第六讲量化逻辑NXPowerLite

1、第六章 量化逻辑 第一节第一节 简单命题的逻辑结构简单命题的逻辑结构2022-3-72引言：命题逻辑和量化逻辑命题逻辑：命题逻辑：不分析简单命题内部结构，讨论关于联结词的推理理论。例如如果某甲作案，那么他有作案动机。某甲没有作案动机。所以，某甲没有作案。量化逻辑：量化逻辑：分析简单命题的内部结构，讨论关于量词的推理理论。例如所有的作案者都有作案动机。某甲没有作案动机。所以，某甲不是作案者。 2022-3-73命题逻辑和传统直言命题逻辑研究推理形式的有效性时，把命题当做不可分的逻辑单位有研究推理形式的有效性时，把命题当做不可分的逻辑单位有时是不够的。时是不够的。文学家的著作文学家的著作都是都是有

2、价值的有价值的；鲁迅鲁迅是是文学家文学家；所以，所以，鲁迅的著作鲁迅的著作是是有价值的有价值的。它的推理形式为：它的推理形式为： P q 2022-3-741.1 个体词和谓词量化逻辑把命题分析为个体词、谓词、量词以及联结词。例如：（1）我是学生。（2）王五不是李四的朋友。表示个体的语词叫个体词。表示个体的语词叫个体词。如：“我”、“王五” 、“李四”。谓词用来说明个体词的性质或谓词用来说明个体词的性质或关系关系。例（1）中“是学生”是一元谓词，例（2）“是的朋友”是二元谓词。类似的，还有三元谓词，如“在和之间”以及n元谓词。2022-3-75 个体常元和个体变元（1）所有人都是会死的。）所有

3、人都是会死的。（2）“对任一对任一x而言，都有而言，都有x+1=1+x”。（3）“所有的物体都是运动的所有的物体都是运动的”。在这三个命题中，在这三个命题中，“人人”、“x”、“物体物体”都是一都是一个变项。个变项。“人人”，它泛指人类当中的任何一个个体，它泛指人类当中的任何一个个体，“x”则泛指任何一个实数，而则泛指任何一个实数，而“物体物体”则泛指大自则泛指大自然中万事万物的任何一样东西，我们把它们都称作然中万事万物的任何一样东西，我们把它们都称作“个体变项个体变项”，用，用x、y、z来表示，并把个体变来表示，并把个体变项的取值范围称作个体域（也称为论域）。项的取值范围称作个体域（也称为论

4、域）。2022-3-76个体词和谓词的符号化个体常元：个体常元：表示一定范围内确定的个体，记为小写的：a,b,c,a,b,c,；个体变元：个体变元：表示一定范围内不确定的个体，记为小写的x,y,z,x,y,z,；个体域也称论域：个体域也称论域：个体变元的变化范围，记为：D D。谓词符号：谓词符号：表示性质或关系的符号，记为大写的：P P、Q Q、R R一元谓词公式，一元谓词公式，记为：Px，Qx，Rx，；二元谓词公式，二元谓词公式，记为：Pxy，Qxy，Rxy，；三元谓词公式，三元谓词公式，记为：Pxyz，Qxyz，Rxyz，；n元谓词公式，元谓词公式，记为：Px1x2xn，Q x1x2xn，

5、。2022-3-77个体词和谓词的符号化用用a a表示表示“张三”，用，用D D表示一元谓词表示一元谓词“会死”。那么命题：那么命题：“张三会死”可表示为：可表示为：DaDa。如是如是FxyFxy表示二元谓词表示二元谓词“是的朋友”，那么：那么：FxyFxy表示表示“x是y的朋友”。 FxyFxy表示表示“x不是y的朋友”。2022-3-78 单称命题的形式化（1） 张珊是中国人。张珊是中国人。（2） 地球是行星。地球是行星。（3） 中国是发展中国家。中国是发展中国家。（4）小张和小李是同乡。）小张和小李是同乡。（5）3大于大于2。（6）武汉位于上海与重庆之）武汉位于上海与重庆之间。间。 （1

6、*）Pa （2*）Qb （3*）Rc （4*） F（a，b） （5*） B（c，d）（6*） T（e，f，g）2022-3-79 谓词公式（谓词模式）“张珊是学生，张珊是学生，”“李司是学生，李司是学生，”“王武是学生，王武是学生，”这几个命题有据有相同的谓词这几个命题有据有相同的谓词“是学生是学生”，尽，尽管它们的主词不同，但它们是同类型的命题，即都管它们的主词不同，但它们是同类型的命题，即都描述的是个体具有描述的是个体具有“学生学生”的性质。用的性质。用“x”代表任代表任一个体词，一个体词，“S（）”表示表示“是学生是学生”，那么，那么这几个命题具有共同的谓词模式这几个命题具有共同的谓词模

