4 =C4 =E。2) 因为 AB(a)= A(z,y,-x)=(z,x,y)， BA(a)= B(x,-z,y)=(y,-z,-x)，所以AB BA。3)因为A2B2 (a)= A2 (-x,y,-z)=(-x,-y,z)， B2A2 (a)= B2 (x,-y,-z)=(-x,-y,z)，所以A2 B2 =B2A2。3) 因为 ( AB) 2 (a)=( AB)( AB(a)_= AB(z,x,

6、y)=(y,z,x)， A2 B2 (a)=(-x,-y,z)，所以 (AB) 2 A2 B2。'4) 在 Px 中， Af (x) f (x), B f (x) xf (x) ， 证明: AB-BA=E。证任取 f (x) Px ， 则有- - _ . _ _ . ' '( AB-BA) f (x) =ABf (x) -BA f (x) =A( xf (x) - B( f (x) = f (x) xf (x) - xf (x) = f (x)所以AB-BA=E。5) 设 A,B 是线性变换，如果AB-BA=E， 证明：AkB-BAk=kAk 1 (k>1) 。证

7、采用数学归纳法。当k=2 时A2 B-BA2 =(A2 B-ABA)+(ABA-BA2 )=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA2=a， 结论成立。归纳假设k m时结论成立，即AmB-BAm = mAm 1。则当k m 1时，有Am 1B-BAm 1=(Am 1B-AmBA)+(AmBA-BAm1 )=A m (AB-BA)+(A m B-BAm)A=Am E+m Am 1A=(m 1)Am。即 k m 1 时结论成立. 故对一切k 1 结论成立。6) 证明：可逆变换是双射。证设A是可逆变换，它的逆变换为 A 1若a b ,则必有Aa Ab,不然设Aa=Ao,两边左乘A = lx2e

8、axcosbx, 1=1eaxx2sinbx,的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空 ,有a=b,这与条件矛盾。其次，对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上，令A1b=a即可。因此，A是一个双射。6 .设1, 2, n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A 1,A 2, ,A n线性无关。证因 A( 1 , 2, n ) = ( A 1 ,A 2 , ,A n) = ( 1, 2, n ) A,故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A 1,A 2, ,A n线性无关，故A可逆的充要条件是A 1,A 2, ,A n线性无关.。7 .求下列线

9、性变换在所指定基下的矩阵：1)第 1 题 4)中变换 A在基 1=(1,0,0),2 =(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵；2) o; 1, 2是平面上一直角坐标系，人是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影，B是平面上的向量对2的垂直投影，求A,B,AB在基1, 2下的矩阵；3)在空间P冈n中，设变换A为f(x) f(x 1) f(x),1 试求 A在基 i = x(x 1) (x i 1)(I=1,2,n-1)下的矩阵 A;i!4)六个函数 产eaxcosbx, 2=eaxsin bx , 3 = xeaxcosbx, 4 =xeaxsin bx ,i (1,0,2)2(

10、0,1,1),3(3, 1,0)求在基 1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵;1+ 2, A 3=(0,1,0)=2,7）同上，求A在1, 2, 3下的矩阵解 1) A 1=(2,0,1)=21+ 3, A 2 =(-1,1,0)=-故在基3下的矩阵为2）取尸（1,0) ,2= (0,1 1+2故A在基121212下的矩阵为A= 12又因为B1=。,2= 2 ,所以B在基2下的矩阵为B=,另外，(AB) 2=A(B 2)=A = 1=A 2=211+2所以AB在基1,2下的矩阵为AB=12123）因为01, 1x,x(x 1)2!x(x 1) x (n 1)!(n

11、0,(x1)(x 1)x x (n 3)x(x 1) x (n 2)(n 1)!x(x 1) x (n 3)= (x 1) x (n 2) (n 1)!0101所以A在基o,i, n i下的矩阵为A104）因为D 1 =a 1- b 2 ,D 2=b 1-a 2, 6，D 3 = 1 +a 3- b 4 ,D 4 = 2+b 3+a 4 ,D 5 = 3+a 5-b 6 ,D 6 = 4+b 5 +a 6 ，0000100。01abbaab10ba 01所以D在给定基下的矩阵为上00ab00 ba000000005)因为( 1 , 2 , 3 )=( 1 , 21001 ，所以11111( 1

