高考导数(洛必达法则)

1、第二部分：泰勒展开式x1.e 11!2!3!III(ne 1)!其中(01);2. ln(1x)2x2!3x3!III(1)nn1 xn!Rn,其中Rn (n 1n x1 n 11)()；(n 1)! 1 x3.sin x3x3!5x5!III1)k12k 1x(2 k 1)!Rn,其中Rn2k 1 k x(1) cos x ；(2 k 1)!4. cosx2x2!4x4!HI(1)k2k 21 x(2 k 2)!Rn其中Rn2kk x(1) cos x;(2k)!第三部分：新课标高考命题趋势及方法许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目

2、容易让学生想到用 分离参数的方法，一部分题用这种方法很凑效， 另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路分类讨论和假设反证的方法.虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就0是洛必达法则.第四部分：洛必达法则及其解法洛必达法则：设函数f(x)、g(x)满足:(1) lim f(x)x alim g(x) 0;(2)在 U"内,x af (x)和g (x)都存在

3、，且g (x) 0 ；/c、 f (x)(3) lim-x a g (x)A ( A可为实数，也可以是ntt f(x) f (x).则 limlimA.x a g(x) x a g (x)(2011 新)例:已知函数aln x f(x)x 1b,曲线 xf(x)在点(1,f (1)处的切线方程为x 2y 3 0.(i)求a、b的值;(n)如果当1 时，f(x)ln xk ,求k的取值范围.x(I)略解得a 1, b1. (n)方法一：分类讨论、假设反证法由(l)知 f(x)ln xlnx k、1f(x) (x1 ? 一(21n(k21)(x 1人 ) .x考虑函数h(x) 2ln x(k 1)

4、(x2Zx0),则 h'(x)(k 1)(x22x1) 2x(i)当 k 0 时，由 h'(x)k(x2 1) (x 1)2知，当x 1时,h'(x) 0.因为 h(1) 0,精品1所以当x (0,1)时，h(x) 0,可得1 x2h(x) 0;当 x (1,)时，h(x) 0,可得12- h(x) 0 ,从而当x 0且x 1时,1 xIn x f(x) JIn x k0 ,即 f (x)；x 1 x(ii)当 0,，1,k 1时，由于当x (1,)时,1 k(k 1)(x2 1)2x一一一，10,故 h'(x) 0,而 h(1) 0,故当 x (1,)1 k时

5、，h(x)cr 1一一0 ,可得2 h(x) 0,与题设矛盾.1 x(iii)当 k)时,1 时，h'(x) 0,而 h(1) 0 ,故当 x (1,L 1h(x) 0,可得 2 h(x) 0,与题设矛盾.1 x综上可得,k的取值范围为(，0.0 k 1时，许多考生都停留在此这是高中阶段公认的难点，即便注：分三种情况讨论： k 0；0 k 1；k 1不易想到.尤其是一1层面，举反例x (1,)更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同,1 k通过训练也很难提升. 当x 0,且x 1时，f (x)ln x也即kxIn x1xln x2xln x,、"x丁彳k1'圮

6、 g(x)x2x In x1 x2则 g'(x)2(x2 1)ln x 2(1 x2) 2(x2 1)22(1 x )22(1 x )(ln xIn xx 1In xx 1记 h(x)4x _ (11+。一Cx (1+x )x(1+x )从而h(x)在(0,)上单调递增，且h(1) 0,因此当x (0,1)时,h(x) 0,x (1,)时，h(x) 0;当x (0,1)时,g'(x) 0,当 x(1,)时,g'(x) 0,所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增.由洛必达法则有2xln x眄内)l吗 1) 12x ln xlim 2x 1 1 x21M1

7、2ln x 2 - 0,2x即当x 1时，g(x) 0,即当1 时，g(x)0.因为k g(x)恒成立，所以k0 .综上所述，当x 0,In x k且x 1时，f(x) 成立，k的取值范围为(x 1 x,0.注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数k分离出来.然后对分离出来的函数2xln xg(x) X 1 求导，研究其单调性、极值.此时遇到了 “当x=1时，函数g(x)值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考 前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.、x ,2例(2010新)：设函数 f (x) e 1 x ax .(I)若a 0 ,

8、求f (x)的单调区间；(n)当x 0时，f (x) 0,求a的取值范围应用洛必达法则和导数(n)当 x 0时，f(x)2x ax .当x0 时，a R;当x0 时，ex 1 x2 .ax等价于axe 1 x2x记 g(x)xe 1 x2xx(0,+皿 (x)，则 g'(x) 2)ex x 2记 h(x)(x 2)ex x(0+ )，则 h'(x) (x 1)ex 1当 x (0,+ )时，h''(x)xex 0,所以h'(x)(x 1)ex 1 在(0 + )上单调递增，且 h'(x) h'(0) 0,所以 h(x) (x 2)ex x