7、式“S（x）”。2022-3-7101.2 谓词公式和命题函项谓词模式谓词模式“H（x）”表示的是：表示的是： x是行星。是行星。“地球是行星地球是行星”。“太阳是行星太阳是行星”。谓词模式谓词模式“H（x）”就相当于一个函数式，公式的就相当于一个函数式，公式的值随变元的值而确定。值随变元的值而确定。2022-3-711谓词公式和单称命题有何关系？从认识的角度看，谓词公式即命题函项是从具体的从认识的角度看，谓词公式即命题函项是从具体的单称命题中抽象出来的。单称命题中抽象出来的。从逻辑的角度看，单称命题是个体常元代换谓词公从逻辑的角度看，单称命题是个体常元代换谓词公式中的个体变元得到的，单称命题

8、是谓词公式的式中的个体变元得到的，单称命题是谓词公式的代代换实例换实例。例如命题。例如命题 “地球是行星地球是行星”， “太阳是行星太阳是行星”， “月亮是行星月亮是行星”，“金星是行星金星是行星”，等都是谓词公式等都是谓词公式“H（x）”的代换实例，简称为谓的代换实例，简称为谓词公式的词公式的例示例示。2022-3-712什么是复合谓词公式？例如：例如： H（x） H（x） S（x） （H（x） S（x） T（x）复合谓词公式的例示是复合的单称命题。复合谓词公式的例示是复合的单称命题。例如：例如：“Px Qx”的例示则是的例示则是“PaQa”： “如果张珊是年满如果张珊是年满18岁的中国人，

9、那么张珊有选岁的中国人，那么张珊有选举权举权”。2022-3-7131.3 量化命题什么是量词？什么是量词？ 全称量词全称量词：指称论域D中个体的全部。 例如：所有，任何，每一个，。存在量词存在量词：指称论域D中个体至少有一个存在。 例如：存在，有，有些，。符号化的量词：符号化的量词： 全称量词：所有x，任何x，均记为：x。 存在量词：有x，存在x，均记为：x。全称命题：全称命题：含有全称量词的命题。特称特称(存在存在)命题：命题：含有存在量词的命题。表示论域表示论域D中个体数量的语词中个体数量的语词2022-3-714全称命题的形式化（1）凡事物都是发展的。）凡事物都是发展的。 用用x x表

10、示个体词，用表示个体词，用D D表示表示“是发展的是发展的”， 形式化为：形式化为： xDxxDx。（2）凡是自然数都大于零。）凡是自然数都大于零。 用用N N表示表示“是自然数是自然数”，用，用E E表示表示“大于零大于零”，形式化为：形式化为： x x（NxNxExEx）（3）所有大学生都不是儿童。）所有大学生都不是儿童。 用用S S表示表示“是大学生是大学生”，用，用C C表示表示“是儿童是儿童”， 形式化为：形式化为： x(Sxx(SxCx)Cx)（4）有的大学生是儿童：）有的大学生是儿童： x(Sx(SC C) )（5）有人不是中国人：）有人不是中国人： x x（H H C C）20

11、22-3-715全称命题的形式化含有专有名词和二元谓词的命题的形式含有专有名词和二元谓词的命题的形式 （6）小李没有同任何人吵架。）小李没有同任何人吵架。 A A：小李；：小李；：是人；是人； D D：同同吵架。吵架。 可译为：可译为： x x（xx axax）。）。 （7）有些大一学生认识小李。）有些大一学生认识小李。 可译为：可译为： x(SxRxa)x(SxRxa)。 2022-3-716限制论域和不限论域 在对以上命题形式化时，没有限制论域，即论域是全域。我们也可在一定的范围内讨论问题，因些个体变元的变域往往被限制在某个特定的范围内。（8）有的学生（）对（）所有试题（）不限制论域：不限

12、制论域： x x（xx y(TyRxy)y(TyRxy)）限制论域：限制论域：x x的变域的变域:X=:X=学生；学生； y y的变域的变域:Y=:Y=试题试题 则形式为则形式为: : x x yRxyyRxy2022-3-717确定个体域的作用1、量词是指称个体域中个体（事物）数量的语词，其中的个体变元x(即 x和 x中的x）是在哪个个体域中取值，以哪个个体域为变域，必须明确。2、把个体域限制为特定的集合后，就缩小了量词的量化范围，从而可以采用不同的方式来表示同一命题的形式。3、选取的个体域D应当包含每个词项的外延。2022-3-718量化命题和谓词公式 量化命题是通过对一个谓词公式中的个体

