抽象函数定义域的求法例题

1、抽象函数的定义域1、 已知f(x)的定义域，求复合函数fg X的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若 f (x)的定义域为xa,b，求出fg(x)中a ： g(x) ： b的解x的范围，即为 fg(x)的定义域。2、已知复合函数fg x的定义域，求f (x)的定义域方法是：若fg x的定义域为a,b，则由a ： x ： b确定g(x)的范围即为f(x)的定义域。3、已知复合函数 fg(x)的定义域，求fh(x)的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由fg x定义域求得f x的定义域，再

2、由f x的定义域求得f h x 的定义域。4、已知f (x)的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。例1、已知函数f(x)的定义域为-1, 1,求f(3x-5)的定义域.解：f(x)的定义域为 1-1,5 1, - 1 < 3x-5< 5 , 4 < x< 10 .33故函数f(3x-5)的定义域为 -,10 .113 3练习：若函数y = f(x)的定义域为 1,2，则f (log2x)的定义域为。卜21 J-解：依题意知： "log 2 x三2解之

3、，得：x.2三x42二f (log2 x)的定义域为x |4 '例2、已知函数f (x2 -2x - 2)的定义域为 1-0,31, 求函数f(x)的定义域.分析：若f l.g(x)的定义域为 m < x< n，则由m < x < n确定的g(x)的范围即为f (x)的定义 域这种情况下，f (x)的定义域即为复合函数 f lg(x) 1的内函数的值域。本题中令 u =x2 -2x 2 , 则 f (x2 -2x 2) = f (u),由于f(u)与f (x)是同一函数，因此 U的取值范围即为f (x)的定义域.解：由 0 < x < 3，得 K x

4、2 -2 x 2 <5 令 u =x2 -2x 2，则 f(x2 -2x 2) = f(u) , 1 < u < 5 故f(x)的定义域为1, 1.练习:已知函数= /+ 1)的定义域为0 <! <9，则$ = 了(©的定义域为。解：由J G仝，得丨八丨1所以'-,故填丨丄'1例3.函数' - 1 定义域是2須，则-的定义域是()0,- .A. ' B. ' ；IC. '':D. ''：解：先求一：-的定义域'J' b的定义域是-：'.'；'

5、; I ',即的定义域是_ 賈，再求11的定义域二；J '二 m 的定义域是®2,故应选a练习：已知函数 f(2 x)的定义域是-1 , 1,求f(log 2x)的定义域.1解/y=f(2 x)的定义域是-1 , 1 ，即-1 < x< 1, 2 < 2xw 2.1函数 y=f(log 2x)中 2 < log 2x< 2.即 log 2、2 < log 2x< log 24, 2 < x < 4.故函数f(log 2X)的定义域为2 , 4例4若f(x)的定义域为1-3,5 1,求(X)二f (-x) f (2x

6、 5)的定义域.解：由f(x)的定义域为1-3 , 5 1 ,则：(x)必有' 解得-4 < x < 0 .1-3 < 2x+5 < 5,所以函数 (x)的定义域为-4 ,0 1.心“ nj 兰 0)练习：已知函数 的定义域是-,求的定义域。分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。解：丁由已知，有0 <x + a <1(-aOmQ,即几工三1 + 口函数的定义域由(一业1 如3 宀确3V-<02：-：-匸 函数i :的定义域是.一 ''<1 2例5若函数f(x+1)的定义域为,2,求f(x)的定义域.解：

7、先求f(x)的定义域：由题意知一再求fh(x)的定义域：111< XW 2,则_v x+ 1< 3，即 f(x)的定义域为,3,2221 <x2< 3,解得2二f(x2)的定义域是x| 3 < x< T或T<x<3.例6、某单位用木料制作如图所示的框架 ，框架的下部是边长分别为 x、 y(单位：m)的矩形上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积 8cm2.问 x、y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省？分析：应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效范围。实际上的有效范围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况：

8、(1) 面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积；(2) 销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于0也不能大于题设中规定的值(有的题没有规定)；(3) 生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满足题设；(4 )路程问题中，要考虑路程的范围。本题中总面积为S三角形'S矩形1 2由于xy 0 ,于是 x2 : 8 ,4即x ： 4 . 2。又x 0 ,. x的取值范围5#解:2).1 2由题意得 xy+ x =8, . y=428-亍 8 x=(0<x<4x x 4#于是框架用料长度为l=2x+2y+2(3+ ：2)x+ 16 >4 6<

9、 2 .2x#当(3 + . 2 )x= 16 ,即x=8 4 2时等号成立2 x此时，x 2.343,y=2 一 2 2.828.故当x为2.343m,y为2.828m时，用料最省.变式训练：13. (2007 北京理，19)如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底上.记CD=2x,梯形面积为S.求面积S以x :求面积S的最大值.解(1)依题意，以AB的中点0为原点建立直角坐标系O-xy (如图)，则点C的横坐标为x,点C的纵坐标y满足方程2 2第莒-i(y > 0),r 4r解得 y=2#r2 X2 (0<x<r

10、).S= 丄(2x+2r) 2右2 _x22=2(x+r) . r2 -X2 ,其定义域为x|O<x<r.2222(2)记 f(x)=4(x+r) (r -x ),0<x<r,贝U f ' (x)=8(x+r)(r-2x).1 r令 f' (x)=0,得 x= r.因为当 0<x< 时，f' (x)>0;2 2r1当一<x<r时,f ' (x)<0，所以f ( r )是f(x)的最大值.22因此，当x= 1 r时，S也取得最大值，最大值为fW2.即梯形面积S的最大值为3、3 2r -26#巩固训练(各专题题目数量尽量一致，各题均附答案及解析)1.设函数/(方的定义域为【°，1,则(1)函数/(*)的定义域为1(2)函数“丘-2)的定义域为 _Z 刃2、 已知函数？=了电(疋+1)】的定义域为Q <X <3，则y =的定义域为13、 已知函数八了如疋十1)】的定义域为039 ,则y=f(3x-5)的定义域为_33W x< 2.114、设函数y=f(x)的定义域为】0, 1, q