9、2在(0,+ )上单调递ex 1 x .2 在(0,+ )上单调递增.x由洛必达法则有,xe1 xlim g (x)lim2x 0x 02xxe 1 lim x 0 2xxelim 一x 0 2即当x 0时,综上所述，当a1一1 ，g(x)-,所以当x21八， 一、一且 x 0时，f (x) 2(0+ )时，所以0成立.自编：若不等式-3 一sinx x ax 对于(0,2)恒成立，求g(x)a的取值范围.增，且 h(x) h(0) 0,因此当 x (0 + )时，g'(x)解：应用洛必达法则和导数当x (0,一)时，原不等式等价于 a23sin x xcosx 2xx sinx 、3

10、一，则 f (x) xsin x cosx(x tanx),t己 g(x) 3sin x xcosx 2x ,贝U g'(x) 2cosx xsin x 2 .因为 g''(x) xcosxg”'(x)xsinx 0,所以 g”(x)在(0,3)上单调递减，且 g''(x) 0,所以g '(x)在(0,-)上单调递减，且g '(x) 0 .因此g(x)在(0,-)上单调递减,且g(x) 0,故f'(x) 吟 0,因此f(x) sin x 一、3.记 f (x) x sinx在(0,一)上单调递减. xx2x sinx 1

11、cosx sinx由洛必达法则有 lim f (x) lim3 lim2 lim limx 0x 0 x x 0 3x x 0 6x x 0cosx1.，、1 ,1 , 一 ,即当x 0时，g(x) 一，即有f(x) .故a -时，不等式sinx x6663ax对于x (0,万)恒成立.通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足:(1)可以分离变量；用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；出现“2010海南宁夏文(21)已知函数f(x) x(ex 1) ax2.(I)若f (x)在x1时有极值，求函数f(x)的解析式；(n)当x 0时,f (x) 0,求a的取值范围.解

12、：(n)应用洛必达法则和导数 x 0时,f (x) 0,即 x(ex 1)2 一.ax .当x 0时，a R；当x 0时,x(ex 1)2x .ax等价于e 1 ax,也即aex 1 、,、.记 g(x) xx (0,)，则 g,(x) 3_J记 h(x) (x 1)ex 1 , x (0,),则 h'(x)xxe0 ,因此h(x)(x 1)ex 1 在(0,)上单调递增，且h(x) h(0) 0,所以 g'(x) 皿 xg(x)ex 1-小在(0, x)上单调递增.x_, , ,e 1由洛必达法则有lim g(x) lim x 0x 0xx e lim x 0 11 ,即当x

13、 0时，g(x) 1所以g(x)综上所述，当a 1 , x 0时，f (x)0成立.2010全国大纲理(22)设函数f(x) 1x(i)证明：当x 1时，f(x) ；(n)x 1设当x 0时，f (x)xax 1求a的取值范围.(n)应用洛必达法则和导数此时f (x) 0 .当a 0时，若x当a 0时,_x0 时，f(x)，即1ax 11皿 x一,贝 U a ax 1x x 什 xe ；右ax 10, f(x)x等价于ax 1x ax 1xxexxe x记 g(x)xxexxe x2x 2 x xx1e x e 2e 1 e x 2一，贝Ug'(x) 2=x2(exx 2x2(xe x

14、) (xe x)x 、不成立;ax 1R;x).记 h(x) exx2 2 e x,贝U h'(x) ex 2x e,h''(x)ex+e x2 0.因此，h'(x)ex 2x e x在(0,)上单调递增,且 h'(0) 0,所以h'(x)0,即 h(x)在(0,)上单调递增，且h(0) 0,所以h(x) 0.因此g '(x)=(xex x)2h(x) 0 ,所以 g(x)在(0,)上单调递增由洛必达法则有xxelim g(x) lim tx 0x 0 vaxxexe 1lim tx x 0 exxexlimxe 1 x 0x e2exx

15、 xex xe1-1 -g (x) 一，即有 g (x) 一，所以 a22sin x(2008)例：设函数 f (x)-2 cosx1-,-.综上所述,2a的取值范围是,2.(i)求f(x)的单调区间；(n)如果对任何 x 2 0 ,都有f (x)<求a的取值范围.(x)(2 cos x)cos x sin x( sin x)(2cosx)22cos x 12(2 cosx)当 2k：t当 2k：t2五32jt32ku2冗,2k 冗32k：t红34兀3(kZ)时,Z)时,cosxcosx1 r ,即 f (x)21 一、2 ,即 f (x)0;因此f (x)在每一个区间2 7t3(k是增函数,f (x)在每一个区间2ku2冗,2 k 冗34 冗/Ir 、(kZ )3是减函数.(n)应用洛必达法则和导数sinxf(x) ros;ax若sin xx 0,则a R ；若 x 0 ,贝u 2 cosxax等价于sinxa g (x)x(2 cosx)即sin xx(2 cosx)g'(x)则2xcosx2sin x sin xcosx x2 "2x (2 cosx)h(x) 2xcosx 2sin xsin xcosx xh'(x) 2cosx 2xsinx2xsin xcos2x 12cosx cos2x2