12、, 2，3)=( 1 , 2 , 3)011 =( 1 , 2 , 3 )X，101故 A 在基 1, 2 ，3 下的矩阵为101111100112110110B=X 3)11 AX= 10111111121=2 20。13021033) 0116)因为( 1 , 2, 3 )=( 1 , 2210133)=A(3)02但已知A2 , 3) = (3)3) = (1,3)=(3)J 727 273767J7371717=(574727720757187207272477）因为（1,2 , 3)=(23)118.在P2 2中定义线性变换A1(X)=bb X,A2(X)=X d,A2(X)=A1,

13、A2,A3 在基 E11,E12,E21,E 22下的矩阵。解因 A1 E11=aE11+cE12, A1 E12=aE12+cE22,A1 E21 =bE11+dE21, A1E22=bE21 +dE22,0故Ai在基Eii，Ei2，E2i，E22下的矩阵为Ai =b0d00b0dA 2 =a32 3 a22 2 a12 1 ，A 1 = a31 3 a21 2a11 1 ，又因A2 E11 =aE11 +bE12, A2 E12 =cE11 +dE12,A2 E21 =aE21 +bE22, A2E22=cE21 +dE22,故A2在基E/E 12,E 21 ,E 22下的矩阵为A2又因A

14、3 E11 =a 2 E11 +abE12 +acE21 +bcE22，A3 E12 =acE11 +adE12 +c 2 E21 +cdE22，A3E21=abE11+b2E12+adE21 +bdE22，A3E22=bcE11+bdE12+cdE21 +d2E22，故A3在基Eii ,E 12 ,E 21 ,E 22下的矩阵为9.设三维线性空间V上的线性变换A在基A=a11a12a21 a22a31 a32a13a23 ，a331)求A在基3, 2,1 下的矩阵；2)求A在基1,k 2, 3下的矩阵，其中且；3)求A在基12, 2,3 下的矩阵。a b00c d00a2acabbcabad

15、b2bdac2 cadcdbccdbdd2A3o3 下的矩阵为1, 2,解 1) 因 A 3=a33 3 +a23 2 a13 1 ，故A在基3, 2,1下的矩阵为B3a33a23a13a32a22a12a3a2a1.l1 l 2lk 0,ao-12)因 A 1 = an 1 + (k 2) a31 3 ， kA(k 2 )= k a12 1 +a22 (k 2 ) + ka32A 3 = a13 1故A在i,k2,a11ka12a13a21a22a23kka31ka32a33oa2ia223下的矩阵为B23)因 A( 12 )二(a11a12)(13) + (a11a2) 2 +( a3ia

16、32)2 = a12 (2 ) + ( a22ai2)2 +a32 3 ，3 =a13 (2)+ ( a23ai3)2, 2,3下的矩阵为B3ana21a 22a31a12ana32a12a12a22a12a32a13a23a13。a3310.设A是线性空间V上的线性变换，如果Ak 10, 但 Ak=0,求证:,A ,Ak =0.再由,可得l2=0.同理,继续作用下去，便可得 (k>0)线性无关。证设有线性关系l112 AlkAk 1°,用Ak 1作用于上式，得l1Ak 1 =0（!3An0 对一切 n k 均成立），又因为Ak 10,所以10,于是有12A l3A2IkAk1

17、°,再用Ak 2作用之，得LAk,A ,Ak1 ( k >0)线性无关。11 .在n维线性空间中，设有线性变换 A与向量 使得An10,求证A在某组下的矩阵是0101。 0 10证由上题知，,A ,A2 , ,An1线性无关，故,A ,A2 , ,An1为线性空间V的一组基。又因为A 01 A 0 A2 +0 An 1 ，A(A )= 0 +0 A +1 A2 +0 An 1 ，A( An 1 ) = 0 + 0 A +0 A2 +0 An 1 ，故A在这组基下的矩阵为0102。01012 .设V是数域P上的维线性空间，证明：与 V的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘 变换。

