高等数学 (上册)

1、整理课件高等数学 重庆交通学院重庆交通学院 （ 上册上册 ）冯春冯春整理课件目 录第一章 函数 与 极限第二章 导数 与 微分 第三章 中值定理 与 导数应用第四章 不定积分第五章 定积分第六章 定积分的应用整理课件一、极限 1、定义 Xn=f(n) axnnlim2、 xn |xn-a|0,E N0, st当nN时,有|Xn-a|成立 则称a是xn 当n时的极限,记为 axnnlim 说明:(1)先确定,再找N (2)| xn a| 几何意义: a-xn 0,要使| ,即 取N= so对0找到N= st当nN时,| xn a|0,要使| |0) 1( 12nn）（即 -1 N= -1 11对

2、 0, st nN时, | xn a|0,要使 sin -0| nlimn12n即 sin ( )2 取N=( )2 11对 0, ( )2 st | sin -0|Nn12nif so. xn 收敛 否则:发散 1 证明 : sin =0整理课件1、极限的唯一性 2、极限的收敛性 (二)函数的极限 1.定义 (1) (x) xxo 0|x-xo|0 |x|xxlima.x+ xXb.x- -xX x-X(x)a, 0|(x)-a|0, x0,st当|x|x时,有|(x)-a|0, st当0|x-xo| 时,有|(x)-a|0,要使 =0,| -0|= 1 取 x = 1对 ,找到x= ,当x

3、X时,有函数| -0|0,要使 =1, | -1|=,xlim12xx12xx +113x1|3x3整理课件取x= +1, 对 找到x= +1 33当xX时,有函数| -1|=0要使| - 4 | = |x-2| 24xx取= 0|x-2|有|(x)-4|0要使|sinx-sinxo |=2|sin cos | 20 xx 20 xx 2|sin cos |2|sin | 20 xx 20 xx 20 xx 当 x 很 小 时,|sinx| |x|2|sin |2 | = |x-x0| 20 xx 20 xx 整理课件取 =,0|x-x0|有|sinx-sinxo |N N= nN -X: |

4、x|X X= |x|X - : 0|x-x0|x 2.证明极限的性质 (1)保号性-用于证明题 x ( , ) , (x)与极限值同号 0 x3. (x) 的存在性 左右极限存在并相等 0limxx当xxo时,x ,极限 (x)= -(xo+0) 左极限0 x0limxx应用-主要用于分段函数 分段点处求极限 整理课件设 讨论 (x)的存在性 00 xx0limxx (x)= x2-1=-1 x0 但 x 0 0limx0limx (x)= x2+1=1 0limx0limx不能认为x2+1=1 左右极限不相等 x0时函数极限不存在 设(x)= 1100123xxxxxx求 (x)及 (x)

5、0limx1limx (x)= x3=0 0limx0limx (x)= x=00limx0limx (x)=0 (x)= x=1 0limx1limx1limx (x)= x=01limx1limx(x)不存在 1limx 整理课件设(x)= 求 (x)000sinxxxx0limx此时不须要考虑左右极限 (x)= =10limx0limxxxsin4.无穷大与无穷小 (一) 无穷小: if lim (x)=0, so称为当xxo()时的无穷小 注意(1)区别极限为0的时候称为无穷小很小（常数极限 0不是无穷小无穷小但可认为0为无穷小）(2) =0, xlimx1x1是x时的无穷小 =1,

6、但 并不是无穷小 xlimx1x1天穷小一定针对极限过程 6整理课件(二)无穷大 if lim (x)= so (x)称为xxo()时的无穷大 极限为无穷大的函数称为无穷大 注意: = ,1limx11x 是x1时的无穷大 11x =-1 11x无穷大一定针对极限过程 (三) 无穷大与无穷小的关系 在同一极限过程中,无穷小和无穷大互为倒数 (四)用- ,-X写出无穷小(大)的定义 写出 (x) = 0 0limxx对 0 0 ,st当0|x- xo| 时 有| (x)-0|0 x0 ,st当|x|X时,| (x)-x|0 x0 ,st当|x|X时,| (x)-x|M M二.求极限方法 1.四则

