圆锥曲线归纳10种解题法试卷

1、高中数学圆锥曲线解答题解法圆锥曲线解答题中的十种题型：几乎全面版题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：共线向问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题问题七：直线问题问题八：轨迹问题问题九：对称问题问题十、存在性问题：(存在点，存在直线y=kx+m,存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直 角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1O)作直线/与曲线N ：)，2=工交于从、B两点，在x轴上是否存在一点E(x°O),使得AA8E是等边三角形，若存在，求出与；若不存在，请说明理由

2、。例题2、已知抛物线y=x?+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则IABI等于题型二：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C：二十二=1(>/?>0)的离心率为cr r/T >且在x轴上的顶点分别为A(-2,O)A(20)。2( I ) 求 椭 圆 的 方 程；(II)若直线/: x = P > 2)与x轴交于点T,点P为直线/上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的 结论题型三：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A、B、C是椭圆E：立+ E = i上的三点，其中点A（2G，0）是椭圆的右顶

3、a2 h2点，直线BC过椭圆的中心0,且正就=0,忸亍卜2|恁如图。求点C的坐标及椭圆E的方程：（II）若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线x = JJ对称，求直线PQ的斜率。题型四：共线向问题1：如图所示，已知圆C ：（x + lf + ）=8,定点A（l,0）,Af为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM 上，且满足4点=24户,凡户4府=0,点N的轨迹为曲线E.I）求曲线E的方程；II）若过定点F（0,2）的直线交曲线E于不同的两点G、H （点G在点F、H之间），且满足历=九而，求；I的取值范围.2：己知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线），

4、=1寸的焦点，离心率4为”.（1）求椭圆C的标准方程：（2）过椭圆C的右焦点作直线/交椭圆C于A、8两点，交），轴于"点， 若丽5 = 4而，=,求证：4+4=-10.类型1求待定字母的值例1设双曲线C：二尸=1(>0)与直线L： x+y=l相交于两个不同的点A、B,直线L与y轴一 5 一交于点P，且24 = P&求。的值 12类型2求动点的轨迹例2如图2,动直线> =公+1与y轴交于点A,与抛物产=工-3交于不同的两点B和C,且满足BP=ZPC, AB=XAC,其中求APOA的重心Q的轨迹。1 /1类型3证明定值问题OM = AOA + iOB ,其中例3已知椭

5、圆的中心在坐标原点0,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，3 与。=(3,-1)共线，设M为椭圆上任意一点，且证明：万+2为定值0类型4_探索点、线的存在性例4在4ABC中，已知B( 2, 0), C(2, 0), AD±BC于D, 4ABC的垂心H分有向线段AD所成的比为L设P(-l,0),Q(l,0),那么是否存在点H,使成等差数列，为什么？3HP PQ HQ类型5一求相关量的取值范围例5给定抛物线C：3，2 =4x , F是C的焦点，过点F的直线1与C相交于A、B两点，且 FB = AAMe4,9,求1在)，轴上截距的变化范围。y2X存在、向量例6、

6、双曲线C：- a y=1(。>0/>0酌右顶点为4, x轴上存在一点Q(2c/,0),若。上存在一点P使AP_LPQ,求离心率的取值范围，定值问题例7： A,8是抛物线/ = 2px (>0)上的两点，满足。4,03 (。为坐标原点)，求证:(I) A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值：(2)直线A3经过一定点。题型五：面积问题例题1、己知椭圆C：:+二=1 (a>b>0)的离心率为 cr 犷且，短轴一个端点到右焦点的距离为V3。 3(I)求椭圆c的方程;(II)设直线1与椭圆C交于A、B两点，坐标原点0到直线1的距离为求AAOB面积的最大值。22、已知椭

7、圆C:二十二=l(a>b>0)的离心率为直，短轴一个端点到右焦点的距离为J5.( I )求椭圆C cr3的方程;(II )设直线1与椭圆C交于A、B两点，坐标原点0到直线1的距离为可，求AAOB而积的最大值.3、已知椭圆( +十=1的左、右焦点分别为入，F2.过百的直线交椭圆于反。两点，过死的直线交椭圆于A C两点，且AC_L3Q,垂足为P . ( I )设P点的坐标为(孙 光)，证明：£ y； < 132(H)求四边形A3C。的而积的最小值.题型六：弦或弦长为定值、最值问题1、已知的面积为2«, OF FQ = m-l）c2当I丽I取得最设痣金44#,求

8、NOFQ正切值的取值范围:小值时，求此双曲线的方程。（2）设以0为中心，F为焦点的双曲线经过点Q （如图），I。户l=c,? =2、已知椭圆+ = 1两焦点分别为F1、F2 乙作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.（【）求P点坐标；（II）求证直线AB的斜 率为定值：（1【）求4PAB面积的最大值.3、已知椭圆+ /=1的左焦点为F, 0为坐标原点。（I）求过点O、F,并且与椭圆的左准线/相切的圆的方程：（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分 线与尤轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.4、己知点48的坐标分别是（0,-1） , （0,1）

9、,直线AM,8M相交于点M,且它们的斜率之积为-（1）求点M轨迹C的方程：（2）若过点。（2,0）的直线/与（1）中的轨迹C交于不同的两点 E、F （石在。、尸之间），试求AODE与F而积之比的取值范围（O为坐标原点）. 一 + -= 1 （a > 人 > 0）4zl n 5、己知椭圆5： 1 旷的右顶点为A（1，°）,过5的焦点且垂直长轴的弦长为1.（I）求椭圆G的方程；（H）设点尸在抛物线。2：、= £+/?（£）上，G在点P处的切线与G交于点M，N.当线 段A0的中点与MN的中点的横坐标相等时，求才的最小值.题型七：直线问题22例题1、设椭圆。：

