实验应用FFT对信号进行频谱分析

1、20090401310074 海南大学实验二应用FFT对信号进行频谱分析一、实验目的1、 进一步加深DFT算法原理和基本性质的理解 (因为FFT只是DFT的一种快速算法，所 以FFT的运算结果必然满足 DFT的基本性质)。文档收集自网络，仅用于个人学习2、学习用FFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFTO文档收集自网络，仅用于个人学习二、实验原理i. 模拟信号频率和采样得到的数字信号频率的关系：T / fsii. DTFT与对应的理想采样信号的频谱之间的对应关系为：Xa(j ) X(ejw) T即DTFT与 FT的关系为：j12X

2、(ej )Xaj(r)I rIl就是说，只要知道了采样序列的频谱，就可以得到相应的连续信号的频谱。(满足耐奎斯特采样定理)iii. DFT是对离散时间序列的频域采样，是对ZT上单位圆上的均匀采样，或者是DTFT上0,2 的等间距采样。当满足频域的采样定理时，便可以由频域的采样值恢复ZT或者是DTFT所以能用DFT对信号进行频谱分析。当采样的点数足够时，便能用它的包络作为模拟信号的近似谱。近似的过程中，可能会有混叠现象，泄露现象和栅栏效 应这三种误差。 文档收集自网络，仅用于个人学习iv. 离散傅立叶变换 DFT:N 1X(k)x(n)WNnk,k 0,1,2., N 1n 01 N 1x(n)

3、 IDFT X(k) X(k)WNnk,n 0,1,2., N 1N n 0FFT来实现IFFT.文档反变换与正变换的区别在于 WN变为WNI,并多了一个1 N的运算。因为WN和WNI对于推导按时间抽取的快速傅立叶变换算法并无实质性区别，因此借助收集自网络，仅用于个人学习三、实验内容和结果:1.高斯序列的时域和频域特性:咼斯序列的时域表达式：Xa(n)(n P)2e,0 n 150,其它8 9i.固定参数p=8,改变参数q的值，记录时域和频域的特性如下图。时域频域P=S q=20.6I QY 悄wo51010p=8 q=S结论：从时域图中可以看到,q参数反应的是高斯序列能量的集中程度:q越小,

4、能量越集中，序列偏离中心衰减得越快，外观上更陡峭。同时，随着q的增大，时域序列总的能量是在增大的。频域上，对应的，随着q的增加，由于时域序列偏离中心的衰减的缓慢，则高频分量也就逐渐减，带宽变小：时域上总的能量增大，故也可以看到低频成分的幅度都增大。文档收集自网络，仅用于个人学习ii.固定参数q,改变参数p,记录时域和频域的特性如下图2.旷衣.-8 II-C结论：P是高斯序列的对称中心,P的变化在时域表现为序列位置的变化。由于选取的矩形窗函数一定，P值过大时，会带来高斯序列的截断。并且随着P的增大，截断的越来越多。对应地，看频域上的变化：截断的越多，高频的成分也在增多，以至发生 谱间干扰，泄露现

5、象变得严重。 从图中可以看到，在p=13时，已经有混叠存在。当p=14时，混叠进一步加大，泄露变得更明显。文档收集自网络，仅用于个人学习2. 衰减正弦序列的时域和幅频特性：e nsin(2 fn),0 n 15Xb(n)宀0,其它改变参数f，记录时域和幅频特性如下图3.时域 r.C6215%虛 q、町、咗匚 吃、咗強I?.1010lk结论：随着f的增大，时域上可以看到，序列的变化明显快多了。从幅度谱上看，序列的高频分量逐渐增多，低频分量逐渐减小，以至于发生严重的频谱混叠。当f增大到一定的程度，从图中可以看到，f=0.4375和f=0.5625时的幅度谱是非常相似的，此时已经很难看出其幅度谱的区