13、符号进量化命题是通过对一个谓词公式中的个体符号进行量化概括得到的。行量化概括得到的。 例如：例如： Px ( x) Px； Px ( x) Px。 Px Qx ( x) (Px Qx) 第六章 量化逻辑1.4 量化逻辑的公式量化逻辑的公式2022-3-7201 量化公式如何形成？包括初始符号、形成规则两个部分。包括初始符号、形成规则两个部分。（1）初始符号。）初始符号。个体变元符号：x,y,z,；x1,x2,；个体常项符号：a,b,c谓词符号：P,Q, R，命题联结词：,， ；量词：,；辅助符号：括号：（，）。2022-3-721量化公式的形成规则项项的形成规则：的形成规则：单个的个体变元（x

14、，y，z，）和个体常项（a，b，c，）称为项。公式公式的形成规则：的形成规则：1、如果R是n元谓词（n1）,t1tn是n个项，则Rt1tn是公式（原子谓词公式）；2、如果A是公式，则（A）是公式；3、如果A和B是公式，则（AB）、（AB）、（AB）、 （A B） 是公式；2022-3-722量化公式的形成规则（续）4、如果A是公式，x是个体变元，则xA和xA是公式。5、只有以上的才是公式。n一个符号串是谓词公式（合式公式） ，当且仅当它符合以上形成规则。n例如n（ x），（），（ x）P，( x)P(x)2022-3-7232 自由变元和约束变元量词的辖域：在量化公式中紧随在量词后出现的量词的

15、辖域：在量化公式中紧随在量词后出现的最短公式叫做该量词的辖域。如下两个公式最短公式叫做该量词的辖域。如下两个公式（1） x (Px Ox)（2） x Px Ox量词量词“ x”在公式（在公式（1）中的辖域是（）中的辖域是（Px Ox），），在公式（在公式（2）中则是）中则是Px。例如例如(3)xy（xyxz（xzyz）2022-3-724约束出现和自由自由如果一个个体符号既作为量词组成部分出现并且还在量词辖域内出现，我们就称该个体符号是约束出现约束出现的，否则称其为自由出现自由出现的个体符号。 例如：在 xxx中，变元x出现了三次，前两次出现是在量词x的辖域中，因而是约束出现的，第三次是自由出

16、现的。2022-3-725开公式和闭公式我们把所有个体符号都约束出现，即不包含自由变我们把所有个体符号都约束出现，即不包含自由变元的公式叫做闭公式。而包含有自由变元的公式就元的公式叫做闭公式。而包含有自由变元的公式就称做开公式。称做开公式。例如例如（1） x (Px Ox)（2） x Px Ox注：开公式不是命题公式。注：开公式不是命题公式。2022-3-726 1.5 量化命题的真假 谓词公式是命题函项，它无所谓真假；而量化命谓词公式是命题函项，它无所谓真假；而量化命题作为是命题，它有确定的真假。题作为是命题，它有确定的真假。 一个全称量化命题一个全称量化命题 x x 是真的，当且仅当，命是

17、真的，当且仅当，命题函项题函项“ x”的所有例示都真；如果的所有例示都真；如果“ x”的的例示有一个假，例示有一个假， x x 就是假的。就是假的。 例如，把个体域解释为例如，把个体域解释为“所有金属的集合所有金属的集合”，把，把“ x”为为“x是导体是导体”。在这个解释下，。在这个解释下，“ x”的所有例示为真。的所有例示为真。2022-3-727 一个存在量化命题一个存在量化命题 x x 是真的，当且仅当，命是真的，当且仅当，命题函项题函项“ x”的例示至少有一个真；如果的例示至少有一个真；如果“ x”的所有例示都假，的所有例示都假， x x 就是假的。就是假的。 如果把个体域解释为如果把

18、个体域解释为“所有金属的集合所有金属的集合”，把，把“ x”解释为解释为“x是液体是液体”，用，用“水银水银” 代换代换“ x”中的中的“x”，得到的就是真命题，得到的就是真命题“水银是水银是液体液体”，即，即“ x”的例示至少有一个真。的例示至少有一个真。 如果把如果把“ x”解释为解释为“x是气体是气体”，由于不存在，由于不存在是气体的金属，因此用任何个体代换是气体的金属，因此用任何个体代换“x”都只能都只能得到假命题。得到假命题。2022-3-728全称量词和特称量词的相互定义 一个全称命题是假的，当且仅当其命题函项的例一个全称命题是假的，当且仅当其命题函项的例示至少有一个假；而一个存在

19、命题是假的，当且示至少有一个假；而一个存在命题是假的，当且仅当其命题函项的所有例示都假。仅当其命题函项的所有例示都假。 ( x) x ( x)x ( x) x ( x) x ( x) x ( x)x ( x) x ( x) x2022-3-729 对量化命题公式的解释不同于复合命题。解释复对量化命题公式的解释不同于复合命题。解释复合命题公式是通过直接对原子公式赋值进行。而合命题公式是通过直接对原子公式赋值进行。而对量化命题公式进行解释首先要设定个体域。个对量化命题公式进行解释首先要设定个体域。个体域可以有一个、两个、体域可以有一个、两个、n个以至无限多个个体。个以至无限多个个体。个体域还可以是