7、运算 设lim (x)=A lim g(x)=B lim(x)+ g(x)=lim (x)+- lim g(x) lim(x). g(x)= lim (x). lim g(x) lim = (其中B0) )()(xgxf)(lim)(limxgxf四则运算需在极限存在的条件下 注意: sinx 当x时, sinx xlimx1xlim = 分母不为分母不为0 3limx9322xx9lim3lim2323xxxx2.利用无穷小与无穷大的关系 例: = =0 3limx9322xx3limx9322xx9lim3lim2323xxxx 原式 = 3limx9322xx7整理课件3.无穷小乘以有界

8、函数仍然是无穷小 sinx=0 ( =0, |sinx| 1有界) nlimx1nlimx1 =0 ( =0, |arctgx|n时, (x)= 0 xlimxlim当m0) axaxaxlnlnlim解:原式中:令x-a=t,即 221x整理课件 = = lntaattln)ln(lim0tat)11ln(lim0ataat11 = ataat11a1(x)= (x) 0limxx0limxxa1 (3) xln(x+1)-lnx = xlimxxxe.1log= loge(1+ )x xlimx1=1 (4) ( )x xlim21xx=xxx)2111(= = 2eee1二.极限存在准则

9、-夹逼定理 设(x),g(x),h(x) if i)g(x)(x)h(x) ii)limg(x)=lim h(x)=A lim(x)=A 准则(2)-单调有界数列必有极限(证明) 无穷小的比较 已知: lim=0,lim=0 求lim 整理课件(1) lim =0 称是比高阶的无穷小 (2) lim = 称是比低阶的无穷小 (3) lim =k 称与同阶无穷小 (k0,1) (4) lim =1 称与等价无穷小 例:当x0时,下列函数哪些是x的高阶(2,3) ,同阶(1,6), 等阶(4,5) 1. x4+sin2x = 0limxxxx2sin42. 1-cos2x = = 2sinx xl

10、imxx2sin2xlim3. tg3x=tg2x. = tg2x=0 xtgx4. cos (1-x) 2212sin2)22cos(2xxxx5. xe2x lim e2x=1 6. cscx-ctgx 21.2cos.2sin22sin2.sincos122xxxxxxx等价无穷小的应用 在求极限中进行等价无穷小替换,简化计算 整理课件替换公式:已知lim=lim=lim=lim=0 求lim = lim 注意: (1) lim () )( ).()().(lim)().()().(xDxCxBxAxDxCxBxA lim () )()(lim)()(xBxAxBxA即在乘积因式替换,不

11、能在和差的某一部分替换 (2) 记住常用等价无穷小 当x0时, sinxx, arcsinxx, tgxx, ln(1+x)x, 1-cosx ,ex-1x 221x1sinlimarcsinlimsinuuxxxuxx令例：利用等价无穷小替换计算下列极限 （1） 52525sin2lim0 xxxxtgx（2） 92)3()2(213sin2cos1lim2220 xxxxx整理课件（3） 21)01 (2)01 ( 1)sin(cossin2)2sin2(cos2sin2sin22sin2sin2sin2cos2sin1cossin1lim220 xxxxxxxxxxxxxxx9 一、函数

12、的连续 1. f(x)在x点处连续的定义： If 处是连续的）在（称）（）（）（极限存在）在（）（有定义在00000lim32)() 1 (xxfxfxfxxfxxfxx2函数f（x）在（a，b）内连续即f（x）在（a，b）内每一点都连续，任取一点x验证3f（x）在a，b内连续 a，b=（a，b）+ bxaxx = a 右连续 ）（）（）（）存在（）（有定义afxfxfafaxaxlim3lim2)() 1 (同理 x=b有左连续 整理课件例：证明y=sin x在（- ）内处处连续 ,证明：任取x sin x在x 有定义 00) , (0sinsinlim0 xxxx处连续在0)(xxf又 的

13、任意性0 x）内处处连续，）在（xf例：证明有理整函数 内处处连续在）（),(.110nnnnaxaxaxp证明：任取 ),(0 x有意义在0)(xxpnnnnnaaxaxP.)(10000)()(lim00 xpxpnnxx处连续在0)(xxpn例：讨论下列函数在指定点处的连续性 （1）f（x） 22) 1(1xx00 xx证明： 1)0(1)(lim)3(1)1(lim11lim)(lim)2(110)0()1 (0202002fxfxxxffxxxxx连续 整理课件（2）f（x）= 0 xxx证明：f（x）=0101xx0 x无意义为间断函数二、间断点的判定以及分类 1定义： 对x 函数