10、£ +今=1伍>6>0）过点且着焦点为耳（JI。）（I）求椭圆C的方程：（II ）当过点尸（4）的动直线/与椭圆。相交与两不同点A,8时，在线段A3上取点。，满足1天？卜口司=1福H丽卜证明：点。总在某定直线上2、已知曲线上任意一点0到两个定点片（-JI。）和5（JI。）的距离之和为4. （1）求曲线厂的方 程：（2）设过（0,-2）的直线/与曲线厂交于C、。两点，且反历=0 （。为坐标原点），求直线 /的方程.3、设写、F?分别是椭圆亍+ V =i的左、右焦点。1 / 1（I ）若P是该椭圆上的一个动点，求PFiPF?的最大值和最小值：（II ）设过定点”（0,2）的直

11、线/与椭圆交于不同的两点A、B ,且NAO8为锐角（其中。为坐标原 点），求直线/的斜率左的取值范围。题型八：轨迹问题轨迹法：1.直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要 特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法：例1、己知直角坐标系中，点Q （2, 0）,圆C的方程为x2+3'2 =1，动点M到圆C的切线长与的比等于常数求动点M的轨迹。例2、如图，圆01与圆4的半径都是1,=4 过动点夕分别作圆。2、圆。2的切线W，N分别为切点），使得PM = W.试建立适当的坐标系，并求动点夕的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何

12、中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨 迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。/ 例I、己知动圆过定点 go ,且与直线x = -2相切，其中p>0.<2 y2求动圆圆心C的轨迹的方程:例2、已知圆0的方程为x2+y2=100,点A的坐标为(6 0) , M为圆0上任一点，AM的垂直平分 线交OM于点P,求点P的方程0三、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x y")的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x，y表示为x,y的式子，再代 入Q的轨迹方程，然而整

13、理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件， 然而得出动点的轨迹方程。例1、如图，从双曲线x2-y2=l上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。一例2、已知椭圆二+ = = 1(。人0)的左、右焦点分别是Fi (一 c, 0)、F2 (c, 0) , Q是椭圆cr b-外的动点，满足I而1=2。点P是线段FQ与该椭圆的交点，点T在线段F?Q上，并且满足1 / IyPT TF2 =0,1* 1。0.求点T的轨迹C的方程:四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关

14、系，则可借助中间变量 （参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。例1、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x?上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足 AO±BO （如图4所示）.求AOB的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程：例2、如图，设抛物线C:y = 的焦点为F,动点P在直线/:不一），一2 = 0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.求4APB的重心G的轨迹方程.五、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此 法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，

15、然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变 种。例1、抛物线V =4px（>0）的顶点作互相垂直的两弦oa、OB,求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。题型九：对称问题221、例：若椭圆3- + - = 1上存在两点A.B关于/： y = 4x + ?对称，求的取值范围2、己知实轴长为2a,虚轴长为2b的双曲线S的焦点在x轴上，直线y = -JIr是双曲线S的一条渐近线，而且原点O,点A （a, 0）和点B （0, -b）使等式13|2 +|而|2=3|方|2。3|2成立.3（I）求双曲线S的方程：（II）若双曲线S上存在两个点关于直线/:y =h+4对称，求实数k的取值范围

16、.问题十、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m,存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直 角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）221、设椭圆E:二十二=1 （a.b>0）过M （2,嫄），N（«,l）两点，O为坐标原点，cr lr（I）求椭圆E的方程;（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A.B,且砺，砺？若 存在，写出该圆的方程，并求IABI的取值范围，若不存在说明理由°2、在平面直角坐标系xOy中，经过点（0,"）且斜率为我的直线/与椭圆二+），2=1有两个不同的交点 2尸和Q. （I）求k的取值范围：（I

17、I）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为4 B,是否存在常数攵，使得向量方+而与血共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.3、设耳、工分别是椭圆g + ? = l的左、右焦点.（I ）若P是该椭圆上的一个动点，求西丽的最大值和最小值；（II）是否存在过点A （5, 0）的直线1与椭圆交于不同的两点C、D,使得 IF2CITF2DI?若存在，求直线1的方程；若不存在，请说明理由.4、椭圆G：二十二=1（。>/7>0）的两个焦点为日、F2,短轴两端点B2，已知R、F?、Bi、B?四 cr点共圆，且点N （0, 3）到椭圆上的点最远距离为5&.（1）求此时椭圆G的方

18、程：（2）设斜率为k（k加）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F, Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P （0,1 /1）.Q的直线对称？若能，求出k的取值范围：若不能，请说明理由. 3x1 y2>/3C： + 73"=> /? > 0）f5、己知椭圆 从的离心率为3 ,过右焦点F的直线/与C相交于4、3两点，当在/的斜率为1时，坐标原点。到/的距离为2（I）求4,"的值:（ID C上是否存在点P,使得当/绕F转到某一位置时，有而=）+砺成立？若存在，求出所有的P的坐标与/的方程：若不存在，说明理由。G g nC ：+ -v = 1（« > /? > 0）6、己知直线工一2> + 2 =