18、证 因为在某组确定的基下，线性变换与n 级方阵的对应是双射，而与一切n 级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K。是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：如果 A在任意一组基下的矩阵都相同， 那么是数乘变换。证设A在基1, 2, , n下的矩阵为A=(aj),只要证明A为数量矩阵即可。设X为任一非 退化方阵，且( 1 , 2, n )=( 1 , 2, , n )X，则1, 2,L , n也是V的一组基，且A在这组基下的矩阵是X 1AX ,从而有AX=XA这说明A与一切非退化矩阵可交换。 若取1X1则由 AX1 = X1A知 aj =0(i j

19、),即得a22a11A=nn再取 01000010X2= 00011000由ax2 = x2a,可得a11 a22ann 。故A为数量矩阵，从而A为数乘变换。14 .设1, 2, 3, 4是四维线性空间V的一组基，已知线性变换 A在这组基下的矩阵为1021121312551) 求 A 在基 1221212 24 , 23 234, 334 , 42 4 下的矩阵；2）求A的核与值域；3）在A的核中选一组基，把它扩充为V的一组基，并求A在这组基下的矩阵； 4）在A的值域中选一组基，把它扩充为V的一组基，并求A在这组基下的矩阵 解 1） 由题设 , 知10002300( 1 , 2, 3, 4 )

20、=( 1, 2 , 3, 4)，01101112故 A 在基 1, 2 , 3 , 4 下的矩阵为0 0 0 20 0 0 2 00111 1 0 32 )1 01 )213 52 15 1 ) 20 2 211122)先求A 1 (0).设A1(0)它在4下的坐标为4下的坐标为(0,0,0,0,)111202222151因 rank(A)=21352故由X1X2X3X40000X1 2X3x1 2x2x40X33X4可求得基础解系为X1 =(2,90),X2=( 1, 2,0,1)若令1 =(4)X1,2 =( 1,4)X2,则1,2即为A 1(0)的一组基，所以A 1 (0)= L( 1,

21、 2)。再求A的值域AV。因为A 1= 12 4,A 3 =2 1rank(A)=2，故 A 1,A2, A 3,A 4的秩也为2,且A 1,A2线性无关，故A 1,A 2可组成AV的基，从而AV=L(A 1,A 2)4)由2)知i, 2是A 1(0)的一组基，且知1,2, 1, 2是V的一组基，又10213_0 1-2(1， 2 ,a 1 ,a 2 ) = ( 1, 2 , 3 , 4 )2,0 0100 001故A在基1，2, 1, 2下的矩阵为0 B=23211 00 10 00 023211201Oo o o Oo o o O2 12 25 9-2124)由2)知A产122 4, A

22、2 =2 22 32 4易知A 1,A 2, 3, 4是V的一组基，且100 0A120 0(A 1,A 2 , 3, 4) = ( 1, 2, 3, 4)1210，12 0 1故A在基A 1,A 2, 3, 4下的矩阵为C=1100 0102112 0 0121 01213125512 0 122 12100 0120 0121 012 0 15 2 2 1931 2=220 0 0 00 0 0 015 .给定P3的两组基1(1,0,1)1(1,2, 1)2(2,1,0)2(2,2, 1),3(1,1,1)3(2, 1, 1)定义线性变换A(i =1,2,3),1）写出由基1, 2, 3到

23、基1, 2, 3的过度矩阵;2）写出在基1, 2, 3下的矩阵；3）写出在基1, 2, 3下的矩阵。解 1)由(1, 2, 3)二( 1, 2, 3)X,引入 P3 的一组基 e1=(1,0,0), e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)，则12, 3)=( e, e2, e3) 012 11 1 =( e , e2, e3)A,0 1所以12(1, 2, 3) = ( ei , e2 , e3)2211211 =(e1, e2, e3)B=( a, e2, e3)A B,1故由基1 , 2, 3到基12, 3的过度矩阵为X=A1 B= 0 1 1223232122)因A( 1, 2 ,

24、3) = ( 1,2,3 ) = (323212323252A= 123252故A在基1, 2, 3下的矩阵为3231i12与i2相似，其中(ii,i2, ,in)是1,2, 的一个排nin列。证设有线性变换A,使1A( 1 , 2 , , n) =( 1, 2 , n)ni1=( 1, 2, n) D1，=( i1 , i2, in )D2，于是D1与D2为同一线性变换A在两组不同基下的矩阵，故则 A( i1 , i2 , , in )=( i1 , i2 , in )22与2相似。nin17 .如果A可逆，证明AB与BA相似。证因A可逆，故A 1存在，从而A 1 (AB)A=(A 1 A)