20、空的，即没有个体。只有相对个个体域还可以是空的，即没有个体。只有相对个体域才能分析量化命题的真假。体域才能分析量化命题的真假。 思考题思考题：所有的火星人都是四条腿的。：所有的火星人都是四条腿的。2022-3-730 我们把对命题公式的一个解释称作该命题公式的我们把对命题公式的一个解释称作该命题公式的一个模型。一个命题公式是重言式，当且仅当它一个模型。一个命题公式是重言式，当且仅当它在所有模型上都真；如果一个命题公式只在某些在所有模型上都真；如果一个命题公式只在某些模型上真，那么它是协调式；如果一个命题公式模型上真，那么它是协调式；如果一个命题公式我们无法建立使它为真的模型，那么它是矛盾式我们

21、无法建立使它为真的模型，那么它是矛盾式，即在任何情况下都假的命题公式。，即在任何情况下都假的命题公式。 例如，例如，“( x) x”和和“( x) x”都是协调式。都是协调式。 思考题思考题：有哪些公式是重言式？：有哪些公式是重言式？2022-3-731一阶语言L 的语义解释语义解释也称为模型，记为语义解释也称为模型，记为，包括以下内容：包括以下内容： (1)一个个体变元的取值范围非空集合D(论域、个体域) (2)对每个个体常项a，指定D中一个确定的个体a； (3)对每个n元谓词符号R，指定D上的一个n元关系R；在一个解释（模型）中，每个闭公式有确定的真值。在一个解释（模型）中，每个闭公式有确

22、定的真值。例如：D=自然数，个体常项a解释为4（a a=4）；一元谓词P解释为 “是偶数（P P）”；二元谓词G解释为“”（G G=）；则： Pa的解释是“4是偶数”（真命题）； xPx的解释是“所有自然数是偶数”（假命题）； xyGyx的解释是“对所有自然数总存在大于它的自然数”(真命题)。2022-3-732指派D=自然数；(x)=0，(y)=6，(z)=9；个体变元与它所指称的对象通过指派建立了确定的联系。理论上，同时给每一个变元（无穷多个）各指派一个个体，即： (v)=d,dD。n一个模型上的指派有无穷多个。一个模型上的指派有无穷多个。n原子公式的值可以根据模型和指派确定。原子公式的值

23、可以根据模型和指派确定。给每个变元指定一个个体的过程称作指派，记为给每个变元指定一个个体的过程称作指派，记为2022-3-733与指派相关联的指派(v/d)设设是模型是模型上的指派，上的指派，v是变元，是变元，dD。所谓模型。所谓模型上与指派上与指派相关联的指派相关联的指派(v/d)是指如下定义的指是指如下定义的指派：派： 如果uv,则(v/d)(u)=(u)；如果u=v，则(v/d)(u)=d。 不管原指派中v的值是什么，新指派(v/d)总是把v指派成d，而其余变元的值都不变。显然，如果d=(v)，则(v/d)=，即自己也是与其自身相关联的指派。2022-3-734赋值 谓词逻辑的每个项和公

24、式在赋值下都有确定的值项的基本语义定义：项的基本语义定义： 设设=,是一个赋值，是一个赋值， t t是任意的项，是任意的项， t t在在下的值下的值(t)(t)是论域是论域D D中的个体，具体定义如下：中的个体，具体定义如下：(1)(1)如果如果t t是个体变元是个体变元v v，则，则(v)=(v)(v)=(v)；(2)(2)如果如果t t是个体常项是个体常项a a，则，则(a)=a(a)=a。模型模型和和上的一个指派上的一个指派可以确定一个赋值可以确定一个赋值，记为，记为=。2022-3-735公式的基本语义定义设设=,是一个赋值，是一个赋值，A是任意的公式，是任意的公式，A在在下的值记为下

25、的值记为(A)。（A）=T，或者，或者 （A）=F。具体定义如下：。具体定义如下：（1 1）如果）如果A A是原子公式是原子公式R(tR(t1 1t tn n) )，则，则(A)=T(A)=T当且仅当当且仅当（t t1 1）, ,，(t(tn n) )RR；（2 2）如果）如果A A是是 B B，则，则（A A）=T=T当且仅当当且仅当（B B）=F=F；（3 3）如果）如果A A是是BCBC，则，则（A A）=T=T当且仅当当且仅当（B B）=T=T且且（C C）=T=T；2022-3-736公式的基本语义定义（4 4）如果）如果A A是是BCBC，则，则(A)=T(A)=T当且仅当当且仅当