6、别。文档收集自网络，仅用于个人学习3. 三角序列的时域表达式和对应的时域和幅频特性如图4 :n 1,0 n 3xc( n) 8 n,4 n 70,其它n图4结论：随着fft取点数的增多，能够看到的幅度谱的频率分量变得丰富，得到的是高密度更高的谱，也就是减轻了栅栏效应。但是这种截断后补零的方法不能提高物理频 率的分辨率。因为截断已经使频谱变模糊，补零后使采样间隔减小，但得到的频谱采样 的包络任然是已经变模糊的频谱，所以频谱的分辨率没有提高。因此，要提到频率的分 辨率，就必须对原始信号截取的长度加长，也就是增加采样时间T0的长度。文档收集自网络，仅用于个人学习另外,可以看到，三角序列的频谱几乎集中

7、在低频区，旁瓣的幅度非常小。4. 反三角序列的时域表达式和对应的时域和频域特性如图5 :4 n,0 n 3xd( n)n 3,4 n 70,其它n图5结论：同样，随着fft取点数的增多，能够看到的幅度谱的频率分量变得丰富，得到的是高密度更高的谱，减轻了栅栏效应。文档收集自网络，仅用于个人学习另外，可以看到，求 8点的fft时，三角序列和反三角序列的幅频特性是一样的。原因在于：反三角 序列Xd (n)可以看成是三角序 列Xj n)的4点圆周移位，即Xd( n) Xc(n 4)nRn( n),根据 DFT 的圆周移位性质，则有 Xd(k) WNlkXC(k).由 于 N=8,所以 WNk= (-1

8、)k ,即 Xd(k) ( 1)kXc(k),故Xd (k) X,k) .文档收集自 网络，仅用于个人学习不过，当补零之后，能够看到的频率成分增多，可以发现，反三角序列的频谱较宽，旁瓣的分量很多。四、调用fft函数计算ifft的函数原理：1 N 1x(n) ifftX(k) X(k)WNnkN k o变换上式有:于是，可以调用fft模块，即*nk *X (k)WN x(n)1fft(X (k)9 Z 9相应的程序清单如下：fun Cti Onx=myifft(y)N=Ie ngth(y);y1=conj(y);x1=fft(y1);X=COnj(x1)/N;验证： x=1 2 3 5 7X =

9、12357 y=fft(x,6)y =ColUmnS 1 through 418.0000-8.0000+ 1.7321i0 - 5.1962i4.0000文档收集自网络，仅用于个人学习ColUmnS 5 through 60 + 5.1962i -8.0000 - 1.7321i a=myifft(y)a =123570可以看到，a只是在X的末尾补了一个0 ,原因在于在y是X的6点fft,即在调用fft 的过程中有给X的末尾补0的过程。所以，在回调的过程中，补充的 0还在。文档收集自网络, 仅用于个人学习五、思考题1、在N=8时，xc(n)和xd(n)的DFT幅频特性会相同吗？为什么？ N=

10、16呢?在N=8时，Xc(n)和Xd(n)的幅频特性相同。N=16时不同。原因如下:当N=8时,c(n)n 1,0 n8 n,40,其它n37,即 xc(n)1,2,3,4,4,3,2,1，Xd(n)4 n,0n 3,40,其它n37,即Xd(n) = 4,3,2,1,1,2,3,4，谱分析时，X(k) FFTx(n)N 1x(n)Wr ,其中 WNn 0.2J-N。当 N=8 时，Wne此时X(k)7x(n)wNknn 07x(n)e0j kn4,代入，有:Xc(k)j 0k1e 42ej 1k4 +3ej 2k4 +4ej 3kj 4k4 +4e 4j 5k3e 4j 6k2e 4j 7k

11、1e 4 (1)Xd(k)j 0k4e 43ej 1k4 +2ej 2k4 +1ej 3kj 4k4 +1e 4j 5k2e 4j 6k3e 44ej 7k4 (2)调整顺序，有j 4kXd(k) 1e 42ej 5k4j 6k3e 4j 7kj 0kj-1kj 2k4e 4 +4e 4 3e 4 +2e 4 +1 ej 3k4(3)(1)式和(3)式相对照，且e j2k1 ,故有X(k) =(-1) kX(k),即有 X/k)X d(k)。故N=8时，x2(n)和x3(n)的幅频特性相同。或者像在实验结论中运用DFT圆周移位的性质来说明，不再重复。文档收集自网络，仅用于个人学习而当N=16时