25、BA=BA所以AB与BA相似。18 .如果A与B相似，C与D相似，证明：A 0与B 0相似 0B 0DX1证由已知，可设B=X1AX,D=Y1CY则00Y1A0 X00C 0YB00D这里X10Y1X01 A0B01 ，故与相似。0Y0C0D19. 求复数域上线性变换空间V的线性变换A的特征值与特征向量.已知A在一组基下的矩阵为：11340 a 111)A=2)A= a 3)A=52a0 11111156114)A=1 01112110 0 15)A= 0 1 0 6)A=1 0 02 1303 7)A=43 04解1)设A在给定基2下的矩阵为A,且A的特征多项式为先求属于特征值2-5 -14

26、=(7)(2),故A的特征值为7,-2。=7的特征向量。解方程组4x1 4x25x1 5x201°,它的基础解系为，因此A的属于特征值7的全部特征向量为k 1(k 0),其中 广1+ 2。再解方程组5x1 4x20,它的基础解系为4 ，因此A的属于特征值-2的全部特5x1 4x205征响向量为k 2(k 0),其中2=4 1-5 2 o2)设A在给定基1, 2下的矩阵为A,且当a=0时，有A=0,所以 E故A的特征值为1= 2=0。解方程组0x1 0x20x1 0x20,它的基础解系为02,0 ,因此A的属1于特征值0的两个线性无关特征向量为1= 1, 2= 2,故A以V的任一非零向

27、量为其特征向量。当 a 0时，E A = a = 2+a 2 =( ai)( ai),故 A 的特征值为 1 = ai,2 =- ai o当尸ai时，方程组aix1ax2 0的基础解系为i ,故A的属于特征值ai的全部特ax1 aix201征向量为k 1(k 0),其中1=- i 1+ 2。当2=-ai时，方程组aix1 ax2 0的基础解系为i ,故A的属于特征值-ai的全部 ax1aix2 01特征向量为k 2(k 0),其中2=i 1+ 23)设A在给定基1, 2, 3, 4下的矩阵为A,因为E A =(2)3(2),故A的特征值为 1= 2= 32, 411当 2时，相应特征方程组的基

28、础解系为 X, X20101010012时，特征方程组的基础解系为X41111,故A的属于特征值-2的全部特征向征信2的全部特征向量为k1 1+ k2 2+k 3 3(k 1,卜2*3不全为零)，其中1= 1+ 2,量为 k 4(k 0),其中 4= 1-2-344)设A在给定基1, 2, 3下的矩阵为A,因563E A = 111213 4 224=(2)(1 73)(1 <3),故A的特征值为1=2,2=1+£,31- 3 o3x1 6x2当1=2时，方程组Xi 2x2x1 2x23x3 02X3 0的基础解系为13x3 00,故A的属于特征值2的全部特征向量为k 1(k

29、0),其中1 = 2 1- 2。(4.3)x1 6x2 3x303当 =1 +再时，方程组x1 (1 <3)x2 x3 0的基础解系为 1 ，故A的属于x1 2x2 (2 . 3) x3 02. 3特征值1 + 73的全部特征向量为k 2(k 0),其中2=3 1- 2+(2 <3 ) 3。(4. 3)x1 6x2 3x303当 =173时，方程组X1 (1 J§)x2 x3 0的基础解系为 1 ，故A的属于x1 2x2 (23)x302.3特征值1 J3的全部特征向量为k 3(k 0),其中3=3 1- 2+(2 石)35)设A在给定基1, 2, 3下的矩阵为A,因二(

30、1)2(1),故A的特征值为1,1。1,方程组X1X1X3X30的基础解系为001 ,故A的属于特征值1的全0部特征向量为k1 1k2 2(ki,k2不全为零),其中当31时,X1方程组 2xX3Xi2X300的基础解系为0,故A的属于特征值-1的全部特征向量为k 3(k 0),其中316)设A在给定基1, 2, 3下的矩阵为A,因21E A = 23( 2 14)= (VUi)(J14i),13故A的特征值为10, 2714i, 3由4i。当1 0时，方程组2x2 x302X1 3X3 0的基础解系为X1 3x2031 ,故A的属于特征值0的全部特征向量为k 1(k 0),其中13 12 3