26、(B)=T(B)=T或或(C)=T(C)=T；（5 5）如果）如果A A是是BCBC，则，则(A)=T(A)=T当且仅当当且仅当(B)=F(B)=F或或(C)=T(C)=T；（6 6）如果）如果A A是是 vBvB，则，则(A)=T(A)=T当且仅当对任何当且仅当对任何dD,dD,都有都有(v/d)(B)=T(v/d)(B)=T；（7 7）如果）如果A A是是 vBvB，则，则(A)=T(A)=T当且仅当存在当且仅当存在dD,dD,使得使得(v/d)(B)=T(v/d)(B)=T。2022-3-737公式的基本语义定义基本语义解释的直观意义基本语义解释的直观意义第（1）条只不过是说原子公式R（

27、t1tn）为真，只要t1，tn所指对象具有D上的关系R。第（2）（5）条只不过说对联结词的解释与第二章中的解释相同。第（6）条不过是说 vB为真就是v的值取遍论域时B的值总为真。第（7）条也不过是说vB为真就是论域中至少有一个个体使B为真。2022-3-738公式赋值的实例 设一阶语言设一阶语言L L 包括二元谓词符号包括二元谓词符号G G，个体常项，个体常项a a和和b b，取模型，取模型，使得个体域，使得个体域D D是整数，是整数，G G是是“”（整数上的小于关系），（整数上的小于关系），a a=10=10，b b=11=11。=,其中其中为：为：(x)=2，(y)=13，(z)=8 8，

28、那么：那么：(Gab)=T(命题“1011”为真)；(Gay)=T T(命题“1013”为真)；(Gyx)=F F(命题“132”为假)。2022-3-739可满足性和协调性 可满足性可满足性 设设A A是公式，是公式， 是任意模型；如果存在赋值是任意模型；如果存在赋值，使得，使得（A A）=T=T，则称模型，则称模型满足满足A A，记为：，记为： =A=A，否则，称，否则，称模型模型 不满足不满足A A，记为：，记为： A A。协调性协调性 设设是公式集是公式集(=A(=A1 1，A A2 2，A An n)， 是任意模型；是任意模型；如果存在赋值如果存在赋值，使得，使得（）=T=T（即（即

29、（A A1 1）=T=T，（A A2 2）=T,=T,(A,(An n)=T)=T），则称在模型），则称在模型 中该公式集中该公式集是是协调的，否则，称协调的，否则，称在模型在模型 中是不协调的。中是不协调的。2022-3-740语义后承 设设 是任意模型，是任意模型，L L 是所有是所有 构成的模型类，构成的模型类，是公式是公式集（集（=A1，A2， An），），B是公式。如果模型是公式。如果模型 上任上任何赋值何赋值都满足：只要都满足：只要 =（即（即（）=T），就有），就有 =B（即（即（B）=T），则称（在模型类），则称（在模型类C 中）中）B是是的语义后的语义后承（承（逻辑蕴涵逻辑蕴

30、涵B，或，或与与B具有语义推出关系，具有语义推出关系，推出推出B是是有效的），记为有效的），记为 = L L B。如果在模型。如果在模型 上存在赋值上存在赋值，使，使得得 =，但，但 B，则称，则称B不是不是的语义后承（的语义后承（不能有效不能有效地推出地推出B，与与B没有语义推出关系），记为没有语义推出关系），记为 L L B。2022-3-741应用实例一在模型类在模型类L L中，讨论中，讨论 vAvA和和A A的真值之间的关系。的真值之间的关系。对于任意对于任意C C 和和上任意赋值上任意赋值，( vA)=TvA)=T，即任给，即任给dDdD，都有都有(v/d)(v/d)（A A）=T=

31、T，那么对，那么对d=(v),d=(v),当然有当然有=(v/d)=(v/d)，所以所以(A)=T(A)=T。就是说，对于任何赋值。就是说，对于任何赋值： 如果如果（ vAvA）=T=T，则，则(A)=T(A)=T。 因此，我们有如下语义推出关系：因此，我们有如下语义推出关系： _： v A =C C A。另外，如是另外，如是（A A）=T=T，则取，则取d=(v)d=(v)，当然有，当然有(v/d)(v/d)，所，所以存在以存在dDdD，使得，使得(v/d)(v/d)（A A）=T=T，因而，由公式的基本语，因而，由公式的基本语义关系定义知义关系定义知( vA)=TvA)=T，也就是说，对任

32、何赋值，也就是说，对任何赋值，如果，如果(A)=T(A)=T，则，则( vA)=TvA)=T。因此，我们又有如下语义推出关系：因此，我们又有如下语义推出关系： ：A=C C vA A。2022-3-742应用实例二 由前提由前提“（这架飞机上）所有乘客或者是中（这架飞机上）所有乘客或者是中国人或者是日本人国人或者是日本人”能否有效地推出结论能否有效地推出结论“（这（这架飞机上）所有乘客是中国人，或者，所有乘客架飞机上）所有乘客是中国人，或者，所有乘客是日本人是日本人”。 以（这架飞机上）乘客为论域以（这架飞机上）乘客为论域D D，以，以P P、Q Q分分别表示一元谓词别表示一元谓词“是中国人是

