数列的极限及运算法则

1、学习要求：1 .理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想2 .理解和掌握三个常用极限及其使用条件.能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力.3 .掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限4 .掌握无穷等比数列各项的和公式.学习材料：一、基本知识1 .数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限趋近于某个常数a (即an a无限趋近于0),那么就说数列an以a为极限，或者说a是数列an的极限.记作liman a,读作“当n趋向 n于无穷大时，an的极限等于a”“n &qu

2、ot;表示"n趋向于无穷大”，即n无限增大的意思lim an a有时也记作：当n 时，ana .n理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n的无限增大，数列的项 an无限地趋近于某个常数 a”的意义有两个方面：一方面，数列的项an趋近于a是在无限过程中进行的，即随着 n的增大an越来越接近于a ；另一方面，an不是一般地趋近 于a ,而是“无限”地趋近于 a ,即an a随n的增大而无限地趋近于 0.2 .几个重要极限：,、1(1) lim - 0(2) lim C C( C 是常数)n nn(3)lim an0 ( a 为常

3、数 a 1),当 an1 时，lim ann1时,lim an不存在。n,如果 lim anA,lim bn B,那么nnlim(an bn) A Bn3 .数列极限的运算法则：与函数极限的运算法则类似lim (anbn)A Bn一 aA一lim(anbn) A.Blim一(B 0)nn bnB特别：若C为常数，则lim(Cgan) cgiman CA,Cn有极限，则推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况如，若an ,bnlim (anbncn)liman lim bnlimcnnnnn二、基本题目1.判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由(1)(2)1, 1,232,2

4、(3)100 (n 1(n1010)1010)d、n n 11)，;n2. (1)若 lim(n2a、n)0,则a的取值范围是（2）数歹U an的前n项和为2Sn ,且 Sn1 an ,求 lim3 nan的值。3. 已知 lim ann5, lim bnn3,求 lim(3an 4bn). n解：因为lim ann5, lim bnn3,所以 lim(3ann40)lim3 an nlim4 bn n3lim an 4limbn1512 34.求下列极限:lim (5 n-)； n(2)lim (11)2解:5.（1） lim（5n求下列极限:lim5nlimn5;(2)1 lim(1)2(

5、limn22lim1)2 (0 1)2 1 nlim (J n n2、-).(2) nlim n3n.(3) nlim n2n23n2.(4)lim n3n32n4n2 . n解: lim (n2) nlim nlim 22limn(2)(3n 2万法一）lim 一lim(3 nlim3 nlim2 3 n n0.（方法二）. n0.分子、lim n3n 2lim nlim (3 nlim 1 n第二个题目不能体现“分子、法就简单多了 .因为分母上是.2n2 n(3) lim三n3n2 22 1 limnn 34 n2lim1 n n3.分母同除n的最高次哥.2) n3 3.分母同除n的最高次

6、哥”这个方法的优势 .这道题目就可以.使用上述方23n 2,有常数项，所以（2）的方法一就不能用了1 lim(2 -) n n lim(3 -1) n n1 lim2 lim一规律一：一般地，当分子与分母是关于lim3 lim-1 n n nn的次数相同的多项式时，这个公式在n时的极限是分子与分母中最高次项的系数之比（4）分子、分母同除n的最tWj次帚即n4,得.一 3n3 n nim 2nlim -n21n1-2 nlim 3 limn n nlim 2 lim1-3 n1n0 0c 0 .规律二：一般地，当分子、时，这个分式极限为 0.6.求下列极限.分母都是关于n的多项式时,且分母的次数

7、高于分子的次数时，当lim ( nn2 3n) .(2)limn3n 23. (3)解: lim(nn2 3n)2 .n lim n(2)limn3n 2lim nlimn3n 1lim n3 n2limnlimn.3n 1 5limn3.2n11 -nlimnlim5n n1 lim1 lim-31.1 n说明：当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用两个（或几个）一定不存在7.求下列极限：函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不（1）nie解：先求和再求极限(1)3 lim (-2n n 15n2 12n

8、1)；(2)lim (nlimn3 5 7 Ln2 1(2n 1)1n32n2 n1)(2n 1)limz2nn2 1n2 2n lim - n n2 11 2limn 1n 1 -1 2nn13n 产03n标 2 4 K2二)limjlim 2(211)limn 13 9K3n1n 11)n 3n 1n18.公比绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限公比的绝对值小于 各项白和.设无穷等比数列1的无穷等比数列前 n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列a1,a1q,aq2, ,aqn L 的公比q的绝对值小于1 ,则其各项的和S为(q1)(1)求无穷等比数列,各项的和.解：，,的首项a10.3 ,公比 q 0.1 所以 s=+ + +0.31 0.1(2)o 0将无限循环小数0.29化为分数.解：0.29& 0.29 0.0029 0.000029 L =1荷L106129空1 J 99102练习：如图，在边长为l的等