31、。当2 U商时，该特征方程组的基础解系为6 、.14i2 3、14i10,故A的属于特征值V14i的全部特征向量为k 2(k 0),其中2(614i) 1(2 3.14i) 210 3。*H4i时，该特征方程组的基础解系为6 . 14i2 3Vl4i,故A的属于特征值10714i的全部特征向量为k 3（k 0）,其中3(6 Vl4i) 1 ( 2 3/14i) 2 10 3。7）设A在给定基1, 2, 3下的矩阵为A,因00=(1)2(22),故A的特征值为12 1, 321，该特征方程组的基础解系为6 ,故A的属于特征值1的全部特征向20量为 k 1（k 0）,其中 13 1 6 2 20

32、3。当32 ,该特征方程组的基础解系为00 ,故A的属于特征值-2的全部特征向量为1k 2(k 0),其中 2320.在上题中，哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形 ？在可以化成对角形的情况下，写出相应的基变换的过度矩阵 T,并当算T 1AT。解已知线形变换A在某一组基下为对角形的充要条件是有n个线形无关的特征向量，故上题中1）6）可以化成对角形，而7）不能.下面分别求过渡矩阵To-14，、一11）因为（1, 2） （ 1, 2）,所以过渡矩阵T=1515T 1AT= 9192)当a493 4115 2190时，已是对角型当a 0时，有（1,力（1, 2） ： 1 ,过渡矩阵T= J 1T

33、 1AT= 2 i21212ai00ai3）因为（4) = (4)1100101010011111过渡矩阵T=110010101001111，1T 1 AT=4）因为（过渡矩阵5）因为（T 1AT6）因为（2,3) =(2T= 1012 0122, 3) =(2,即过渡矩阵为T=2,31.，331.3T 1AT、.313) 01过渡矩阵T=0且 T 1 AT 001201233)1214i3 14i1014i3.14i ,100, 14i000.14i14i3 14i10614i2 3 14i1021.在P冈n(n>1)中，求微分变换D的特征多项式，并证明D在任何一组基下的矩阵都不可 能

34、是对角阵。X2解取PX n的一组基1,X, 2(n则D在此基下的矩阵为010.0001.0D=.000.1000.01 0 . 001 . 0从而| E D 0 00 .1故D的特征值是0(n重)，且D的属于特征值0的特征向量 只能是非零常数。从而线性无关的特征向量个数是1,它小于空间的维数n,故D在任一组基下的矩阵都不可能是对角 形。14222.设 A=034,求 Ak。04314解：因为EA030424(1)(5)(5),3故A的特征值为11, 2 5,5,且A的属于特征值1的一个特征向量为X (1,0,0), A的属于特征值5的一个特征向量为X2 (2,1,2), A的属于特征值-5的一

35、个特征向量为X3 (1, 2,1)1 21于是只要记T=(X1, X 2, X 3)10 12 ,贝U T AT0 21100且 Bk0 5k 000( 5)k12于是 Ak TBkT 10 2100( 5)k 012 5k 1 1 ( 1)k1=05k 1 1 4( 1)k0 2 5k 一-的全部特征向量为k3 3,其中k30 ,且 1 ( 1)k15k 1 4 ( 1)k 12 5k1 1( 1)k 15K 1 4 ( 1)k23.设1, 2，3, 4是四维线性空间V的一个基，线性变换A在这组基下的矩阵为34 12 23 +6 4 01)2)3)23求A的基21127求A的特征值与特征向量

36、;求一可逆矩阵T,使T 1 AT成对角形。解1）由已知得（121123100010000144下的矩阵;(1,3, 4)X ,故求得A在基4下的矩阵为1B=X1AX65725543222）A的特征多项式为f()2(2)(1)，所以A的特征值为0,A的属于特征值0的全部特征向量为k11 k2 2,其中K,k2不全为零，且A的属于特征值A的属于特征值1的全部特征向量为k4 4,其中卜43）因为4)( 1 , 2 , 3,231011014216311 ，2所求可逆阵为T=2310110142163112为对角矩阵。1,2是线性变换A的两个不同特征值,2是分别属于2的特征向量，证明:12不是A的特征