33、中国人”和和“是日本人是日本人”，则前提和结论的形式分别是：则前提和结论的形式分别是：A1： x（PxQx），），B： xPx xQx。2022-3-743应用实例二 取模型取模型，使得，使得D=d1,d2,d3,d4,d5,其中其中d1、d2、d3中中国人；国人；d4、d5日本人日本人,=是是 上的一个赋值，其上的一个赋值，其中中为：为：(x)=d ，dD； 任取任取dD,都有都有(x/d)(PxQx)=T, 所以所以,( x（PxQx)=T(即前提即前提“（这架飞机上）所有乘客或者是中国人或者（这架飞机上）所有乘客或者是中国人或者是日本人是日本人”为真为真)； 但是，存在但是，存在dD(例

34、如，d4),使得使得(x/d)(Px)=F,也存在也存在dD(例如, d1),使得使得(x/d) (Qx)=F，所以，所以，( xPx)=F，而，而且且( xQx)=F； 因此，因此，( xPx xQx)=F（即结论（即结论“(这架飞机上这架飞机上)所所乘客是中国人，或者，所有乘客是日本人乘客是中国人，或者，所有乘客是日本人”假），即：假），即： x（PxQx） L xPx xQx。第六章 量化逻辑第三节第三节 量化逻辑的自然推理系统量化逻辑的自然推理系统QNP2022-3-745谓词逻辑自然推理的一般步骤1、把给定的前提符号化（如果给定前提是自然语言的话）；2、用有关的规则消去量词；3、运用

35、命题逻辑自然推理的规则，求得不带量词的结论；4、用有关规则给结论添上量词。 2022-3-746全称量词的推理规则 所有动物都有死，所有动物都有死， 所有虎都是动物，所有虎都是动物， 所以，所有虎都有死。所以，所有虎都有死。（）（） （） 1（）（） （） 2（）（） 消去（）的全称量词（）（） 消去（）的全称量词（）（） （）、()假言三段论（）（） （） （）引入全称量词2022-3-747消去全称量词的推理规则 消去全称量词的推理规则也称全称例示规则（消去全称量词的推理规则也称全称例示规则（ _） 从 可推出(/)，其中(/）表示消去全称量词，并用个体词代替中的个体词的每一出现而得到的公

36、式。 对对 _的限制：自由变元带标记：的限制：自由变元带标记： 在推理时，如果引进的前提或假设中有自由变元，在推理时，如果引进的前提或假设中有自由变元，那么，须在该前提或假设的右边注上标记。注有标那么，须在该前提或假设的右边注上标记。注有标记的变元叫做记的变元叫做“带标记的变元带标记的变元”。2022-3-748引入全称量词的推理规则引入全称量词的推理规则也称全称概括规则（引入全称量词的推理规则也称全称概括规则（ +） 如果个体变元在公式中是不带标记的（即v不在前提和A依赖的假设中自由出现），那么可从推出。 对个体变元进行全称概括是有条件的：必须不带标记。下面推理是无效的：下面推理是无效的：

37、不加限制地使用+ 构造一个模型，使得D是自然数，谓词H解释为“小于3”。=，其中(x) =1。于是(Hx)=T（即前提“1小于3”是真的），而(xHx)=F，即结论的解释命题“所有自然数小于3”是假的。由此可见，对带有标记的个体变元不能进行全称概括。由此可见，对带有标记的个体变元不能进行全称概括。2022-3-749全称量词推理规则的应用 所有绝缘体所有绝缘体( (x)x)都不能导电（）。金属都不能导电（）。金属（）都导电，铝制品（）都是金属，（）都导电，铝制品（）都是金属，所以，铝制品不是绝缘体。所以，铝制品不是绝缘体。（） （） （） （） （） （） （） （），_2022-3-750（

38、） （），_（） （），_（） ，H（） ，(6)，(7)，_（） ，(5)，(8)，_（） ，(4)，(9)，_（） (7)，(10)，+ （） （） （）+2022-3-751存在量词的推理规则（）（） A1（）。（）。 (1), _从（）到（）不是有效的逻辑推理：构造一个模型 使得D是自然数，一元谓词F解释为“大于1”。=,其中，（x）=1。于是(xFx)=T,即（）的解释“有的自然数大于1”是真的，而(Fx)=F,即（）的解释“大于”是假的。因此，从不能推出。2022-3-752不确定个体断定了至少有一个具有性质的个体存在。但是，这一个体是不确定的，不能断定它就是某个具体的个体，因此，

