高考数学一轮复习《三垂线定理》学案

1、精选优质文档-倾情为你奉上基础过关第5课时三垂线定理斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 DABC变式训练1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔AB，塔顶A到道路距离为AC，且测得BCA30°，在道路上取一点D，又测得CD30m，CDB45°求电塔AB的高度解：BC30，ABBC tan30°10例2如图，矩形纸片A1A2A3A4，B、C、B1、C1分别为A1 A4、A2A3的三等分点，将矩形片沿B1A1 B C A4A1A2 B1 C1 A3A2C1CBBB1，CC1折成三棱柱，若面对角线A1B1BC1；求证：A2CA1B1解：取A2B1中点D1

2、 A2C1B1C1 C1D1A2B1又A1A2面A2B1C1 C1D1A1A2C1D1面A1A2B1B BD1是BC1在面A2B上的射影由A1B1BC1 BD1A1B1取A1B中点D 同理可证A2D是A2C在面A2B上的射影A2DBD1 A2DBD1是平行四边形由BD1A1B1 A1B1A2DA2CA1B1 A1C1B1MNCPBA变式训练2：如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB3，AA14，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长，设这条最短路线与CC1交点N，求：(1) PC和NC的长；(2) 平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)大小解：将侧面

3、BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线设PCx，则P1Cx，在RtMAP1中，由勾股定理得x2PCP1C2 NC(2) 连接PP1，则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NHPP1于H，又CC1平面ABC，连结CH，由三垂线定理得CHPP1NHC就是平面NMP与平面ABC所成的平面角(锐角)在RtPHC中 PCHPCP160° CH1D1C1B1A1BADFCE在RtPHC中 tanNHC故平面NMP与平面ABC所成二面角大小为arctan例3.

4、如图在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点(1) 试确定点F的位置，使得D1E面AB1F；(2) 当D1E面AB1F时，求二面角C1EFA大小解：(1) 连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A1内的射影AB1A1B D1EAB1于是D1E平面AB1F D1EAF连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影D1EAFDEAFABCD是正方形，E是BC的中点当且仅当F是CD的中点时，DEAF即当点F是CD的中点时，D1E面AB1F(2) 当D1E平面AB1F时，由(1) 知点F是CD的中点，又已知点E是BC的中点，连结EF，则EFBD连AC，设

5、AC与EF交点H，则CHEF，连C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影C1HEF 即C1HC是二面角C1EFC的平面角在RtC1HC中 C1C1 CHACtanC1HC C1HCarctan 2AHC1arctan2变式训练3：正方体ABCDA1B1C1D1中棱长a，点P在AC上，Q在BC1上，APBQa，(1) 求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值；(2) 求证：PQAD(1) 解：过Q作QMCC1交BC于M 则QM面ABCD QPM就是所求角即 PMAB在RtPQM中 PM QMtanQPM1(2) 由(1) 可知PMBC PQ在面ABCD内的射影是PM.PQBC 又ADBC PQ

6、AD例4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动(1) 证明：D1EA1D；(2) 当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；(3) AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为AA1C1D1BCEDB1 (1) 证明： AE平面AA1DD1，A1DAD1，A1DD1E(2) 设点E到面ACD1的距离为h，在ACD1中，ACCD1，AD1，··，而·AE·BC·DD1·h×1×h， h(3) 过D作DHCE于H，连D1H、DE，则D1HCE，DHD1为二面角D1ECD的平面

7、角设AEx，则BE2x在RtD1DH中，DHD1，DH1在RtADE中，DE，在RtDHE中，EHx，在RtDHC中，CH，CE，则x，解得x2即当x2时，二面角为D1ECD的大小为PABCD变式训练4：如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且PDa，PAPCa(1) 求证：PD面ABCD；(2) 求直线PB与AC所成角；(3) 求二面角APBD大小证明：(1) PCa PDDCa PD2DC2PC2PDC是直角三角形 PDDC同理PDDA 又DADCDPD平面ABCD(2) 连BD ABCD是正方形 ACBD又PD平面ABCD ACPB(三垂线定理)PB与AC所成角为90°(3) 设ACBD0 作AEPB于E，连OEACBD PD平面ABCD AC面ABCDPDAC AC平面PDB又OE是AE在平面PDB内的射影OEPB AEO就是二面角APBO的平面角又ABa PA PBPD面ABCD DAAB PAAB在RtPAB中 AE·PBPA·AB AE AO小结归纳sinAEO AEO60°1求直线和平面所成的角的一般步骤是一找(作)，二证，三算寻找直线在平面内的射影是关键，基本原理是将空间几何问题转化为平面几