14、的三个连续条件中至少有一个不满足，则x 为函数的间断点。 002分类： 例：（1） f（x）= ；x=0 010001xxx为间断点左右极限存在但不相等0 x余间断点除第一类间断点外的其第二类间断点点左右极限都存在的间断第一类间断点（2）f（x）= ; x = 0 0102xxxx左 右 存在但不相等0lim0 x1lim0 x整理课件x=0为第一类间断点（跳跃间断点） （3）f（x）= x=0 x1无意义)0(f又 xx1lim0第二类： 振荡间断点无穷间断点（4）f（x）= tan x x = 2x tan x 2第二类的无穷间断点2 x（5）f（x）=sin 01xxx 时 极限不存在

15、函数无限接近2个常数 0据其特性称为振荡间断点 （6）f（x）= x = 1 1211xxxi) f（1）= 21ii) x 1lim)(11xxfxiii）f（1）= 1lim211xx极限值与函数值不等为间断函数（第一类）整理课件如果改变 f（x）= 则为连续函数 1lim1xx这种间断点称为可去间断点（只需重新定义函数值）极限存在的间断点 ，能重新定义改变函数值使其等于极限值 (7) f（x）= 121sinxxxxf（1）=2 1sinsinlim1xxxf（x） )(lim1xfx为间断函数重新定义f（x）= 1sinlim1）（xfx为可去间断点1x100sin0sin(8) 定义

16、，使得 在 处 xxxf1sin)(0 x0)(lim0 xfx（无穷小有界函数=无穷小 ）练习： 整理课件判定下列函数在指定间断点处的类型 （1） ， 第一类（可去） 11)(2xxxf1x（2） ， 第二类（无穷） 312)(xxf3x（3） ，21)(2xxxxf1x31)(xf（4） , 第一类（跳跃） 第一类（可去）xxxf|)(0 x10一、运算 1、四则运算： 间断连续=间断 连续连续=连续 间断间断=不一定间断 2、复合运算： ， 两连续函数的复合函数连续)(ufy )(xu（用于求极限）例：（1） exxxxxxcos)1 (limcos)1cos(lim1010整理课件（2

17、） 1ln)1ln(lim)1ln(lim100exxxxxx（3） xexx1lim011ln1lim1ln011tOtxttttte令 即 时， 0 x1xex二、初等函数的连续性 1、结论初等函数在其定义区间连续 2、应用：（1）求极限)()(lim00 xfxfxx（前提为 时） Dx例：（i） 21)1 (limcos2xxex（ii） 2111sincoslim0 xxxx（2）求连续区间 为初等函数，求其定义区间 为分段函数，要讨论分段点 整理课件例：（i） 的连续区间， 6566)(223xxxxxxf并求 ， ，和 )(lim0 xfx)(lim1xfx)(lim6xfx解：

18、连续区间D= ), 1 (1 , 66,1)0()(lim0fxfx（ 在D内） 0 x2) 1)(6() 1)(1)(6()(lim1xxxxxxxfx51)(lim6xxfx 重新定义 ， 可变为连续函数 2) 1 (f5)6(f（ii） 0001sinsin)(xxxxxf解：当 时，D= ), 0()0 ,(f（0）=0 0)(lim0 xfx0 x1)2)整理课件0)(lim0 xfx函数为连续函数。 11 一、性质 1. 最大最小值 2. 有界性 3. 介值定理 在 上连续， ， )(xfba,)(afA )(bfB 对介于A，B之间的任一个数C， 至少存在一点 ，使得： ba,baf,)(二、点定理 1、函数 ，方程 )(xf0)(xf对方程而言， 为方程根 .21,xx3)整理课件对函数而言， 为函数的零点。 21,xx2、条件：（1） 在 上连续 )(xfba,（2） 异号（ 0 ） )(),(bfaf)()(bfaf至少 一点 ，使得 ，0)(f（即 是函数的零点） 3、应用证明方程根的问题 例1：求证方程 至少有一