排列与组合”教学案例区金兰

1、高三复习课“排列与组合”教学案例新兴县惠能中学区金兰案例背景：排列与组合是高中数学中，从内容到方法都是比较独特的一部分。其重点是 在熟练应用公式的基础上，运用两个基本原理，解决计数应用题。所以我们在复 习的过程中要注意运用分类讨论思想解决排列组合实际问题，突破“不重不漏” 这一难点。为了更好的落实新课改的要求，充分发挥学生学习的主动性，让学生 成为课堂的主人，教师作为学生学习的组织者一个非常重要的任务就是为学生提 供合作交流的空间与时间。在教学中，个别学习、同桌交流、小组合作、组际交 流、全班交流等都是新课程中经常采用的课堂教学组织形式，这些组织形式就是 为学生创设了合作交流的机会，同时教师还

2、必须给学生的自主学习提供充足的时 间。我通过设计“课前5分钟热身”来开展“排列与组合”复习的第一课时，期 望通过课前的默写知识点复习或者简单的练习来唤醒学生的记忆或者引起学生 学习这节课的兴趣。完成了 “课前5分钟热身”后将由教师和学生一起共同围绕 本节内容继续深入的探讨。下面我结合本节课内容，就高三复习课中引入课前5 分钟练习的教学法谈谈一些个人体会。案例过程： 学习目标：（1）能够熟练判断所研究问题是否是排列或组合问题；（2）进一步熟悉排列数、组合数公式的计算；（3）熟练应用排列组合问题常见解题方法；（4）根据问题的特征，正确地区分“排列”或“组合”情感目标：（1）通过对排列应用问题的学习

3、，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律, 得出结论，以培养学生严谨的学习态度。认识事物在一定条件下的相互转化。教学重点：理解分类加法与分步乘法计数原理，掌握几种常见的排列组合问题的 解题方法。教学难点：能根据问题的特征恰当地选择合适的解题方法；用分类加法原理解决 问题时做到不重不漏，用分步乘法计数原理解决问题时做到步骤完整。一、课前5分钟热身训练老师准备好题目，上课铃声一响就让学生在5分钟以内完成。1、知识点复习（1）、分类计数加法原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办 法中有ml种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法在第n类办法 中有mn种不同的方法,那么完成这件

4、事共有N=种不同的方法。（2）、分步计数乘法原理（乘法原理）：完成一件事需要n个步骤，做第1步有 ml种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的 方法,那么完成这件事共有N二 种不同的方法。（3）定义：一般地，从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一 列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的排列数，用 表示.排列数公式A；二 o（4）定义：一般地，从n个不同元素中取出m个元素，并成一组，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合。所有组合的个数，叫做从n个不同元素中 取出m个元素的组合数，用 表示。排

5、列数公式=4r =o2练习（1） 一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会 用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数 是 o（2）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各一本，共有一种不同送法。（3）学校开设了 6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有 种不同的选法。学生：拿到题目后，迅速做题，在指定的时间内大部分学生已经轻松完成。 老师公布答案，学生自行批改，接着由小组长把小组内的成员答题情况进行登记 并上报给老师。老师表扬做得好的小组，同时提醒其他组的同学加倍努力。设计意图：通过对知识点的复习及相应的练习，让学生清楚本节要复习什么， 乂如

6、何更快地得出解题思路，理解并应用知识解决问题，另外通过小组的竞争， 增强学生的集体荣誉感，促进学生的合作学习。同时学生在表扬的评价激励下， 会不断的追求，不断的探索和攀登，此时，学生就会积极地参与课堂，由被动学 习转为主动学习。这样老师可以更好的引导学生进行下一环节的学习了。二、复习考点1:分类加法计数原理和分步乘法计数原理老师提问：刚才通过知识点填空，我们已经了解分类加法计数原理和分步乘 法计数原理，那大家能灵活运用它们了吗？请看例1。例1:七名学生争夺五项运动的冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军 的可能的种数有（）A、75B、57 C、若D、储学生自主做例1然后请学生讲解他的思路与答案

7、。老师点评：解决“允许重复排列问题”要 注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看 作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。教师提问：本题中的“客”和“店”分别是什么？学生：由于同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学 生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法 原理得7$种。老师：对此类问题，常有疑惑，为什么不是5?呢？学生思考后回答：每项冠军都有7种可能，从分步计数原理看，5是步骤数，自 然是指数。老师：两个计数原理都是涉及完成一件事情的不同方法种数，使用两个原理 时是先分类、后分步，还是先分步、后

8、分类，应视具体问题而定，若直接利用分 布乘法原理进行求解时，应注意所取元素是否重复。老师：同学们，你们能把题目改一下，让它的答案是用吗？学生思考并共同探讨设计意图：学生是学习的主体，是课堂教学的探索者、发现者，让他们智慧 的火花充分点痉。练习巩固1、3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法种数是。若 这5个风景点一次只能对一个班开放，则不同的选法种数是 o学生：找准“客”与“店”，很快给出了准确答案。设计意图：对同一类问题可以从多个角度去思考，举一反三，这样也给学生 留出一定的独立思考、自主学习的空间。这样也让学生体现到事物是有不断变化 的特性的。三、复习考点2,排列问题例题讲解1：学校

9、组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生, 4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？师生分析：此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求，因此老 师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.解：先排学生共有履种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有禺种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为.种.老师总结：插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用 插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排 好元素的空档之中即可.学生体会不相邻问题用插空法。说说生活中还有

10、哪些事情需要插空法来解 决？让学生体会数学来源与生活，也解决生活中的实际问题。例2 ： 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的 排法？师生分析：此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制，因此,女生是 特殊元素,并且要求她们要相邻，因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作 全排列，有4种排法，其中女生内部也有A；种排法，根据乘法原理,共有用母 种不同的排法.这次请学生总结：捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑 法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列, 同时

11、要注意合并元素内部也可以作排列。学生做练习巩固：用1, 2, 3, 4, 5, 6,组成六位数（没有重复数字），要 求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数有 个。设计意图：考查学生对刚复习的知识的综合运用，体现多种方法的结合使用。 课前5分钟练习都是比较简单容易解决的，在这里需要提高一个层次，实现由简 单到综合的过渡，其过程是自然的。四、复习考点3,组合问题例题：高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1 人，名额分配方案有多少种？老师分析：此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等 价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解

12、.学生：如何转化？老师：此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法 问题，因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个隔板,每个空档最 多放一个，即可将白球分成8份,显然有G；种不同的放法，所以名额分配方案有 4种.学生：为什么12个人可以看成相同的白球？老师：因为12个人每人占一个名额，名额是没有区别的，所以12个名额可 看成12个白球。学生：哦。老师总结：隔板法:解决指标分配问题。而均匀分组与不均匀分组、无序分 组与有序分组是组合问题的常见题型。解决此类问题的关键是正确判断分组是均 匀分组与不均匀分组，无序分组要除以均匀组数的阶乘数；还要考虑是否与顺序 有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数。学生做巩固练习：将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配1名志愿者的方案种数为（）A、 540 B、 300 C、 180D、 150设计意图：让学生体现各类问题的特点，不同的情况不同的解题方法，所以 在学习中注意灵活变通，培养成仔细观察，用心倾听，多与同学进行合作交流的 好习惯。四、小结