39、可以用符号： ，；1，2，表示不确定个体不确定个体。F意指：“不确定个体有性质”。从而，可以从推出2022-3-753存在量词的推理规则消去存在量词的推理规则消去存在量词的推理规则 消去存在量词的推理规则也称为存在例示规则（消去存在量词的推理规则也称为存在例示规则（ _）从可推出（），称为新名，即在前的公式中没有出现过的不确定个体的名称，并且须带标记。引入存在量词的推理规则引入存在量词的推理规则 引入存在量词的推理规则规则也称为存在概括规则（引入存在量词的推理规则规则也称为存在概括规则（ +）从（t）可推出。其中，t可以是不确定个体的名称，也可以是个体常项或个体变元。2022-3-754关于存

40、在量词推理的应用 x(HxGx)， xHx xGx（） （） （） （） ，（），（）， _（） （），（）， _（） ，（，（3），（），（4），），_（） （），（）， +2022-3-755关于存在量词推理的应用所有哺乳动物（）是动物（），有的哺乳动物是水所有哺乳动物（）是动物（），有的哺乳动物是水生的（），所以，有的动物是水生的。生的（），所以，有的动物是水生的。（） （） （） （） （） ，（），_（） （），_（） （），_（） （4），（5），_（） （），_（） （），（），+（） （） （），+2022-3-756_规则的限制（1 1）不确定个体的名称必须是没有出现过的新名

41、）不确定个体的名称必须是没有出现过的新名（2 2）新名必须带标记。）新名必须带标记。 （） （） （） ，（），_ （） ，（），_ （） ,（3）,（4）_ （6） （） （），_这个形式推理中，违反了_的第一个限制，因而造成指称混乱，导致推理无效。2022-3-757_规则的限制第二个限制（新名必须带标记）的理由：第二个限制（新名必须带标记）的理由： 如果新名不带标记，那么对它也可进行全称概括：从“某个体有性质”推出“所有个体都有性质”，这当然是荒谬的。所以，在用-规则进行推导时，均带标记， 并且，依赖带标记公式的各公式，其中如有，亦须带标记。 一旦新名从公式中消失后，就应同时消去该新名的

42、标记。2022-3-758关于量词推理的应用所有中文系学生（）都喜欢（）任何所有中文系学生（）都喜欢（）任何艺术家（），没有中文系学生喜欢任何数学艺术家（），没有中文系学生喜欢任何数学家（），有中文系学生。所以，没有艺术家家（），有中文系学生。所以，没有艺术家是数学家是数学家（1）（） A1（2）（） A2（3） A3（4） ,(),_（5）（） ()，_2022-3-759（6）(zz) （）_（7）y（） ,(4),(5)，_（8）(zz) ,(4),(6)，_（9） ,(7),_（0）Ey ,(8),_（1）Ey ,(10),RP.（假言易位）（2）Ey （9），（11），HS（3）y（

43、Ey） （12），+2022-3-760量词的推理规则的进一步限制限制一：限制一：运用运用 - -和和 + +时，必须遵守个体变元的代时，必须遵守个体变元的代入规则。入规则。限制二：限制二：运用运用 _ _规则时，公式中可能有的自由个规则时，公式中可能有的自由个体变元均应记为新名的标记的下标。体变元均应记为新名的标记的下标。合理代换：合理代换：不改变原公式量词的约束关系的代换。不改变原公式量词的约束关系的代换。不合理代换（盲目代换）：不合理代换（盲目代换）：改变原公式量词的约改变原公式量词的约束关系的代换。束关系的代换。2022-3-761违反量词推理规则的应用举例下面是错误地运用下面是错误地

44、运用 _的推理：的推理：（）xyGxy A1（）yGyy （1）_（x/y） 构造一个模型 ，使得D是自然数，谓词G解释为“小于”。=。于是:（xyGxy）=T,即（1）的解释“没有最大的自然数”是真的，而（yGyy）=F，即(2)的解释“有小于自己的自然数”是假的。这个推理之所以无效，是由于对（1）_时进行了盲目的代换，x本来不受y的约束，但以y代换x后，代入y的却被y约束了。2022-3-762违反量词推理规则的应用举例下面是错误运用下面是错误运用 +的推理：的推理：在包括运算符“+”的一阶语言L中，进行如下推理：（1）（） A1（2）（） ，（1），_（3）（） （2），+构造一个模型，