37、向量;2）证明：如果线性空间V的线性变换A以V中每个非零向量作为它的特征向量，那么 A是数 乘变换。证 1)由题设知 A( 1)1 1,A( 2)2 2, 且 12，2)=12是A的特征向量，则存在0使A( 1A( 1)20。再由2的线性无关性，知2，这是不可能的。2）设V的一组基为2不是A的特征向量。1, 2，, n,则它也是A的n个线性无关的特征向量，故存在特征值 1 ,2 , n,使A( i) i i(i1,2，,n)。由1）即知12n k o由已知，又有A（ ） k （ V），即证A是数乘变换。25.设V是复数域上的n维线性空间，A，B是V上的线性变换，且AB=BA，证明:1) 如过

38、0 是 A 的一个特征值，那么V 0 是 B 的不变子空间；2) A， B 至少有一个公共的特征向量。证 1)设 V 0，则 A 0 ， 于是由题设知A(B )=B(A )=B( 0 )0(B )，故 B V 0 ，即证 V 0 是 B 的不变子空间。3)由1)知V0是B的不变子空间，若记B|V0=B0,则B0也是复数域上线性空间V0的一个线性变换，它必有特征值0,使 B0B= 0B(B V 0 , 且 B 0)，显然也有A(B)= 0B,故B即为A与B的公共特征向量。26.设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换 A在基1, 2，n下的矩阵是 一若当块。证明：1) V中包含1的A-子空间只有

39、V自身；2) V中任一非零A-子空间都包含n；3) V不能分解成两个非平凡的 A子空间的直和。 证 1) 由题设 , 知1A( 1, 2 ,., n )=( 1 , 2,., n )，. .1A112A223即 ，A n1n1 nan n设W为A-子空间，且i W则A 1 W进而有2 A 11 W A 2W，3 A 22 W A 3W，A n1n1W，故 W=Ll, 2,，n=V。2)设W为任一非零的A-子空间，对任一非零向量W,有不妨设10,则A lA 12A 2 nA n=1 (12)+2(23)+，+n n=1 22 3. n 1 n W于是1223 n 1 n W同理可得1 32 4

40、. n 2 n W，1 n W从而n W即证V中任一非零的A-子空间W部包含n3)设W1，W是任意两个非平凡的A-子空间，则由2)知于是n W1 W2 ,故V不能分解成两个非平凡的A子空间的直和。27.求下列矩阵的最小多项式:01） 0110 ,2）03131131331311313解1)设A,因为A2-E=0,所以21是A的零化多项式，但2 1。A- E 0, A+E 0,故A的最小多项式为mA()2）因为f（）E A 4,所以A的最小多项式为，2, 3, 4之一，代入计算可得A的最小多项式为mA( )2。二补充题参考解答1 .设A,B是线性变换，A2=A,B2=B证明:1）如果（A+B）

41、2 =A+B那么 AB=02）如果，AB=BAIB么（A+B-AB）2=A+B-AB.证 1)因为A2 =A,B2=B,(A+B) 2=A+B由 (A+B) 2 =(A+B)(A+B)=A2 +AB+BA+B2 ,故 A+B=A+AB+BA+B, 即 AB+BA=0.又 2AB=AB+AB=AB-BA2=BA-B2A=A2B+ABA=A(AB+BA)=A0=0所以 AB=0.2) 因为 A2 =A,B2 =B,AB=BA所以 (A+B-AB)2 =(A+B-AB)(A+B-AB)=A2+BA-ABA+AB+2B-AB2 -A 2 B-BAB+ABAB=A+AB-AAB+AB+B-AB-AB-A