12、，j -8。此时X(k)15x( n)wNLnn 0n7j knx(n)e 8 ,易知0X2(k)X3(k)。即 N=16时,X c(k)和X d(k)的幅频特性不同。12 9X c(ej )和 X d(ej )2、实验中的信号序列 c(n)和xd(n),在单位圆上的Z变换频谱会相同吗？哪一个的低频分量多，说明原因?X c(ej )和X d(ej )是不同的，三角序列 X c(ej )的低频分量更多。可以这样解释:X(ej ) DTFT x(n)=x(n)e j n ,并且频谱的分布反映时域变化的快慢程度。n是说，时域信号变化的越剧烈，频域的高频分量便较多，对应的，时域的信号较平缓，则频 域的

13、低频分量较多。 可以看到，在c(n)和Xd (n)的非零域内，xc(n)和Xd (n)的变换程度是相当的，变化量都是1 (增加1或者减小1)。不过在零域和非零域的分界处，c(n)的变化量是1，而xd(n)的变化量是4，要大得多，也就是变化的剧烈的多， 就不奇怪xd(n)的高频 分量要多了。 文档收集自网络，仅用于个人学习3、对于一个有限长序列进行离散傅里叶变换( DFT时，等价于将该序列周期延拓后进行傅里叶级数(DFS展开。因为 DFS也只是取一个周期来运算，所以 FFT在一定的条件 下也可以用以分析周期信号序列。如果实正信号sin(2 fn), f 0.1 ,用16点的FFT来做DFS运算，

14、得到的频谱是信号的真实谱吗？文档收集自网络，仅用于个人学习不是的，该实正信号的周期N=10,只有当进行 N的整数倍的FFT时，才能得到真实的频谱。六、实验总结数字低频是O ,数字高频是当满足耐奎斯特采样定理：fs 2fc时，C 2 fc/fs,当且仅当fs 2fc时，C .也就是说，数字频率中的高频对的是模拟频率1/ 2fs.当在DTFT的X(ej)的0,2内采样N个点时，第N/2条谱线就代表着数1字最高频率 ，也即代表着模拟频率1/2fs。一般的小于fs的频率f，可以用S 2 Sfsf kF0 k S来计算对应的谱线位置。所以，看DFT幅频特性的第N/2条谱线附近的幅值N就可以知道，频谱间的

15、干扰和混叠程度。同时，若采样频率1/ 2fs越高，频谱能分析的范围自然就越广。 文档收集自网络，仅用于个人学习对信号进行谱分析的重要问题是频谱物理分辨率F0和误差分析。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是fs/ N ( N是实际采样点数)。因此，可以在保持采样频率的前提下，增加采样的点数能增加分辨率。误差主要来自于用 FFT作频谱分析时，抽样的过程；从无限的离散序列中截取有限个序列的过程；频谱是离散的等，而模拟信号(周期信号除外)的频谱是连续谱，只有当N较大时离散谱的包络才能逼近于连续 谱。所以，还是要求 N要适当选择大一些。不过，N的增大，最直接带来的，就

16、是运算量的增大。文档收集自网络，仅用于个人学习需要注意的是，在有效的采样序列后补零增大 N值不能提高物理分辨率，此种方法只是“搬移了栅栏的位置” ，使原来看不到的频率不再被遮挡了。 只有实际记录的数据长度越大， 频率的分辨率能力才越强。 文档收集自网络，仅用于个人学习对模拟信号进行谱分析时， 首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。 如果是模拟周 期信号， 也应该选取整数倍周期的长度， 经过采样后形成周期序列， 按照周期序列的谱分析 进行。 文档收集自网络，仅用于个人学习附录，部分 matlab 程度代码n=0:15; %q=8,p=8,13,14p=8;q=8;x=exp(-1*( n-p).2q);close all;subplot(3,2,1);stem(n,x);xlabel(n);title(时域 );subplot(3,2,2);stem(n,abs(fft(x);title(频域 p=8 q=8);xlabel(k);文档收集自网络，仅用于个人学习p=13;q=8;x=exp(-1