45、使得D是实数，谓词解释成“”，那么（1）的解释是真的。（3）的解释是假的。原因是对（2）错误地运用了+，（2）中不受约束的，代换后被约束。2022-3-763关于量词推理的应用所有马（所有马（DxDx）是动物（）是动物（x x），因此，所有马头），因此，所有马头(Hxy)(Hxy)是动物头。是动物头。前提的形式是：前提的形式是： ( (xEx)xEx)。结论的形式是结论的形式是: : x(x( y(DyHxy)y(DyHxy) y(EyHxy)y(EyHxy)。(1) x(DxEx) A1(2) y(DyHxy） ，H(3) DHx ，x，(2)，_(4) DE (1)，_(5)ExHx ,x

46、,(4),_,_,+(6)y(EyHxy) ，(5)，+(7)y(DyHxy)y(EyHxy) (2)，(7)+(8)xy(DyHxy)y(EyHxy) (8)，+2022-3-764QNP系统的语形(语法)推出关系 谓词逻辑的自然推理系统谓词逻辑的自然推理系统QNPQNP是一个根据量词和是一个根据量词和联结词的推导规则，运用有前提的形式推演构建起联结词的推导规则，运用有前提的形式推演构建起来的形式系统。来的形式系统。关于量词的否定规律：关于量词的否定规律：Q1：xA x A；Q2：x A xA；Q3：xA x A；Q4：x A xA。2022-3-765QNP系统的语形(语法)推出关系Q1的

47、证明的证明先证：先证： xAx A：（1）xA(x) A1(x是A中自由变元) （2）xA(x) H （3） xA(X) (2)， _ （4） A() ，(2)，_ （5）A() (1)，_ （6）A()A() ，(3)，(4)，+ (7)xA(x) (2)，(5)，_(消去H)2022-3-766QNP系统的语形(语法)推出关系Q1的证明的证明再证：再证：x x A A xA:xA:(1) xA(x) A1(x是A的自由变元) (2) xA(x) H1 (3) A(x) x，H2 (4) xA(x) (3)，+ (5) A(x)xA(x) (3)，(4)，+(消去H2) (6)A（x） (1

48、)，(5)，M.T. (7)A(x) (6)，_ (8)xA(x) (7)，+ (9)xA(x)xA(x) (2)，(8)，+(10)xA(x) (2)，(9)，_(消去H1)2022-3-767QNP系统的语形(语法)推出关系设设A是任何公式，是任何公式，x在在A中不自由，我们有中不自由，我们有:Q5：A xAQ6： xAAQ7a： xA yA(x/y) (y不在不在A中出现中出现)Q7b： yA xA(y/x) (x不在不在A中出现中出现)Q8a： xA yA(x/y) (y不在不在A中出现中出现)Q8b： yA xA(y/x) (x不在不在A中出现中出现)2022-3-768QNP系统的

49、语形(语法)推出关系改名规则：改变量词所约束的变元的置换规则。 由于 xA yA(x/y), xA yA(x/y),因此，我们可以用等价置换规则把一个公式中出现的 xA置换为 yA(x/y),或者把 xA置换为 yA（x/y）。2022-3-769QNP系统的语形(语法)推出关系Q9： x yA y xA；Q10： x y y xA；Q11： x yA y xA；（1）xyA(x,y) A(x,y是A中自由变元）（2）yA(,y) ,(1), -（3）A(,y) ,(2), -（4）xA(x,y) (3),+（5）yxA(x,y) (4),+Q12： x(AB) xA xB ( x对对的分配律

50、的分配律)Q13： x(AB) xA xB ( x对对的分配律的分配律)2022-3-770QNP系统的语形(语法)推出关系Q13的证明的证明先证：先证： x(AB) xA xB(1) x(AB) A1 (2) (xAxB) H (3) A()B() ,(1), _ (4)xAxB (2),R.P.(De.M） (5) xAxB (4),R.P.(Q3) (6) xA (5),_(7) xB (5),_ (8) A() (6), _ (9) B() （7），_ (10) B() (3),(8),_ (11)B()B() (9),(10),+(12)xAxB (2),(11), _(消去H)20

51、22-3-771QNP系统的语形(语法)推出关系Q13的证明的证明再证再证: xA xB x(AB)(1) xAxB A1 (2)x(AB) H (3) x(AB) (2),R.P.(Q3) (4) x(AB) (3),R.P.(DeM.) (5) xAB (4),R.P.(Q12) (6) xA (5),_(7) xA (6),R.P.(Q3)(8) xB (5),_ (9) xB (8),R.P.(Q3) (10) xB (1),(7),_ (11) xBxB (9),(10),+(12)x(AB) (2),(11)，_2022-3-772QNP系统的语形(语法)推出关系Q14： x(AB) xA xBQ15： x(AB) xA xBQ14： x(AB) xA xBQ15： x(AB) xA xB只证只证Q14：（1）x(AB) A1 (2)xA H (3)AB (1), _ (4)A (2), _ (5)B (3),(4), _ (6)xB (5), +(7)xAxB (2),(6), + (消去H)2022-3-773QNP系统的语形(语法)推出关系Q16