42、BB+AABB =A+AB-AB+AB+B-AB-AB-AB+AB =A+B-AB。2 .设V是数域P上维线性空间，证明：由V的全体变换组成的线性空间是n2维的。证因 Eii,L Ein, E21,L , E2n,L , Eni,L Enn 是 Pnn 的一组基，Pnn 是 个 维的。V的全体线性变换与Pn n同构，故V的全体线性变换组成的线性空间是n2维的。3 .设A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：1)在Px中有一次数 n2的多项式“*),使£9)0；2)如果f(A) 0,g(A) 0,那么d(A) 0,这里d(x)是f (x)与g(x)的最大公因式.；3) A可逆的

43、充分必要条件是：有一常数项不为零的多项式f(x)使f(A) 00证1)因为P上的n维线性空间V的线性变换组成的线性空间是n2维的，所以n2+1个线性变22换An ,An 1,、，A,E , 一定线性相关，即存在一组不全为零的数an2,an2 1,L a比使22an2 A +an2 1 A +La1A+a0 E=0，22令 f (x) an2 xn an2 1xnL a1x a0 ,且 ai(i 0,1,2,L ,n2)不全为零，(f(x) ) n2。这就是说，在Px中存在一次数 n2的多项式“*),使£(凡0。即证。2)由题设知 d(x) u(x)f(x) v(x)g(x)因为 f

44、(A) 0,g(A) 0 , 所以 d(A) u(A)f(A) v(A)g(A)=0。3)必要性.由1)知，在Px中存在一次数n2的多项式“刈，使£瓜)0。即22an2 An +an2 1 An +La1A+a0E=0,一 2一2 (右 a0 0,则 f (x) an2xan2 1xLa1x a0 即为所求。若 a0 0,一 2一 2 (an2 A +an21A +La1A+a0 E=0,因 A可逆，故存在A 1,(A 1)j (Aj) 1也存在，用(Aj) 1右乘等式两边,.一22得 an2An j+an2 1An j 1+- +ajE=0令 f(x) an2 xn j+an2 1

45、 xn j 1+ + aj 0),即 f(x)为所求。充分性.设有一常数项不为零的多项式22 1f (x) an2xn an2 1xnL a1x % (a。 0)使 f (A) 0,即2' am1Am1a1A a0E 0,所以 amAm am 1Amia1Aa0E ,于是工(amAm1a1E) A E,a0又 A(amAm 1 a1E) E,a0故A可逆。4.设A是线性空间V上的可逆线性变换。1)证明：A的特征值一定不为0；12)证明：如果 是的A特征值，那么1是A1的特征值。证1)设可逆线性变换A对应的矩阵是A,则矩阵A可逆,A的特征多项式f()为f( ) n (七 a22ann)

46、n 1(1)nA,A 可逆，故 A 0。又因为A的特征值是的全部根，其积为 A 0,故A的特征值一定不为002)设 是的A特征值,那么存在非零向量，使得A ，用A 1作用之，得 (A1)，于是A1-,即工是A 1的特征值。5 .设A是线性空间V上的线性变换，证明；A的行列式为零的充要条件是 A以零作为一个特 征值。证：设线性变换A矩阵为A,则A的特征值之积为A 必要性，设A 0,则A的特征值至少有一个为零，即一另为一个特征值。充分性，设A有一个特征值0 0,那么A 0o6 .设A是一个n阶下三角矩阵，证明：1)如果aii a j，i，j 1,2 n),那么A相似于一对角矩阵;2)如果ai1a2

47、2ann,而至少有一 aiojo 0(i°j。)，那么A不与对角矩阵相似。证：1)因为A的多项式特征是f ( )= E A (a11)(a22)(ann)，又因 aii ajj(i j，i，j 1,2 n),故A有n个不同的特征值，从而矩阵 A 一定可对角化，故A似于对角矩阵。 2)假定an1A=与对角矩阵B= 2相似，a11aiojo na11则它们有相同的特征值2, , n,因为A的特征多项式Vj(i,j 1,2,s),则f()=所以a11由于b=an=a11E是数量矩阵，它只能与自身相似，故 A不可能与对角an矩阵相似。7.证明:对任n复系数矩阵A,存在可逆矩阵T,使T 1AT证:存在一组基11? , 1 , , S1,s.，使与矩阵A相应的线性变换A在该基下的矩阵成若s， sr尔当标准形J,且A 1111112A s s r若过度矩阵为J1P,则1P 1AP JJS重排基向量的次序